积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广 微分方程微分方程 第八章第八章常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含自变量含自变量,未知函数及其导数未知函数及其导数(微分微分)的方程叫做的方程叫做微分方程微分方程 (未知函数为未知函数为一元一元函数函数)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念分类分类微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第一节(未知函数为未知函数为多元多元函数函数)方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.的线性函数，的线性函数，一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是若若F为为则称其为则称其为n阶线性微分阶线性微分方程方程; 否则，称其为否则，称其为非线性微分方程非线性微分方程。例：例：其一般形式为其一般形式为其中其中均为均为x的已知函数。的已知函数。一阶非线性常微分方程一阶非线性常微分方程一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程二阶偏微分方程二阶偏微分方程二、微分方程的解 使方程成为恒等式的使方程成为恒等式的函数函数. .微分方程的微分方程的解解 通解通解 解中含有解中含有n n个独立的任意常数个独立的任意常数 的的函数解，称为其通解。函数解，称为其通解。特解特解 在通解中给任意常数在通解中给任意常数 以确定的值以确定的值而得到的解，称为其特解。而得到的解，称为其特解。例：例：其通解为其通解为 ，其中，其中 为任意常数。为任意常数。取取 ， 得其特解为得其特解为 。 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件( (或或初值条件初值条件) ):例例通解通解:特解特解:定解条件定解条件 转化转化 可分离变量微分方程可分离变量微分方程 第二节分离变量方程分离变量方程 一、可分离变量方程一、可分离变量方程 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为 或或 分离变量方程分离变量方程 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:两边积分两边积分, 得得 则有则有其中其中C为任意常数为任意常数 。例例1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2. 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为例例3：分离变量分离变量即即( C 0 )解：解：二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分, 得得积分后再用积分后再用代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 例例1. 解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为( C 为任意常数为任意常数 )例例2. 解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即(C 为任意常数为任意常数)