北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系无穷是一个永恒的谜无穷是一个永恒的谜 HilbertHilbert第五节 无穷小和无穷大（一） 无穷小（二） 无穷大（三） 二者关系（四）无穷小的阶北京理工大学数学系北京理工大学数学系一、无穷小定义定义1：在自变量的某种趋势下，以：在自变量的某种趋势下，以零零为极限为极限的函数（变量）称为的函数（变量）称为无穷小量无穷小量，简称，简称无穷小无穷小.例如：例如：北京理工大学数学系北京理工大学数学系注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.（2）无穷小是变量的一种变化趋势）无穷小是变量的一种变化趋势;北京理工大学数学系北京理工大学数学系例如例如,北京理工大学数学系北京理工大学数学系证证北京理工大学数学系北京理工大学数学系2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小无穷小);北京理工大学数学系北京理工大学数学系3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和未必未必是无穷小是无穷小. .北京理工大学数学系北京理工大学数学系定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小注意注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. .北京理工大学数学系北京理工大学数学系二、无穷大北京理工大学数学系北京理工大学数学系特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大北京理工大学数学系北京理工大学数学系证证北京理工大学数学系北京理工大学数学系证证北京理工大学数学系北京理工大学数学系注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大但是无界变量未必是无穷大.是无界变量，是无界变量，但不是无穷大量但不是无穷大量北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.北京理工大学数学系北京理工大学数学系四、无穷小的阶及其比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.比比较较北京理工大学数学系北京理工大学数学系定义定义: :北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系例如，例如，北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例4 4解解北京理工大学数学系北京理工大学数学系？是不是任意两个无穷小是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较都可以进行阶的比较不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大北京理工大学数学系北京理工大学数学系意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,北京理工大学数学系北京理工大学数学系常用等价无穷小常用等价无穷小: :北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例5 5解解北京理工大学数学系北京理工大学数学系小结1、主要内容、主要内容:定义定义;定理定理;推论推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（大）是变量无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.北京理工大学数学系北京理工大学数学系3、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶无穷小；同阶无穷小；等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考：已知x0时是等价无穷小，求A，n.北京理工大学数学系北京理工大学数学系作业P58: 3. 偶 4. 偶 （5. 偶）