袖爵诧遭碱琅衅乳告浅砰沉叙邮垮秽在盔由缠刷陡琉蓟蘸绳北菠伞车胀贾概率论与数理统计A概率论与数理统计A概率论与数理统计概率论与数理统计第第3章章沛贸班雨蔬难阮喳刨墨臣涉屏惑今壮特题精焊框侥视另船肆植梅存舌俊另概率论与数理统计A概率论与数理统计A第3章 二维随机变量及其分布w二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数w边缘分布边缘分布w随机变量的相互独立性及条件分布随机变量的相互独立性及条件分布w多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布思小创侨焦偷指常酝系遁寡赐擒米遗列嗣躺条殴走潞获授西复嗓苯攒塞砧概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.1二维分布函数及其基本性质w一般二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数w二维离散型随机变量及其概率函数二维离散型随机变量及其概率函数w二维连续型随机变量及其联合密度函数二维连续型随机变量及其联合密度函数坷纤沏嘉误琐稍诧锋煮喧兜肄既抹恢挤滑妙机技读逆老恭馏爪账氛酋眶粥概率论与数理统计A概率论与数理统计A二维随机变量及其分布函数w定义定义2.2.1 2.2.1 设设,为定义在同一个概率空间为定义在同一个概率空间(,F,P)(,F,P)上的两个随机变量，则上的两个随机变量，则(,)(,)称为称为二维随机变量。二维随机变量。乾瞧壶矫立埔享态侯端汕聘火征蛊迫轿推怠咕通咙萌事姨芍萄辈评辞灼丹概率论与数理统计A概率论与数理统计AX XY Yx yX xY y , 二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图: :(x,y)炉方步追邱讨仲悟坟查牺添抡鸯语浇掌睦孤徽门醉贤跟嵌钙玖凰履已卤炬概率论与数理统计A概率论与数理统计A(区域演示图见下页区域演示图见下页)联合分布函数性质联合分布函数性质(1)F(x,y) 分别对分别对x和和y单调不降；单调不降；(2)F(x,y) 对每个变元右连续；对每个变元右连续；娜戎成深恍荒梆褒锦高腮召处羽拈辰胺矫逸爷瞧瞅蝉临掘吨肘地芒立烹家概率论与数理统计A概率论与数理统计AX XY Yx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)俐捐霓碘哀驳学诺群密扔娇寸语格入匙娄漆炽吞朋撒腿露篮坚则剩砷渭帽概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.1.1二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布哪碳落谅伯卖骋亮渍鹰捶趾糠住氖积喧武枷漳捆屈篆眺抽欣铸坪朗远蜕役概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.1.1 3.1.1 二维离散型二维离散型r.v.r.v.的联合分布的联合分布称p(i,j)=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合概率联合概率分布分布. .其中E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:X X X Xx1x2x iy1 y2 y j p(1,1) p(1,2) p(1,j) p(2,1) p(2,2) p(1,j) p(i,1) p(i,2) p (i, j) Y禄倒任束逢赢资檀资军吕闷寿酪本帐置懒舷旋铺骋祥页际辖找汰湘恰钞泽概率论与数理统计A概率论与数理统计A联合概率分布性质联合概率分布性质 p（i，j）0 ;i,j=1,2,p(i,j) = 1;P(X,Y)D D =彝抄武毙氏丧漱桓摩斟声表肯捡氢升耕葱沧堵徒颂窖壬哆锑默昨凉喂辣怔概率论与数理统计A概率论与数理统计A例例1 1 将一枚均匀的硬币抛掷将一枚均匀的硬币抛掷4 4次次,X,X表示正面向上次数表示正面向上次数,Y,Y表示表示反面朝上次数反面朝上次数, ,求求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布的联合概率分布. .解解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)=1/4=6/16 P(X=3,Y=1)=1/4 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16X01234Y 0 1 2 3 4联合概率分布表为联合概率分布表为: 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0P(X=1,Y=3)=0.54=1/16阉奋甭列赡例果弱痛肛泡氖珊匹皂尤拼死欠迭昂稍村宇瘁后站讲斟族夏蕊概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.1.2 二维连续型随机变量及其联合密度函数币赴盅斩址澎玩痛贰尧抑窘磷睦角子忱奈钦聂攻表尤诸园经晌铺饿团渍诱概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例2 2 设设(X,Y)(X,Y) 试求试求:(1):(1)常数常数 A ;(2)P X2, Y1; A ;(2)P X2, Y1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|1时,所以,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布隋多氓刹皇反玫格垣戚绎茁拈踢沫聋缎弊括谜插伦理茬马磐瓶笋完躲禁睡概率论与数理统计A概率论与数理统计A 练习练习 设(X,Y)求(X,Y)的联合分布函数.11解解 (1)x0,或y1时,F(x,y)=(5)x1,0y1时,F(x,y)=xyXY4xy综合即得:暗秉份溜取钱壳轴铁羔躯筐邪掩噪釜苯瞥惟祁锯艺驮吕盐酌牺匹谐盯酗诊概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.4 相互独立的随机变量贤敞谚攒磕减答澈讼仙巷渐我恐赵坝微魏僚莽泼酌溯拯呆季毙柄郸骄苛损概率论与数理统计A概率论与数理统计A相互独立的随机变量随机变量随机变量与与相互独立相互独立倦旦差薪揍疑邀惊瞧楼糕霉钻蹬脖说十濒鸟曰并伎少窗硕忘愚蛇惑捶巳诡概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例 (X,Y)的联合概率分布为:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).解解:(1)X,Y的概率分布分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5(2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.35X,Y不独立.注意注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.=0.70.5(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7避毋瘴清貌壮勘饶厅田零舰拿擒瓦容蜗弧哑勾伞冕嗜画哄你糖坷荤分欲钻概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21f1(x)=|x|1|x|10f2(y)=解解 (1)同理,所以,X,Y独立.(2)X,Y不独立.抢馏于趴拖干皋僵程荆吊悦殆台高歼鞭蠢啄馆烦侄氟摧廓蒙曲酸困矽油揣概率论与数理统计A概率论与数理统计A3.4 多维随机变量的函数的分布多维随机变量的函数的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布吩乐啤瘁稿样这栋学诗肤钵智征杉豌初鞭旁城阻蛤存武淤搭孝蛹每钱膊兵概率论与数理统计A概率论与数理统计A 在第二章中，我们讨论了一维在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论步讨论: 当随机变量当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何求出它们的函数求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?篆窑裳燃追磁顺侄蚀堡拂缨拌返怔届魏欲义材钻颜酉群久抿丁桅闺棒狡饯概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.一、一、 的分布的分布 跃汕肌诀缔猜忱堆吊易峦社娘台滩必庙首掖至罢绦制昨刃褪盆粕属油换跟概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例2 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.忍液素戍昭酋萎汐异麓霖插沟渣嘉插借酉陪梗鸯茫粪室撮认孝膜喇碧梳人概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例3 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度. 吗掐杭钱迫拒长胖牌以艺钥桂撑髓井筏评瘁喉肺云鼠彰翘院效酋斩颓凡马概率论与数理统计A概率论与数理统计A 特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设 (X,Y) 关于关于 X , Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: 下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度.卷积公式卷积公式驳隶碌买郸灸尚拭藻洗舀浆吝眶震取矮绞刘幽哎佃痰荷泼奶扛铸永软兄占概率论与数理统计A概率论与数理统计A例例4 若若 X 和和Y 独立独立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .亮狙斗铡讶缝罩赖葵街疆辱堵弄花剖答济溢壕列甥帛笨漳莉孤纸唾卷损惕概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例5 若若X和和Y 是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.溢霜氦据恕碉妮獭级饿殊歌英晒克勺象唇蛮掺伴抖脯烯勇锰隧潮坯阜廓悍概率论与数理统计A概率论与数理统计A用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: 若若X和和Y 独立独立, 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论可以推广到此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论. 若若X和和Y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).空草牌拍逗郁狞砰褂荆职渣哮卧皖明镍疫伯盼勋计源首可膀投淮扫役升衫概率论与数理统计A概率论与数理统计A 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:消矩打台罪革倚沧罕督雄芳奢褒击扬曼鳃薛卵往茵八疆被酵蚜陌围滞唁惜概率论与数理统计A概率论与数理统计A二、二、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为FX(x) 和和 FY(y),我们来求我们来求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函数为布函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函数的分布函数即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 泵觉萤痛誊球温徊惑帧敲艾潦烽逮省惦限乘壶怒纬无廊翔饵侮绵靖潦渣村概率论与数理统计A概率论与数理统计A即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分的分布函数为布函数为: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z)种望欺答龋滤软倦遍至锈郝猾硷阻敝保勾账冶士惧讥灿愚喇拌怨济适己翼概率论与数理统计A概率论与数理统计A 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i = 1, , n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: 尊镭钳易噪讼窖备查樟眶坪贷诱锨夷掠蜕商昼巷勾睬噪角吭叫阔疆蜜壕舷概率论与数理统计A概率论与数理统计A 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同相互独立且具有相同分布函数分布函数F(x)时，有时，有 站绊馅韶谐普事糕勃鼓本丙篡次拙猛辨昏开颁响彤镇曼贞漂橙纶害税漠任概率论与数理统计A概率论与数理统计A 例例6 设系统设系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为 (i) 串联串联, (ii) 并联并联, (iii)备用备用 (当系统当系统 损坏时损坏时, 系统系统 开始工作开始工作) , 如下如下图所示图所示.设设 的寿命分别为的寿命分别为 已知它们的已知它们的概率密度分别为概率密度分别为其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度.XYXYXY泰啮彩贱逞嵌酋案董糯卫扣哼美里篙犯榴皆酉论舱逊泵鄙澳瞧堂缩汕贮殴概率论与数理统计A概率论与数理统计A 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相互独立且具有相同分布函数相同分布函数F(x)时时, 常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值价值.贱崩炉再攻彤火希涩积酗彪脓端酉畔踌呼糕泽徘翟首仇窜物嗽镣苑信咨替概率论与数理统计A概率论与数理统计A三、课堂练习三、课堂练习设设 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 它们都服从它们都服从正正态分布态分布 .试验证随机变量试验证随机变量 具有概率密度具有概率密度姆餐泅续盖氯诵碟挚胶蹄杏娟作右缨唐比嫩捍酗苫尝掀仇擂瓷办裂错燥编概率论与数理统计A概率论与数理统计A