2.2 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 求极值的步骤：求极值的步骤： 1. 求导数求导数 ；2. 解方程解方程 ； 3. 对于方程对于方程 的每一个解的每一个解 ，分析，分析 在在 左右两侧的符号，确定极值点：左右两侧的符号，确定极值点： 在在 两侧若两侧若 的符号的符号 （1） “左正右负左正右负”，则，则 为为极大值极大值点；点； （2） “左负右正左负右正”，则，则 为为极小值极小值点；点； （3）相同，则）相同，则 不是极值点；不是极值点；复习回顾复习回顾 极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内的性质，即：如果的性质，即：如果 是是 的极大的极大( (小小) )值点，那值点，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值最小。最小。观察下面区间a,b上函数y=f (x)的图象，找出它的极大值点，极小值点？极大值点 ， 极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d抽象概括：函数y=f(x)在区间a,b上的最大(小)值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过(不小于) 。其中叫函数在这个区间上的最大(小)值。函数的最大值和最小值统称为最值。问题1.函数的最值与极值有什么区别? （1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。是整个区间上所有函数值中的最小者。 （2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。点附近的函数值得出的。 极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。能在区间内取得，最值可以在端点取得。注意：注意：概括总结概括总结问题2.函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值和最小值可能在什么地方取到?最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f (a),图1最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间a,b上最小值是f (x4).xyoa(b)图3一般地，如果在区间a,b上函数y=f (x)的图象是一条连续不断的曲线,最大最大(小小)值在极大值在极大(小小)值点或区间的值点或区间的端点处取得。端点处取得。结论：结论：怎样求函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值和最小值？只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的上的最值。最值。分析：分析： 最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以要想求最值，要想求最值，应首先求出函数的极值点应首先求出函数的极值点，然后将，然后将所所有的极大有的极大(小小)值与端点的函数值进行比较值与端点的函数值进行比较，其中最，其中最大大(小小)的值即为函数的最大的值即为函数的最大(小小)值。值。20+004+-解：解：求导得求导得令令 ，得，得5- -11 极大值极大值 极小值极小值xyo-2通过比较可知：通过比较可知：函数函数 在区间在区间 上的上的最大值是最大值是 f (2)= 5 ；最小值是；最小值是 f (-2)= -11； 列表可知，列表可知， 是函数的极大值点，是函数的极大值点， 是是极小值点，计算极值和端点的函数值得极小值点，计算极值和端点的函数值得求最值的步骤：求最值的步骤：（1）求）求 f (x)在在 (a，b) 内的极值；内的极值；（2）将）将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。概括总结概括总结 例例2 边长为边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一的正方形铁皮，四角各截去一大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积器，其容积 V 是关于截去小正方形边长是关于截去小正方形边长 x 的函数。的函数。 （1）随）随 x 的变化，容积的变化，容积 V 如何变化？如何变化？ （2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？）截去小正方形边长为多少时，容积最大？最大容积是多少？最大容积是多少？分析：分析： 解决实际应用问题，首先解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关要分析并列出函数关系系，要注意根据实际意义写出，要注意根据实际意义写出定义域定义域,再求最值。再求最值。解：解：求导得求导得，令令 ，得，得+ 0极大值极大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为V= f (x)在在 上递增，在上递增，在 上递减。上递减。由表知：由表知：（2）由函数的单调性和图像可知，）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大时最大值点，值点，此时此时V = f (8) = 即当截去小正方形边长为即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容时，得到最大容积为积为 。练习：练习：1. 求函数求函数 在区间在区间-3，3上的最值。上的最值。 2. 已知函数已知函数 ， （1）求）求f (x) 单调单调减区间；减区间； （2）若）若f (x) 在在-2，2上的最大值是上的最大值是20，求它在该，求它在该区间上的最小值。区间上的最小值。小结：小结： 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值点，则值点，则 不小不小 (大大)于于 在此区间上的所有函数值。在此区间上的所有函数值。 函数的最大函数的最大( (小小) )值：值： 求最值的步骤：求最值的步骤： （1）求）求 f (x)在在 (a，b) 内的极值；内的极值； （2）将）将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。