2 边际分布与随机变量的独立性X,YX,Y作为一个整体研究时作为一个整体研究时, , 即二维随机变量即二维随机变量(X,Y), (X,Y), 具有分布函数具有分布函数F(x,y); F(x,y); 作为单独的作为单独的个体研究时个体研究时, , 它们各自都是随机变量它们各自都是随机变量, , 有各有各自的分布函数自的分布函数. .1优质教学1. 边际分布 边际分布函数边际分布函数定义定义 记分量记分量X和和Y各自的分布函数为各自的分布函数为FX(x), FY(y), 则则FX(x)=P(Xx)= P(Xx, Y )=F(x, )同理有同理有, FY(y)=F(,y)我们把我们把FX(x), FY(y)分别称为分别称为(X,Y)关于关于X,Y的的边际分边际分布函数布函数.下面我们分离散型和连续型两种情形来讨论二维随机变下面我们分离散型和连续型两种情形来讨论二维随机变量的边际分布量的边际分布.2优质教学当当(X,Y)是离散型随机变量时是离散型随机变量时3优质教学例一例一. 在一个装有在一个装有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分别进行两次非放回的产品抽样分别进行两次非放回的产品抽样, 令令试求随机向量试求随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列的联合分布列和边际分布列.4优质教学所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为:X Y0101/157/3017/307/155优质教学根据联合分布列根据联合分布列, 对同一行或同一列相加对同一行或同一列相加, 就可得就可得到到(X,Y)对对X和和Y的边缘分布列的边缘分布列:X Y01P(X=xi)01/157/303/1017/301/157/10P(Y=yj)3/107/106优质教学当当(X,Y)是连续型随机向量时是连续型随机向量时7优质教学例二例二(上节例三续上节例三续). (X,Y)具有联合密度函数具有联合密度函数解解:8优质教学9优质教学例三例三. 若二维随机向量若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为试求二维正态分布随机变量的边际分布试求二维正态分布随机变量的边际分布.10优质教学解解: 11优质教学12优质教学这一事实也表明这一事实也表明: 单由关于单由关于X和关于和关于Y的边际分的边际分布布, 一般来说是不能确定一般来说是不能确定X和和Y的联合分布的的联合分布的.13优质教学2. 随机变量的独立性对于多维随机变量对于多维随机变量, , 各分量的取值有时会相互各分量的取值有时会相互影响影响, , 例如一个人的身高例如一个人的身高X X和体重和体重Y Y就会相互就会相互影响影响, , 两个变量的取值有同方向协同变化的两个变量的取值有同方向协同变化的趋势趋势.但有时变量间没有相互影响但有时变量间没有相互影响. . 例如例如, , 一个人的一个人的身高身高X X与收入与收入Z Z就没有明显的相互影响就没有明显的相互影响. . 当变量间的取值规律互不影响时当变量间的取值规律互不影响时, , 我们称它们我们称它们是相互独立的是相互独立的. .14优质教学独立性的定义独立性的定义15优质教学独立性的等价定义独立性的等价定义由独立性的定义不难得出如下的等价的定义由独立性的定义不难得出如下的等价的定义:注意注意: 在实际计算中在实际计算中, 独立性的等价定义比使用独立性的独立性的等价定义比使用独立性的原始定义往往更方便原始定义往往更方便.16优质教学例四例四. 在一个装有在一个装有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分别进行两次放回和非放回的产品抽样分别进行两次放回和非放回的产品抽样, 令令试就放回抽样和非放回抽样这两种情形分别给出试就放回抽样和非放回抽样这两种情形分别给出(X,Y)的联合分布列和边际分布列的联合分布列和边际分布列, 并考虑并考虑X,Y是否相互独立是否相互独立.17优质教学解解: 放回抽样时放回抽样时, 概率分布律表如下概率分布律表如下: YX01P(X=xi)03/1017/10P(Y=yj)3/107/1018优质教学非放回抽样时非放回抽样时, 概率分布律表如下概率分布律表如下: YX01P(X=xi)03/1017/10P(Y=yj)3/107/1019优质教学例五例五. 解解: 由题知由题知20优质教学21优质教学例六例六. 若 (X,Y)服从二维正态分布, 即22优质教学23优质教学24优质教学例七例七. 若若 (X,Y)的密度函数为的密度函数为25优质教学3.2 作业教材第161页习题 11, 1226优质教学