第二章第二章 Z变换及离散时间系统分析变换及离散时间系统分析Chapter 2 Chapter 2 Z-Transform and Z-Transform and Discrete Time Systems Discrete Time Systems Analysis Analysis 7/21/20241思考思考本章本章z变换分析法，即离散信号与系统的变换分析法，即离散信号与系统的“频率域分析频率域分析”，与前一章，与前一章“时域分析时域分析”相对。相对。思考：为什么要进行思考：为什么要进行“频域分析频域分析”？7/21/202422.0 预备内容预备内容连续信号与系统分析连续信号与系统分析时域时域时域时域:f(t):f(t)、微分方程微分方程微分方程微分方程频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FTFT）离散信号与系统分析离散信号与系统分析时域时域时域时域:x(n):x(n)、差分方程差分方程差分方程差分方程频域频域频域频域：Z Z变换、序列的傅立叶变换变换、序列的傅立叶变换变换、序列的傅立叶变换变换、序列的傅立叶变换(DTFT)(DTFT)7/21/20243傅里叶变换傅里叶变换该变换存在的充分条件：该变换存在的充分条件：傅傅里叶变换的里叶变换的局限性局限性: 1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件工程中一些信号不满足绝对可积条件如如U(t);3) 求反变换时求反变换时,求求 (-,)上的广义积分上的广义积分,很困难很困难; 4) 只能求零状态响应只能求零状态响应,不能求零输入响应不能求零输入响应2) 有些信号不存在傅立叶变换如有些信号不存在傅立叶变换如2.0 预备内容预备内容7/21/20244拉普拉斯变换拉普拉斯变换引入衰减因子：引入衰减因子：使得：使得：求傅氏变换得到如下的拉氏变换求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ：对对可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，即拉氏变换的特例即拉氏变换的特例2.0 预备内容预备内容7/21/202452.1 Z变换定义变换定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的要研究离散时间系统的要研究离散时间系统的要研究离散时间系统的z z变换（类似于模拟系统的拉氏变变换（类似于模拟系统的拉氏变变换（类似于模拟系统的拉氏变变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列一个离散序列一个离散序列一个离散序列 x x（n n）的）的）的）的Z Z变换定义为：变换定义为：变换定义为：变换定义为： 收敛域：收敛域：收敛域：收敛域：一般，序列的一般，序列的一般，序列的一般，序列的z z变换并不一定对任何变换并不一定对任何变换并不一定对任何变换并不一定对任何z z值都收敛，值都收敛，值都收敛，值都收敛，z z平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为“ “收敛域收敛域收敛域收敛域” ”。级数一。级数一。级数一。级数一致收敛的条件是绝对值可和。致收敛的条件是绝对值可和。致收敛的条件是绝对值可和。致收敛的条件是绝对值可和。7/21/20246 以上的这种变换也称为双边以上的这种变换也称为双边以上的这种变换也称为双边以上的这种变换也称为双边 z z 变换。变换。变换。变换。 与此相应还有单边与此相应还有单边与此相应还有单边与此相应还有单边 z z 变换，单边变换，单边变换，单边变换，单边 z z 变换只是对单边序变换只是对单边序变换只是对单边序变换只是对单边序列（列（列（列（n=0n=0部分）进行变换的部分）进行变换的部分）进行变换的部分）进行变换的z z变换，其定义为：变换，其定义为：变换，其定义为：变换，其定义为： 单边单边单边单边z z变换只在少数情况下与双边变换只在少数情况下与双边变换只在少数情况下与双边变换只在少数情况下与双边z z变换有所区别，即变换有所区别，即变换有所区别，即变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边序列的起始条件不同，可以把单边序列的起始条件不同，可以把单边序列的起始条件不同，可以把单边z z变换看成是双边变换看成是双边变换看成是双边变换看成是双边z z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边变换的一种特例，即因果序列情况下的双边变换的一种特例，即因果序列情况下的双边变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z z变换。变换。变换。变换。2.1 Z变换定义变换定义7/21/20247Z变换、拉氏变换变换、拉氏变换(LT) 、傅里叶变换（傅里叶变换（DTFT）2.1 Z变换定义变换定义7/21/20248Z变换与拉氏变换变换与拉氏变换理想冲激抽样序列理想冲激抽样序列x(t)：有限带宽信号有限带宽信号通过抽样，通过抽样，得到如下的离散序列：得到如下的离散序列：2.1 Z变换定义变换定义7/21/202490RezrrejwImz2.1 Z变换定义变换定义Z变换与拉氏变换变换与拉氏变换7/21/202410Z变换与傅里叶变换（变换与傅里叶变换（DTFT）2.1 Z变换定义变换定义7/21/2024112.2 Z变换收敛域变换收敛域7/21/2024122.2 Z变换收敛域变换收敛域两点说明两点说明两点说明两点说明1.1.同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是不相同的。不相同的。不相同的。不相同的。2.2.收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。 常用的常用的常用的常用的Z Z变换是一个有理函数，用两个多项式之变换是一个有理函数，用两个多项式之变换是一个有理函数，用两个多项式之变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：比表示：比表示：比表示：零点：分子多项式零点：分子多项式零点：分子多项式零点：分子多项式P P( (z z) )的根的根的根的根极点：分母多项式极点：分母多项式极点：分母多项式极点：分母多项式QQ( (z z) )的根的根的根的根7/21/2024132.3 常用序列常用序列Z变换变换序列序列Z Z变换变换收敛域收敛域 ( (n n) )1 1全全Z Z平面平面u u( (n n) )1 11 1 - - z z - -1 1|z|1|z|1 n n u u( (n n) )1 1 1 1 - - z z - -1 1|z|z| | |R RN N ( (n n) )1 1 - - z z - -N N1 1 - - z z -1-1|z|0|z|0-n n u u( (-n-n-1)1)1 1 1 1 - - z z - -1 1|z|z|1|z|1nnn n u u( (n n) ) z z -1-1 (1 (1 - - z z - -1 1) ) 2 2|z|z| | |7/21/2024142.4 Z变换性质变换性质几条重要性质几条重要性质序列序列z z变换变换收敛域收敛域x(n)x(n)h(n)h(n)X(z)X(z)H(z)H(z)R Rx-x-|z|R|z|Rx+x+R Rh h- -|z|z|R Rh h+ +ax(n)+bh(n)ax(n)+bh(n)aX(z)+bH(zaX(z)+bH(z) )maxRmaxRx-x-，R Rh h- - |z|minR |z|minRx+, x+, R Rh h+x(n-m)x(n-m)z z-m-mX(zX(z) )R Rx-x-|z|R|z|Rx+x+x x* *(n)(n)X X* *(z(z* *) )R Rx-x-|z|R|z|Rx+x+x(-n)x(-n)X(1/z)X(1/z)1/R1/Rx+x+|z|1/R|z|1/Rx-x-x(n)*h(n)x(n)*h(n)X(z)H(z)X(z)H(z)maxRmaxRx-x-，R Rh h- - |z|minR |z|minRx+, x+, R Rh h+7/21/2024152.4 Z变换性质变换性质(2)中结果不对例例例例7/21/202416n定义及求解法定义及求解法2.5 Z反变换反变换7/21/202417 长除法长除法长除法长除法幂级数展开幂级数展开幂级数展开幂级数展开2.5 Z反变换反变换7/21/202418 部分分式部分分式部分分式部分分式|z|1/22.5 Z反变换反变换7/21/202419 留数法留数法留数法留数法注意：注意：注意：注意：积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线积分路径内部积分路径内部积分路径内部积分路径内部 的极点的留数的极点的留数的极点的留数的极点的留数当当当当n n取不同的值，取不同的值，取不同的值，取不同的值，z=0z=0处的极点的阶次不同处的极点的阶次不同处的极点的阶次不同处的极点的阶次不同 2.5 Z反变换反变换7/21/202420已知：已知：2.5 Z反变换反变换7/21/2024212.5 Z反变换反变换7/21/2024222.5 Z反变换反变换7/21/2024232.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程7/21/202424零状态解零状态解2.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程7/21/202425II)II)求暂态解（求暂态解（求暂态解（求暂态解（零输入解零输入解零输入解零输入解） 所以，零输入解为：所以，零输入解为：2.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程7/21/202426全响应全响应全响应全响应零状态解零状态解零输入解零输入解2.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程7/21/202427例例1：2.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程7/21/2024282.6 Z变换求解差分方程变换求解差分方程例例2：7/21/202429线性时不变离散系统四种表示方法线性时不变离散系统四种表示方法频率响应频率响应频率响应频率响应转移函数转移函数转移函数转移函数（也称系统函数）（也称系统函数）（也称系统函数）（也称系统函数）差分方程差分方程差分方程差分方程卷积关系卷积关系卷积关系卷积关系2.7 转移函数转移函数7/21/202430 转移函数定义为系统单位抽样响应的转移函数定义为系统单位抽样响应的转移函数定义为系统单位抽样响应的转移函数定义为系统单位抽样响应的Z Z变换，也是系统变换，也是系统变换，也是系统变换，也是系统输出、输入输出、输入输出、输入输出、输入Z Z变换之比变换之比变换之比变换之比2.7 转移函数转移函数7/21/202431 FIRFIR系统：系统：系统：系统：h(n)h(n)为为为为有限长，输入端不含输出对输入的反有限长，输入端不含输出对输入的反有限长，输入端不含输出对输入的反有限长，输入端不含输出对输入的反馈，系统总是稳定的馈，系统总是稳定的馈，系统总是稳定的馈，系统总是稳定的 IIRIIR系统：系统：系统：系统： h(n)h(n)为为为为无限长，输入端包含输出对输入的反无限长，输入端包含输出对输入的反无限长，输入端包含输出对输入的反无限长，输入端包含输出对输入的反馈，存在稳定性问题馈，存在稳定性问题馈，存在稳定性问题馈，存在稳定性问题2.7 转移函数转移函数7/21/202432零极点分析零极点分析零极点分析零极点分析 由式由式由式由式2.12.1因式分解，得到：因式分解，得到：因式分解，得到：因式分解，得到： 使以上转移函数分子、分母多项式等于零的使以上转移函数分子、分母多项式等于零的使以上转移函数分子、分母多项式等于零的使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z z值分别称为系值分别称为系值分别称为系值分别称为系统的零点和极点。统的零点和极点。统的零点和极点。统的零点和极点。分析系统因果性分析系统因果性分析系统因果性分析系统因果性分析系统稳定性分析系统稳定性分析系统稳定性分析系统稳定性: :一个一个一个一个LTILTI系统稳定的充要条件是其所有的极系统稳定的充要条件是其所有的极系统稳定的充要条件是其所有的极系统稳定的充要条件是其所有的极点位于单位圆内点位于单位圆内点位于单位圆内点位于单位圆内估计系统频率响应估计系统频率响应估计系统频率响应估计系统频率响应：几何分析法：几何分析法：几何分析法：几何分析法数字滤波器设计的一般法则数字滤波器设计的一般法则数字滤波器设计的一般法则数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应：阻止一个频率，在单位圆相应：阻止一个频率，在单位圆相应：阻止一个频率，在单位圆相应频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。2.7 转移函数转移函数7/21/2024332.7 转移函数转移函数7/21/202434其中其中其中其中K K为实数，用为实数，用为实数，用为实数，用z=e z=e jwjw代入，即系统的频率响应为：代入，即系统的频率响应为：代入，即系统的频率响应为：代入，即系统的频率响应为：其模等于：其模等于： 其相角为其相角为：2.7 转移函数转移函数7/21/202435频响几何分析示例一频响几何分析示例一2.7 转移函数转移函数7/21/202436。零点在单位圆上：零点在单位圆上：极点在极点在 频响几何分析示例二频响几何分析示例二2.7 转移函数转移函数7/21/2024372.7 转移函数转移函数频响几何分析示例三频响几何分析示例三7/21/202438结束7/21/202439