第一章 矢量分析主要内容：矢量的基本概念、代数运算场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）矢量场的亥姆霍兹定理1-1 标量与矢量标量：仅具有大小特征的量。例如长度、温度、面积、体积等。矢量：具有大小和方向特征的量。例如速度、力、电场强度等。 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。例如,在直角坐标下, 标量场矢量场形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面). .其方程为其方程为矢量线等值线1-2 矢量的代数运算若矢量A与矢量B大小与方向均相同，则A=B。加法运算符合结合律和交换律。交换律：结合律：标量乘矢量：1-3 矢量的标积和矢积一、矢量的标积矢量A与矢量B的标积定义为：矢量A的模为：A的单位矢量其中 、 、 为矢量A的方向余弦。显然，两矢量的标积是一个标量。则：标积的几何意义标积的几何意义设其中所以 可见，标积AB等于矢量A的模与矢量B在矢量A方向投影大小的乘积。显然二、矢量的矢积矢量A与矢量B的矢积定义为：显然，矢量的矢积不满足交换律。两个矢量的矢积仍是矢量。矢积的几何意义矢积的几何意义设则显然 可见，矢积AB的方向与矢量A及矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成右手螺旋关系；大小为 。1-4 标量场的方向导数与梯度一、方向导数 标量场在某点的方向导数表示标量场在该点沿某一方向的变化率。Pl 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为二、梯度(gradient)为 的方向余弦。在直角坐标系中，方向导数 可写为：设则有:矢量G称为标量场 的梯度，以grad 表示，即可见，标量场的梯度是一个矢量场。哈密顿算子式中当 ,即 与 方向一致时, 为最大.三、梯度的物理意义方向导数l 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数。l标量场的梯度是矢量场，是空间坐标点的函数。l 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.因此l标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。梯度的物理意义例1 三维高度场的梯度 三维高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。例2 电位场的梯度 电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。四、梯度运算的基本公式 例例 计算计算 及及 。这里。这里 R 为空间为空间 P 点与点与 点之间的距离点之间的距离, ，如下图示。，如下图示。P 点的坐标为点的坐标为 ， 点的坐标为点的坐标为 ， 表示对表示对 x, y, z 运算，运算， 表示对表示对 运算。运算。 zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )解解表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点。 1-5 矢量场的通量、散度与散度定理一、通量 矢量 A A 沿某一有向曲面 S S 的面积分称为矢量 A A 通过该有向曲面 S S 的通量，以标量 表示，即 矢量场的通量 物理意义：若S 为闭合曲面,则矢量A A通过面S S的通量 反映了闭合面中源的性质: = 0 (无源) 0 (有正源) 由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。 通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。二、散度(divergence) 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A A通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A A在该点的散度，以divA A表示，即上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中，散度可表示为：三、散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A= 0 (无源） A A= 0 (正源) A A= 0 (负源) 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。四、高斯定理（散度定理） 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量高斯定理 建立了矢量函数面积分与标量函数体积分的互换。 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。五、散度的运算公式例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度 。求得求得已知已知解解Oxzyrxzy1-6矢量场的环量、旋度与旋度定理一、环量与漩涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。 环量表示闭合曲线内存在另一种源漩涡源。电流是磁场的漩涡源。例：流速场 流速场水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源环量：矢量场A沿有向闭合曲线l的线积分称为矢量场A沿该曲线的环量，以表示为 环量的计算物理意义：矢量沿闭合曲线的环量反映了闭合曲线内源的性质。二、旋度（rotation） 过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时,存在极限 此极限称为矢量A A在P点对于方向e en的环量密度，或环量强度。同一点不同方向上环量密度不同。1. 环量密度en1en2en2. 旋度 矢量A A的旋度是一个矢量，其模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向，以符号curl表示，即它与环量密度的关系为在直角坐标系下即某点环量密度的大小为矢量A在该点的旋度在环量密度方向的投影。三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或旋涡场)，J 称为旋度源(或旋涡源)； 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。四、斯托克斯定理（旋度定理） 斯托克斯定理 是环量密度，即围绕单位面积环路的环量，因此取面积微元 ，包围其的闭合曲线为 则有对于包围面积S的闭合曲线l，有上式称为斯托克斯定理或旋度定理。式中 的方向与 的方向符合右手螺旋关系。 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系。在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。五、旋度的有关公式例例 试证任何矢量场试证任何矢量场 A 均满足下列等式均满足下列等式式中式中S 为包围体积为包围体积 V 的闭合表面，此式又称为的闭合表面，此式又称为矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。证证根据高斯定理，上式左端应为根据高斯定理，上式左端应为设设 C 为任一为任一常常矢量，则矢量，则那么对于任一体积那么对于任一体积 V，得，得求得求得SVA1-7 无散场与无旋场 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 可以证明，下列两个重要公式成立： 上式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。 上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图示。 SV, 那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。上两式称为标量第一格林定理。1-8 格林定理基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。 设任意两个矢量场 P P 与 Q Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P P 及 Q Q 满足下列等式式中 S S 为包围 V 的闭合曲面，面元 dS S 的方向为 S S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。 基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。 无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 此外，格林定理说明了两个标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一个场的分布特性，即可利用格林定理求解另一个场的分布特性。 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。VSF(r)1-9 矢量场的唯一性定理1-10 亥姆霍兹定理 若矢量场 F F (r r) 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F F (r r) 可以表示为 式中l任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。V zxyr Or r r F(r)l无散且无旋的矢量场在无限空间中是不存在的。l有限空间中的矢量场由其散度、旋度唯一的确定。若矢量场F(r)位于区域V中，则上述方程变为：式中上式中的面积分分别代表了边界S上场量的法向分量和切向分量。l有限空间中的矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一的确定。l若有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。l矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 1-11 正交曲面座标系 一个正交曲面座标系由u1=常数、u2=常数、u3=常数的三个正交坐标曲面构成，u1、u2、u3称为坐标变量。 令eu1、eu2、eu3分别表示3个相应坐标变量的梯度方向的单位矢量，那么在三维正交座标系（ u1、u2、u3 ）中，矢量A可表示为：式中，A1、A2、A3分别为矢量A在相应座标轴上的座标分量。直角直角( (x, y , z) )zxyz = z 0x = x 0y = y 0P0O圆柱圆柱(r, , z)yzxP0 0 = 0r = r0z = z 0Oxzy = 0 0 0球球(r, , )r = r 0 = 0P0O微分单元的表示微分单元的表示球坐标系球坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系直角坐标系坐标变量转换关系坐标变量转换关系坐标分量转换关系坐标分量转换关系