Xx1x2xiXnPp1p2pipn第 4 讲 离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为则称 E(X)_为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平x1p1x2p2xipixnpn设 a、b 是常数，随机变量 X、Y 满足 YaXb，则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_3两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)_(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)_称 D(X)xiE(X)2pi_为随机变量 X 的方差它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小xnE(X)2pn2均值和方差的性质aE(X)ba2D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2npnp(1p)pp(1p)123P0.40.20.41已知随机变量的分布列是：则 D()()BA0.6C1B0.8D1.22已知随机变量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，则 n、p 的值为()BAn4，p0.6Cn8，p0.3Bn6，p0.4Dn24，p0.1X1012Pabc112X101P1216a3已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望是()B4已知离散型随机变量 X 的分布列如下表若 E(X)0，0123P0.40.30.20.1012P0.30.50.25.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量、，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_乙考点 1离散型随机变量的均值和方差例1：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验求至少有 1 件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望 E()，并求该商家拒收这批产品的概率012P136190511903190 其分布列为：所以商家拒收这批产品的概率为27.95考点 2均值和方差的应用例2：(2010 年深圳一模)某投资公司在 2010 年年初准备将1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润本金)可以翻一番？(参考数据：lg20.301 0，lg30.477 1)解题思路：(1)通过比较两个项的获利的均值和方差(2)每年年底的总资产依次构成一等比数列，通过列方程求得25003000P35131151300150P7929解析：(1)若按“项目一”投资，设获利1 万元，则1 的分布列为若按“项目二”投资，设获利2万元，则2 的分布列为：【互动探究】2某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可享受 20 元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的奖品；点数之和为 11或 10 点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8点获三等奖，奖价值为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；(2)如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值30a70030P13653614712(2)设俱乐部在游戏环节收益为元，则的可能取值为 30a，-70,0,30，其分布列为：错源：考虑问题不全面例 3：某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3 题者则被淘汰，已(3)设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望345P131027827因此有分布列：2345P194274271627例 4：如图 1541 是两个独立的转盘(A)、(B)，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60, 120, 180.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始)，记转盘(A)指针所对的区域数为 x，转盘(B)指针所对的区域为 y，x、y1,2,3，设 xy 的值为，每一次游戏得到奖励分为.图 1541(1)求 x1 的概率；(2)某人进行了 12 次游戏，求他平均可以得到的奖励分23456P11873613361136112(2)由条件可知的取值为：2,3,4,5,6，则的分布列为：他平均一次得到的奖励分即为的期望值：本题与几何概型相结合，考查了离散型随机变量的分布列和期望【互动探究】4一个口袋中装有 n 个红球(n5 且 nN)和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖(1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p；(2)若 n5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 p.当 n 取多少时，p 最大？(1)对随机变量 X 的均值(数学期望)是算术平均数概念上的推广，是概率意义上的平均E(X)是一个数，由分布列唯一确定，按照公式求 E(X)(2)方差 D(X)可反映其稳定性，是算数平均数概念上的推广，按照公式求出 D(X)