人教版八年级数学(上)11.3.1角的平分角的平分线的性质（线的性质（1）ADBCE如如图图：为为了了美美化化校校园园，在在咱咱们们的的教教学学楼楼前前有有一一块块三三角角形形的的土土地地，学学校校决决定定在在这这块块三三角角形形土土地地上上修修建建一一个个圆圆形形花花坛，使它到三条石板路的距离相等坛，使它到三条石板路的距离相等, ,应在何处修建？应在何处修建？不利用工具，不利用工具，请你将一你将一张用用纸片做的角分成两个相等的角。你片做的角分成两个相等的角。你有什么有什么办法？法？AOB活活动动1 1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在ACDACD和和ACBACB中中AD=ABAD=AB（已知）（已知）DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共（公共边）ACDACBACDACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全全等等三三角角形形的的 对应角相等）角相等）ACAC平分平分DABDAB（角平分（角平分线的定的定义）ADBCE 根根据据角角平平分分仪的的制制作作原原理理怎怎样作作一一个个角角的的平平分分线？（不不用用角角平平分分仪或或量量角角器）器）OABCE探探 究究1NOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)(1)实验：将将AOBAOB对折折，再再折折出出一一个个直直角角三三角角形形（使使第第一一条条折折痕痕为斜斜边），然然后后展展开开，观察察两两次次折折叠叠形成的三条折痕，你能得出什么形成的三条折痕，你能得出什么结论？探探 究究2 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已已知知：OC是是AOB的的平平分分线线，点点P在在OC上上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） AOP= BOP（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） AOP= BOP （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等（全等三角形的对应边相等验证猜想角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。角平分线角平分线的性质：的性质： AOP= BOP, PD OA PE OB（已（已知）知）PD=PE（角平分线上的（角平分线上的点到角两边的距离相等）点到角两边的距离相等）P PA AO OB BC CE ED D12用几何语言表述：OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD吗吗?为什为什么么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等直所以不一定相等直练一一练：(1)下面四个图中,点P都在AOB的平分线上,则图形_中PDPE.（1）（2）（3）（4）(2)下图中,PDOA,PEOB，垂足分别为点D、E，则图中PDPE吗?POABCEDPOABCEDPOABCEDBPOACEDBPOACED思考：思考：角的平分角的平分线的性的性质在在应用用时因注意什么因注意什么问题？一是点在角的平分一是点在角的平分线上，上，二是二是过此点作角两此点作角两边的垂的垂线。这两个条件缺一不可。两个条件缺一不可。结论是点到角两是点到角两边的距离相等，而不是任意的距离相等，而不是任意线段。段。1 1、角的平分、角的平分线性性质的的应用用（1）如图1,ABC中，C90，BD平分ABC，CD3cm，则点D到AB的距离为()cm 图1 图2（2）变式训练，深化新知变式，如图2,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB，垂足为点E，AC=8cm，则AD+DE=()cm.CDABEBADC2 2：如如图图，ABCABC的的角角平平分分线线BMBM、CNCN相相交交于于点点P P。求证：点求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN如如图图：为为了了美美化化校校园园，在在咱咱们们的的教教学学楼楼前前有有一一块块三三角角形形的的土土地地，学学校校决决定定在在这这块块三三角角形形土土地地上上修修建建一一个个圆圆形形花花坛坛，使使它它到到三三条条石石板板路路的的距距离离相相等等, ,应在何处修建？应在何处修建？证证 明明 ： 分分 别别 作作 PE BC于于E,PF AB于于F,PG AC于于G, BM平分平分ABC, PE BC PF AB（已知）（已知）PE=PF同理同理:PE=PG即即PE=PF=PG一、本节课我们学习了哪些主要内容？一、本节课我们学习了哪些主要内容？1 1：画画一一个个已已知知角角的的角角平平分分线线；( (注注意意作作图图痕迹和几何语言的表达痕迹和几何语言的表达) )2 2：角角平平分分线线的的性性质质：角角的的平平分分线线上上的的点点到到角的两边的角的两边的距离距离相等相等二、你认为这节课的重点是什么？二、你认为这节课的重点是什么？角平分线的性质的应用角平分线的性质的应用三、作业：三、作业：（1）必做题：习题）必做题：习题12.3（1，3）（2）选做题：习题）选做题：习题12.3（5）1.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平的平分线，分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA补充练习：补充练习：动脑筋动脑筋2.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DE AB于于E，则：，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA再再 见见