9.2 9.2 二重积分的计二重积分的计算算上海立信会计学院第二节二重积分的计算1 1、积分区域为：、积分区域为：、积分区域为：、积分区域为：利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分X型型 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.上海立信会计学院第二节二重积分的计算应用计算应用计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体求体积为已知的立体求体积”的的方法方法(P247),由此得：由此得：上海立信会计学院第二节二重积分的计算X型型 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.上海立信会计学院第二节二重积分的计算Y型型 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.上海立信会计学院第二节二重积分的计算说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区型区域域 , 为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 上海立信会计学院第二节二重积分的计算例例 计算计算其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则上海立信会计学院第二节二重积分的计算例例 计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及直线及直线则则 上海立信会计学院第二节二重积分的计算例例 计计算算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺还需交换积分顺序序.上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解积分区域如图积分区域如图上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解原式原式上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算对应有对应有利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 r =常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积在在内取点内取点及射线及射线 =常数常数, 分划区域分划区域D 为为上海立信会计学院第二节二重积分的计算即即极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积上海立信会计学院第二节二重积分的计算二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图上海立信会计学院第二节二重积分的计算特别地特别地,区域特征如图区域特征如图上海立信会计学院第二节二重积分的计算若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: 问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算解解上海立信会计学院第二节二重积分的计算上海立信会计学院第二节二重积分的计算例例7. 求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知上海立信会计学院第二节二重积分的计算例例 计算计算其中其中解解: 在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.上海立信会计学院第二节二重积分的计算注注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,利用上例的结果利用上例的结果, 得得故故式成立式成立 .上海立信会计学院第二节二重积分的计算反常二重积分反常二重积分二重积分有两个基本要求二重积分有两个基本要求: :(1)(1)积分区域有界积分区域有界; ;(2)(2)被积函数有界被积函数有界. .如果把积分区间推广到无界域如果把积分区间推广到无界域, ,便有便有: :无穷积分无穷积分. .如果把被积函数推广到无界函数如果把被积函数推广到无界函数, ,便有便有: :瑕积分瑕积分. .这两类积分都叫做这两类积分都叫做反常二重积分反常二重积分. .上海立信会计学院第二节二重积分的计算作业作业9-2: 1、2、5、12上海立信会计学院第二节二重积分的计算