学案学案7 双双 曲曲 线线 填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读双曲线1.掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.2.掌握双曲线的几何性质.3.了解双曲线的一些实际应用.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想查基本运算能力及等价转化思想. 预测预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力.返回目录返回目录 1. 1.双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等于常数（小于于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线线.这这 叫做双曲线的焦点，两焦叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的点的距离叫做双曲线的 .两个定点两个定点 焦距焦距 2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质返回目录返回目录 标准方准方程程图形形返回目录返回目录 性质范围xa或x-aya或y-a对称性对称轴：对称中心:对称轴：对称中心:顶点顶点坐标A1 ,A2 顶点坐标A1 , A2渐近线y=y=y=y=离心率e= e ，其中c= .实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|= ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|= ；a叫做双曲线的 长，b叫做双曲线的虚半轴长. a,b,c的关系c= (ca0,cb0 )x轴，轴，y轴轴 x轴，轴，y轴轴 原点原点 原点原点 (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a )(1,+) 2a 2b 实半轴实半轴 返回目录返回目录 已知动圆已知动圆M与圆与圆C1：（：（x+4）2+y2=2外切，与圆外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程.【分析】【分析】【分析】【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的点满足的几何条件，结合双曲线定义求解几何条件，结合双曲线定义求解.考点考点考点考点1 1 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程 返回目录返回目录 【解析】【解析】【解析】【解析】如图，设动圆如图，设动圆M的半径为的半径为r，则由已知，则由已知|MC1|=r+ ，|MC2|=r- ， |MC1|-|MC2|=2 . 又又C1（-4，0），），C2（4，0），）， |C1C2|=8， 2 |C1C2|. 根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以C1（-4，0）,C2（4，0）为焦点的双曲线的右支）为焦点的双曲线的右支. a= ，c=4，b2=c2-a2=14. 点点M的轨迹方程是的轨迹方程是 （x ）.返回目录返回目录 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.在在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差差的绝对值的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性和完备性.在在ABC中，中，B( 4 ，0)，C( -4 ，0)且满足条件且满足条件sinB-sinC= sinA,则动点则动点A的轨迹方程的轨迹方程.返回目录返回目录 返回目录返回目录 【解析】【解析】设设A的坐标为的坐标为(x,y),在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 (其中其中R为为ABC外接圆的半径），外接圆的半径），代入代入sinB-sinC= sinA得得 ,又又|BC|=8,则得则得|AC|-|AB|=4，因此，因此A的轨迹是以的轨迹是以B，C为焦为焦点的双曲线的右支（除去右顶点），且点的双曲线的右支（除去右顶点），且2a=4,2c=8，即，即a=2,c=4.b2=c2-a2=12.所以所求所以所求A点的轨迹方程为点的轨迹方程为 (x2).返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 双曲线性质及应用双曲线性质及应用双曲线性质及应用双曲线性质及应用2010年高考北京卷已知双曲线年高考北京卷已知双曲线 的离的离心率为心率为2，焦点与椭圆，焦点与椭圆 的焦点相同，的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为；渐近线方程为 .返回目录返回目录 【分析】【分析】根据双曲线有关几何性质求解根据双曲线有关几何性质求解.【解析】【解析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,c=4.e= =2,a=2,b2=12,b= .焦点在焦点在x轴上轴上,焦点坐标为焦点坐标为(4,0),渐近线方程为渐近线方程为y= x,即即y= x,化为一般式为化为一般式为 xy=0.返回目录返回目录 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线四线”（两条对称轴、两条渐近线），（两条对称轴、两条渐近线），“两形两形”（中心、焦点（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系的三角形）研究它们之间的相互联系.返回目录返回目录 2010年高考天津卷已知双曲线年高考天津卷已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线方程是的一条渐近线方程是y= x，它的一个焦点，它的一个焦点在抛物线在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为的准线上，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.返回目录返回目录 【答案】【答案】B【解析】【解析】抛物线抛物线y2=24x的准线方程为的准线方程为x=-6，故双曲线中故双曲线中c=6. 由双曲线由双曲线 的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为y= x，知，知 ,且且c2=a2+b2. 由由解得解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为故双曲线的方程为 .故应选故应选B.返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 双曲线的综合应用双曲线的综合应用双曲线的综合应用双曲线的综合应用 已知双曲线已知双曲线C的中心是原点，右焦点为的中心是原点，右焦点为F（ ，0），一），一条渐近线条渐近线m：x+ y=0，设过点，设过点A(-3 ,0)的直线的直线l的方的方向向量向向量e=(1,k).(1)求双曲线求双曲线C的方程的方程;(2)若过原点的直线若过原点的直线a l，且，且a与与l的距离为的距离为 ,求求k的值的值;(3)证明：当证明：当k 时时,在双曲线在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q,使使之到直线之到直线l的距离为的距离为 .返回目录返回目录 【分析】【分析】（1）由渐近线为）由渐近线为x+ y=0可设双曲线方程可设双曲线方程为为x2-2y2=(0)，则，则a2=,b2= ,c= .可求可求.（2）由由al求求k.（3）可利用反证法证明或利用直接法）可利用反证法证明或利用直接法.【解析】【解析】（1）设双曲线）设双曲线C的方程为的方程为x2-2y2=(0),+ =3，解得，解得=2.双曲线双曲线C的方程为的方程为 -y2=1.返回目录返回目录 （2）直线）直线l：kx-y+3 k=0，直线，直线a：kx-y=0.由题意，得由题意，得 ，解得，解得k= .(3)设过原点且平行于设过原点且平行于l的直线的直线b：kx-y=0，则直线则直线l与与b的距离的距离d= ，当当k 时，时，d .又双曲线又双曲线C的渐近线为的渐近线为x y=0，双曲线双曲线C的右支在直线的右支在直线b的右下方，的右下方，返回目录返回目录 双曲线双曲线C右支上的任意点到直线右支上的任意点到直线l的距离大于的距离大于 .故在双曲线故在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q，使之到直线，使之到直线l的距离的距离为为 .1-2k20,-4kt0,-2(t2+1)0.方程不存在正根，即假设不成立方程不存在正根，即假设不成立.故在双曲线故在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q，使之到直线，使之到直线l的距离的距离为为 .返回目录返回目录 正确设出双曲线方程是解决本题的基础，合理的正确设出双曲线方程是解决本题的基础，合理的推理、准确的计算以及充分地用好双曲线性质是做好推理、准确的计算以及充分地用好双曲线性质是做好本题的关键本题的关键.返回目录返回目录 双曲线双曲线C： （a0,b0）的右顶点）的右顶点A，x轴上轴上有一点有一点Q（2a，0），若），若C上存在一点上存在一点P，使，使AP，PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围求此双曲线离心率的取值范围.设设设设P点坐标为点坐标为(x,y),则由则由APPQ=0，得，得APPQ，则则P点在以点在以AQ为直径的圆上，为直径的圆上，即即 . 又又P点在双曲线上，得点在双曲线上，得 . 由由消去消去y，得，得（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.当当x=a时，时，P与与A重合，不符合题意，舍去重合，不符合题意，舍去.当当x= 时时,满足题意的满足题意的P点存在点存在,需需x= a,化简得化简得a22b2,即即3a22c2, .离心率离心率e= (1, ).返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.1.有关双曲线的运算需分清点在双曲线的哪一支上，在不同支有关双曲线的运算需分清点在双曲线的哪一支上，在不同支有关双曲线的运算需分清点在双曲线的哪一支上，在不同支有关双曲线的运算需分清点在双曲线的哪一支上，在不同支上结果不一样上结果不一样上结果不一样上结果不一样. . 2. 2.类比双曲线与椭圆的性质时，要突出双曲线的渐近线，类比双曲线与椭圆的性质时，要突出双曲线的渐近线，类比双曲线与椭圆的性质时，要突出双曲线的渐近线，类比双曲线与椭圆的性质时，要突出双曲线的渐近线，特别是由渐近线方程求双曲线方程时，不能直接写出双曲线方特别是由渐近线方程求双曲线方程时，不能直接写出双曲线方特别是由渐近线方程求双曲线方程时，不能直接写出双曲线方特别是由渐近线方程求双曲线方程时，不能直接写出双曲线方程，如渐近线方程是程，如渐近线方程是程，如渐近线方程是程，如渐近线方程是 =0 =0，要把双曲线方程写成，要把双曲线方程写成，要把双曲线方程写成，要把双曲线方程写成 =，再根据已知条件确定，再根据已知条件确定，再根据已知条件确定，再根据已知条件确定 的值，求出双曲线方程的值，求出双曲线方程的值，求出双曲线方程的值，求出双曲线方程. .若求得若求得若求得若求得00，则焦点在，则焦点在，则焦点在，则焦点在x x轴上，若求得轴上，若求得轴上，若求得轴上，若求得00，则焦点在，则焦点在，则焦点在，则焦点在y y轴上轴上轴上轴上. .