时域离散信号和系统的频域分析第章第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点学习要点2.2FT和和ZT的逆变换的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性分析信号和系统的频率特性2.4例题例题2.5习题课习题课时域离散信号和系统的频域分析第章2.1学习要点学习要点数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、 Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域和频域相互转换。 大大方便了对信号和系统的分析和处理。 时域离散信号和系统的频域分析第章2.4例题例题例例2.4.1已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 （某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）解解： 将系统函数写成下式:时域离散信号和系统的频域分析第章系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点， 不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波器的通带中心在=0处。 这是一个低通滤波器。 时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.4时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为时域离散信号和系统的频域分析第章 （1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足|a|1, |b|1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。（2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b的取值域为0|a|1, 0|b|1时域离散信号和系统的频域分析第章例例2.4.5, f1=10 Hz， f2=25 Hz， 采用理想采样，采样频率Fs=40 Hz对其进行采样得到。 （1） 写出的表达式;（2） 对进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达式， 并画出其幅度谱；（3）如要用理想低通滤波器将cos(2f1t)滤出来， 理想滤波器的截止频率应该取多少？解：时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓， 延拓周期为Fs=40 Hz，x(t)的频谱为画出幅度谱如图2.4.1所示。时域离散信号和系统的频域分析第章图2.4.1时域离散信号和系统的频域分析第章2 已知求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章4设时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第章或者 时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： 时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： （2） 时域离散信号和系统的频域分析第章（3）式中时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 时域离散信号和系统的频域分析第章18 已知分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)解解： (1)时域离散信号和系统的频域分析第章时域离散信号和系统的频域分析第章(2)时域离散信号和系统的频域分析第章20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： 试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： 解法一令m=n+m, 则时域离散信号和系统的频域分析第章解法二因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此时域离散信号和系统的频域分析第章22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解：(1)时域离散信号和系统的频域分析第章极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到因为角公用， ，且AOBAOC， 故，即时域离散信号和系统的频域分析第章故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:时域离散信号和系统的频域分析第章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章因此零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 式中时域离散信号和系统的频域分析第章，令时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故时域离散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, n0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， 时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么最后得到时域离散信号和系统的频域分析第章24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章令n1时，c内有极点0.9，时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时， c内有极点0.9 ， 0，最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）时域离散信号和系统的频域分析第章题24解图时域离散信号和系统的频域分析第章25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 试用卷积法求网络输出y(n)； （2） 试用ZT法求网络输出y(n)。 解解： （1） 用卷积法求y(n)。n0时， 时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，y(n)=0最后得到（2） 用ZT法求y(n)。 ，时域离散信号和系统的频域分析第章令n0时， c内有极点： a、 b, 因此时域离散信号和系统的频域分析第章因为系统是因果系统, 所以n0时， y(n)=0。 最后得到