1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数任意角三角函数优秀学学习目目标1、知、知识与技能与技能借助借助单位位圆理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数;从任意角三角从任意角三角函数的定函数的定义认识其定其定义域，函数域，函数值的符号的符号;已知角已知角终边上一点上一点,会求角会求角的各三角函数的各三角函数值; 记住三角函住三角函数的定数的定义域、域、值域，域，诱导公式（一）公式（一）. 2、过程与方法程与方法利用利用终边与与单位位圆的交点坐的交点坐标求三角函数求三角函数值 ;各个三角函数各个三角函数值的象限符号；的象限符号；诱导公式一的熟公式一的熟练应用。用。 3、情感、情感、态度与价度与价值观学学习转化的思想，培养学生化的思想，培养学生严谨治学、一治学、一丝不苟的不苟的科学精神科学精神. 任意角三角函数优秀教学的重点和教学的重点和难点点 重点：三角函数的定重点：三角函数的定义，各三角函数，各三角函数值在每个象限的符号，在每个象限的符号，特殊角的三角函数特殊角的三角函数值. 难点：点：对三角函数的自三角函数的自变量的多量的多值性的理解，三角函数的性的理解，三角函数的求求值中符号的确定中符号的确定.任意角三角函数优秀1.在初中我在初中我们是如何定是如何定义锐角三角函数的？角三角函数的？复复习回回顾OabMPc任意角三角函数优秀OabMPyx2.在直角坐在直角坐标系中如何用坐系中如何用坐标表示表示锐角三角函数？角三角函数？新新课 导入入任意角三角函数优秀yx2.在直角坐在直角坐标系中如何用坐系中如何用坐标表示表示锐角三角函数？角三角函数？o任意角三角函数优秀如果改如果改变点在点在终边上的位置，上的位置，这三个比三个比值会改会改变吗？ 诱思思 探探究究MOyxP(a,b)任意角三角函数优秀1.锐角三角函数（在角三角函数（在单位位圆中）中）以原点以原点O为圆心，以心，以单位位长度度为半径的半径的圆，称，称为单位位圆. yOx1M任意角三角函数优秀2.任意角的三角函数定任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的是一个任意角，它的终边与与单位位圆交于点交于点 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，的正弦，记作作 ，即，即 ； （2） 叫做叫做 的余弦，的余弦，记作作 ，即，即 ； （3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以角是以角为自自变量，以量，以单位位圆上点上点的坐的坐标或坐或坐标的比的比值为函数函数值的的函数，我函数，我们将他将他们称称为三角函数三角函数.使比使比值有意有意义的角的集合的角的集合即即为三角函数的定三角函数的定义域域.任意角三角函数优秀xyo的的终边说 明明（1）正弦就是交点的）正弦就是交点的纵坐坐标，余弦就是交点，余弦就是交点横坐横坐标的比的比值. .的横坐的横坐标， 正切就是正切就是 交点的交点的纵坐坐标与与. .（2） 正弦、余弦正弦、余弦总有意有意义.当当 的的终边在在 横坐横坐标等于等于0， 无意无意义，此，此时 轴上上时，点，点P 的的（3）由于角的集合与）由于角的集合与实数集之数集之间可以建立一一可以建立一一对应关系，关系，三角函数可以看成是自三角函数可以看成是自变量量为实数的函数数的函数.任意角三角函数优秀例例1.求求 的正弦、余弦和正切的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐解：在直角坐标系中，作系中，作 ，易知，易知 的的终边与与单位位圆的交点坐的交点坐标为 所以所以 思考：若把角思考：若把角 改改为 呢呢? 实例例 剖剖析析P15.1P15.3任意角三角函数优秀 设角角 是一个任意角，是一个任意角， 是是终边上的任意一点，上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离 .那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数的三角函数值仅与与 有关，而与点有关，而与点 在在角的角的终边上的位置无关上的位置无关.定定义推广：推广：任意角三角函数优秀例例2.已知角已知角 的的终边经过点点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切的正弦、余弦和正切值 .解解:由已知可得由已知可得设角角 的的终边与与单位位圆交于交于 ，分分别过点点 、 作作 轴的垂的垂线 、于是，于是， 任意角三角函数优秀于是于是，巩固巩固 提提高高练习: 1.已知角已知角 的的终边过点点 ， 求求 的三个三角函数的三个三角函数值.解：由已知可得：解：由已知可得：P15.2任意角三角函数优秀任意角三角函数优秀任意角三角函数优秀1.根据三角函数的定根据三角函数的定义，确定它，确定它们的定的定义域域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域R2.确定三角函数确定三角函数值在各象限的符号在各象限的符号yxoyxoyxo+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R口口诀“一全正一全正, , 二正弦，三正切二正弦，三正切, ,四余弦四余弦.”.”+-+-+-+-任意角三角函数优秀yxo+-+-yxoyxo全为+yxo记法：法：一全正一全正一全正一全正二正弦二正弦二正弦二正弦三正切三正切三正切三正切四余弦四余弦四余弦四余弦三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符号象限定符号. .P15.3任意角三角函数优秀例例3. 求求证：当下列不等式：当下列不等式组成立成立时，角，角 为第三象限角第三象限角.反之也反之也对 证明：明： 因因为式式 成立成立,所以所以 角的角的终边可能位可能位于第三于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半的非正半轴上；上； 又因又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的的终边可能位于第一或第三象限可能位于第一或第三象限. 因因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的的终边只能位于第三象限只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角第三象限角.反反过来来请同学同学们自己自己证明明.P15.6任意角三角函数优秀如果两个角的如果两个角的终边相同，那么相同，那么这两个两个角的同一三角函数角的同一三角函数值有何关系？有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数相同的角的同一三角函数值相等（公式一）相等（公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化化为求求 角的三角角的三角函数函数值 . ？任意角三角函数优秀 例例题（1）因）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（3）因）因为 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以解：解： （2）因）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以任意角三角函数优秀解：解：任意角三角函数优秀6.已知已知 在第二象限在第二象限, 试确定确定 sin(cos ) cos(sin ) 的符号的符号. 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1, 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin )0. 故故 sin(cos ) cos(sin ) 的符号的符号为“ - - ”号号.任意角三角函数优秀任意角三角函数优秀1. 内容内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定三角函数的定义域及三角函数域及三角函数值在各象限的符号在各象限的符号.诱导公式一公式一.运用了定运用了定义法、公式法、数形法、公式法、数形结合法解合法解题.划划归的思想，数形的思想，数形结合的思想合的思想.归纳 总结2 .方法方法总结：3 .体体现的数学思想：的数学思想：任意角三角函数优秀MAP下面我下面我们再从再从图形角度形角度认识一下三角函数一下三角函数思考思考: 为了去掉等式中得了去掉等式中得绝对值符号，能否符号，能否 给线段段OM、MP规定一个适当的方向定一个适当的方向, 使它使它们的取的取值与点与点P的坐的坐标一致？一致？任意角三角函数优秀我我们把把带有方向的有方向的线段叫有向段叫有向线段段. .( (规定定: :与坐与坐标轴相同的方向相同的方向为正方向正方向).).yxo 的的终边MP 的的终边任意角三角函数优秀TMAPTMAPTM AP= MPTM A（1,0）P任意角三角函数优秀这几条与几条与单位位圆有关的有向有关的有向线段段分分别叫做角的正弦叫做角的正弦线、余弦、余弦线、正切、正切线统称称为三角函数三角函数线.当角的当角的终边在在轴上上时，正弦，正弦线、正切、正切线分分别变成一个点；此成一个点；此时角角 的正弦的正弦值和正切和正切值都都为0当角的当角的终边在在轴上上时，余弦，余弦线变成一个点，成一个点，正切正切线不存在此不存在此时角角 的正切的正切值不存在。不存在。TM APTMAPTMAPTM AP任意角三角函数优秀MPMP是正弦是正弦线OMOM是余弦是余弦线 AT AT是正切是正切线y yxo o M MP PA AT T例例 题 示示 范范任意角三角函数优秀例例2.2.作出下列各角的正弦作出下列各角的正弦线，余弦，余弦线，正切，正切线（1） ；（；（2） 任意角三角函数优秀例例1.在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的取的取值范范围. OxyP PM MP P1 1P P2 2任意角三角函数优秀xyoP1P2xyo T A210 30 例利用例利用单位位圆寻找适合下列条件的找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 任意角三角函数优秀POxyMAT任意角三角函数优秀AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函数利用三角函数线比比较下列各下列各组数的大小：数的大小：解：解： 如如图可知：可知： M2任意角三角函数优秀AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函数利用三角函数线比比较下列各下列各组数的大小：数的大小：解：解： 如如图可知：可知： 任意角三角函数优秀例例5.5.求函数求函数 的定的定义域域. .OxyP2MP1P任意角三角函数优秀xyoMPATxyoy=-xPM 练习任意角三角函数优秀xyoy=-xxyoy=-xxyoMPMPPMxyoPMMPPM任意角三角函数优秀