第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转1一类参考学习指导学习指导 扭转问题是空间问题中的一个专门扭转问题是空间问题中的一个专门问问题。题。 扭转问题的理论，是从空间问扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数而建立起来的。扭转问题的应力函数 (x(x，y)y)，仍然是二维问题。，仍然是二维问题。2一类参考柱体扭转圆柱扭转：平面假设非圆截面扭转：横截面发生翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的！第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移3一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移等直非圆杆扭转： 横截面翘曲纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。 相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没有正应力。约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。 相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。弹性力学讨论自由扭转。4一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。yxxy5一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。 用半逆解法。参考材料力学中对于圆截面杆的解答，这里假设：除了横截面上的剪应力zx和zy（即扭应力）以外，其余应力分量都等于零，即：(10-1）1、求应力分量和位移分量：、求应力分量和位移分量：6一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移1、求应力分量和位移分量：、求应力分量和位移分量：(a）F(x,y)7一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-2）8一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-2）(10-3）9一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移2 考察边界条件：考察边界条件：(10-2）(1)yx10一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-4）讨论：讨论：(10-2）11一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(c）(d）(e）静力等效静力等效(2)(10-2）12一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(c）(d）(e）静力等效静力等效(2)13一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-5）(10-2）14一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-3）(10-4）(10-5）(10-2）15一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移现在推导有关位移的公式现在推导有关位移的公式。将应力分量的表达式(10-1)及(10-2)代入物理方程（8-17)，得：(f）16一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移 通过积分运算，可求得位移分量：(10-6） 用柱坐标系表示，即： 可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，只是转动一个角度Kz。由此又可见，杆的单位长度内的扭转角满足：17一类参考第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转10.1 10.1 扭转问题的应力和位移扭转问题的应力和位移(10-7）(10-8）(10-3）(10-9）18一类参考10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转德国力学家 Prantle 普朗都指出，薄膜在均匀压力作用下的垂度，与等直截面杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似。用薄膜来比拟扭杆，可以有助于求得扭转问题的解答.19一类参考10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 当薄膜承受微小的均匀压力时当薄膜承受微小的均匀压力时，薄膜的各点将发生微小的垂度。以边界所在的水平面为xy面，则垂度为则垂度为z。 由于薄模的柔性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只能承受均匀拉力只能承受均匀拉力T（好像液膜的表面张力）。（好像液膜的表面张力）。均匀薄膜，张在一个水平边界上（上图所示）条件：水平边界形状和大小扭转杆的横截面边界第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转20一类参考10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转21一类参考简化后(10-10)此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即(10-11)10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转22一类参考薄膜问题与扭转问题比较：扭转问题薄膜问题结论：10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转23一类参考薄膜问题与扭转问题比较：结论：10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转24一类参考薄膜问题与扭转问题比较：10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转25一类参考10.2 10.2 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转薄膜曲面可以形象地描述横截面的扭转应力分布。薄膜的等高线：切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比。切应力与等高线相切。切应力线。26一类参考10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转 等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴是a和b。(a)27一类参考10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴是a和b。(a) 由于应力函数在横截面的边界上应当等于零，所以假设应力函数为：(b) 其中m是一个常数，然后考察，是否满足一切条件。第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转AAB28一类参考10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转29一类参考(10-5）(d）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转由材料力学知：30一类参考(e）(f）(10-2）(10-12）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转该应力函数满足了所有一切条件。31一类参考(10-12）(10-13）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转 假想有一块薄膜，张在椭圆边界上，受均匀压力，则，显然可见，薄膜的最大斜率将发生在?，而方向垂直于边界。 根据薄膜比拟，扭杆横截面上最大的切应力也发生在A点和B点，但方向平行于边界。将A点和B点的坐标(0,b)代入（10-13），得出：32一类参考(10-9）(10-15）(10-6）(10-16）(10-7）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转33一类参考(10-17）10.3 10.3 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转34一类参考35一类参考10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转分析矩形截面杆的扭转，设矩形的边长为a及b。(10-3）积分第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转(10-5）36一类参考(10-5）(10-2）(10-18）(10-19）10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转37一类参考(10-9）(10-20）(d）(e）(f)10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转分析任意矩形截面杆（a/b）为任意数值。并满足边界条件：38一类参考(e）(f)10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转分析任意矩形截面杆（a/b）为任意数值。求解参见有关参考书（不讲）。39一类参考10.4 10.4 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转第十章第十章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转薄壁构件的扭转：薄壁杆的横截面是由等宽度的狭长矩形组成。 一个弯的狭长矩形组成可以用一个等宽度的直矩形截面代替，而不致引起很大的误差。40一类参考开口薄壁杆件横截面由等宽度的狭长矩形组成 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆241一类参考 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆342一类参考应力集中长边中点切应力给出了相当精确的解答 局部切应力 局部tmax与圆弧半径r与狭长矩形的短边di的比值有关 8.5 开口薄壁杆开口薄壁杆443一类参考