11.2 正正 项项 级级 数数一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若1) 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界 .若若收敛收敛 , 部分和数列部分和数列有界有界, 故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”定理定理 1. 2)正项级数正项级数发散发散如如: 调和级数调和级数发散发散则则证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界定理定理2 （比较判别法）（比较判别法） 定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 其中其中k为正数为正数. 例例1. 讨论讨论 p 级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散 .发散发散 ,因为当因为当故故考虑强级数考虑强级数的部分和的部分和故强级数收敛故强级数收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛 .时时,2) 若若重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .证明证明定理定理3 3 ( (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式) )设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;证证: 据极限定义据极限定义,由由定理定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ;(1) 当当0 l +时时,(2) 当当l = 0时时,由由定理定理2 知知收敛收敛 , 若若(3) 当当l = +时时,即即由由定理定理2可知可知, 若若发散发散 , 解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.定理定理4 4 ( (比值判别法比值判别法) )比值判别法的优点比值判别法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 注意注意:解解比值比值判别判别法失效法失效, 改用比较改用比较判别判别法法例例5. 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性 .解解: 根据定理根据定理4可知可知:级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 ;定理定理5 5 ( (根值判别法根值判别法) )