第七章第七章 剪切与扭转剪切与扭转7.1 7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念扭转的概念 轴轴是以扭转变形为主要变形的直杆作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角扭转角，用 表示外力偶矩的计算外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： 式中 m-作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-轴传递的功率，单位为KW n-轴的转速，单位为r/min。7.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图7.2.1 扭矩扭矩平衡条件平衡条件 内力偶矩内力偶矩T称为称为扭矩扭矩 扭矩的扭矩的单位：位：或扭矩的正负号规定为：扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负逆时针转向为正，顺时针转向为负 扭扭 矩矩 图图常用与常用与轴线平行的平行的x坐标表示横截面的位置，以与坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，轴上方，负值扭矩画在负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为轴下方。这种图形称为扭矩图扭矩图。主主动轮，输入功率入功率 ，B、C、D为从动为从动轮轮，输出功率分别为输出功率分别为，试求各段扭矩。求各段扭矩。，例例题7.1 图示示传动轴，转速速，A轮为轮为解：解：1、计算外力偶矩、计算外力偶矩为负值说明明实际方向与假方向与假设的相反。的相反。 ，2、分段、分段计算扭矩，分算扭矩，分别为（图c） （图d）（图e）3、作扭矩图、作扭矩图 1、变形几何关系、变形几何关系7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力等直圆轴扭转时横截面上的切应力7.3.1 实心圆轴横截面上的应力实心圆轴横截面上的应力 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设即平面假设； 横截面上的半径仍保持为直线；横截面上的半径仍保持为直线； 各横截面的间距保持不变。各横截面的间距保持不变。2、物理关系、物理关系 3、静力学关系、静力学关系 称截面的极称截面的极惯性矩性矩 得到得到圆轴扭扭转横截面上横截面上任意点任意点切切应力公式力公式当当时，表示，表示圆截面截面边缘处的切的切应力最大力最大 它是与截面形状和尺寸有关的量。它是与截面形状和尺寸有关的量。式中式中称为称为抗扭截面系数。抗扭截面系数。7.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面的极惯性矩：实心圆截面的极惯性矩： 抗扭截面系数为：抗扭截面系数为：空心圆极惯性矩轴空心圆极惯性矩轴： 式中式中为空心圆轴内外径之比。为空心圆轴内外径之比。空心圆的抗扭截面系数空心圆的抗扭截面系数极惯性矩极惯性矩的量纲是长度的四次方，的量纲是长度的四次方，常用的单位为常用的单位为mm4抗扭截面系数抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，的量纲是长度的三次方，常用单位为常用单位为mm3工程上要求工程上要求圆轴扭扭转时的最大切的最大切应力不得超力不得超过材料的材料的许用切用切应力力，即7.4 等直圆轴扭转时的强度计算等直圆轴扭转时的强度计算7.4.1 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件上式称上式称为圆轴扭扭转强强度条件。度条件。塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 试验表明，材料扭转许用切应力试验表明，材料扭转许用切应力例例题7.2 汽汽车的主的主传动轴，由，由45号号钢的无的无缝钢管管制成，外径制成，外径 ，壁厚壁厚试校核校核该轴的的强强度。度。工作工作时的最大扭矩的最大扭矩，若材料的若材料的许用切用切应力力，解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比2、计算算轴的最大切的最大切应力力抗扭截面系数抗扭截面系数为3、强强度校核度校核主主传动轴安全安全 解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即 例题例题7.37.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。 2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：讨论：由此由此题结果表明，在其它条件相同的情况果表明，在其它条件相同的情况下，空心下，空心轴的重量只是的重量只是实心心轴重量的重量的31%31%，其，其节省材料是非常明省材料是非常明显的。的。7.5.1 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形7.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件等直圆轴扭转时的变形及刚度条件轴的扭转变形用两横截面的轴的扭转变形用两横截面的相相对扭扭转角：角：相距长度为l的两横截面相对扭转角为 当扭矩为常数，且也为常量时，它表示轴抵抗扭转变形的能力。式中式中称为圆轴扭转刚度扭转刚度， 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率用长度的变化率用 表示，称为单位长度扭转角。表示，称为单位长度扭转角。即：即： 7.5.2 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：将上式中的弧度换算为度，得：在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， ，对于等截面圆轴，即为：对于等截面圆轴，即为：许用扭用扭转角角的数值，根据轴的使用精密度、的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定。生产要求和工作条件等因素确定。对于精密机器的于精密机器的轴对一般传动轴对一般传动轴 例例题7.47.4 图示轴的直径 ，切切变模量模量 试计算算该轴两端面之两端面之间的扭的扭转角。角。解：解：两端面之两端面之间扭扭转为角：角：例例题7.5 主主传动钢轴，传递功率功率，转速速，传动轴的的许用切用切应力力许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角切切变模量模量 求传动轴所需的直径？求传动轴所需的直径？ 解：解：1、计算轴的扭矩、计算轴的扭矩2、根据强度条件求所需直径、根据强度条件求所需直径 3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径故应按刚度条件确定传动轴直径，取故应按刚度条件确定传动轴直径，取