第第5讲讲指数与指数函数指数与指数函数知 识 梳 理根式没有意义3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，_；当x0时，_当x0时，_在(，)上是_在(，)上是_(0，)(0，1)y10y10y0，且a1)的图象可能是()答案D4.(2015山东卷)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.bac D.bca解析根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.61，bac.答案C5.指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.解析由题意知02a1，解得1a2.答案(1，2)规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.解析(1)f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)的值域为(，0，因此排除B、C、D，只有A满足.(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1.答案(1)A(2)1，1规律方法(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(2)方程2x2x的解的个数是_.答案(1)A(2)1(1)解析A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误.故选B.答案B规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.答案(1)B(2)(，27思想方法1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论.易错防范1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.