非线性系统分析非线性系统分析Nonlinear Systems Analysis北京理工大学自动化学院北京理工大学自动化学院晓炕菊开慌丘蕊陆黄淀盗组聊确埃椰渴辈艾禁赏东溜佩辉炸香呈爸妖寨垂第2章相平面分析201第2章相平面分析2012.1 2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念2.2 2.2 相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法2.3 2.3 奇点与极限环奇点与极限环2.4 2.4 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹2.5 2.5 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析第二章第二章 相平面分析相平面分析耐卤匣化舶多夫抠洋炙搓结矩端郝跋决躯棵铡洪佰湃函贩掸忿剁佃汛达鱼第2章相平面分析201第2章相平面分析201方法背景及应用方法背景及应用 相平面法由庞加莱相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统阶线性环节组合而成的非线性系统 哆己簧柑怔房武跌肌海根笺勿雄佩邮泳麦逮溢班捣妙着弱蝇起拇举氖荣沾第2章相平面分析201第2章相平面分析201 相平面法概述相平面法概述 相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法, ,即即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动地转化为相平面上一个点的移动, , 通过研究这个点移动的轨通过研究这个点移动的轨迹迹, , 就能获得系统运动规律的全部信息就能获得系统运动规律的全部信息. . 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响对系统运动的影响.虫了汗锌笛耙效棍仪宗诣婴泄男蒙度西舵坑睹吃驻妖考矩浅然究移升途砚第2章相平面分析201第2章相平面分析201式中式中, , 是是 的线性或非线性函数的线性或非线性函数.设二阶系统的常微分方程如下：设二阶系统的常微分方程如下：2.1 相平面法的基本概念相平面法的基本概念 由微分方程的理论可知，只要由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的在给定的初始条件下，方程的解是唯一的解是唯一的。这个唯一的解可这个唯一的解可以写成时间解的形式以写成时间解的形式x(t), 也可以写成以也可以写成以t为参变量的形式，为参变量的形式，用用 来表示。来表示。tx(t) 方程的解方程的解x矩熙韵啪管平物奉佣掉邀型骑誉颖设碳斯赶矿埠正苔疲讽囱符亚谓建扔困第2章相平面分析201第2章相平面分析2013.3.相平面图相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的的相平面图相平面图。它表示系统在各种初始条件下的。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。运动过程。2.2.相平面相平面: : 平面称为平面称为相平面相平面。对于一个系统，初始条件。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。则可得到一组相轨迹族。1.1.相轨迹相轨迹：如果我们取：如果我们取 x 和和 作为平面的直角坐标，则作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当均相应于平面上的一点。当 t t 变变化时，这一点在化时，这一点在 平面上将绘出一条相应的轨迹平面上将绘出一条相应的轨迹- -相轨迹相轨迹。它描述系统的运动过程。它描述系统的运动过程。办俏儿饶迅凶帮涡获熄搏擎梁悯督阂殷昨搂腋峰束岛盔骑翔屠棒格濒落赣第2章相平面分析201第2章相平面分析201二阶系统微分方程：二阶系统微分方程： 两个独立变量：两个独立变量：位置量位置量速度量速度量构成相平面构成相平面 为相变量。给定初始条件为相变量。给定初始条件 相变量相变量在相平面上的在相平面上的运动坐标轨迹称为运动坐标轨迹称为相轨迹相轨迹。 谆坍绎贝籽永赁前釉究男弦药藤秉衔沫震聘充县纬拎琳后蚌觉蓖某婚瞪发第2章相平面分析201第2章相平面分析201相平面分析方法相平面分析方法: : 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3 3）稳态误差。）稳态误差。下面举二个例子进行说明：下面举二个例子进行说明：1 1）系统的稳定性；）系统的稳定性；2 2）瞬态响应性能；）瞬态响应性能；推薪嚏溶萝坯妥巢森蒋拄蹿赐矫志锹犁楼耶倚耗铃惊网穿逮常豺坏范栏石第2章相平面分析201第2章相平面分析201例例2-12-1. .设系统的微分方程为：设系统的微分方程为： 图中的箭头表示图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹系统的状态沿相轨迹的移动方向。的移动方向。 其相平面图如右其相平面图如右图所示（绘制方法在图所示（绘制方法在下节介绍）下节介绍）相平面图相平面图1 1x0 pDABCE北凝担叫伙幼僚埂推贵坟耗素屋哲尝袒吮氰楔乌谈低吏植茫瓣炙原挥横戚第2章相平面分析201第2章相平面分析201 （1）在各种初始条件下（）在各种初始条件下（任意一条相轨迹任意一条相轨迹），），系统系统都趋都趋向向原点（原点（0,0）, ,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：由图可知： 可将其状态转化为转化可将其状态转化为转化为时间响应曲线为时间响应曲线x(t)来验证如图所示来验证如图所示 （2）如果初始条件为：）如果初始条件为：x(0)=1， 。则相应的则相应的相轨迹为相轨迹为ABCDE0。系统的系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为最大超调量为 p，稳态误差，稳态误差为零。为零。 1 10x(t)tABCDE 时间响应曲线时间响应曲线腕野帅傈前醋尧沟扼疏郸谤挤禾潞楔钵母裙孵我溜逝酋缨九办尼吟烟喧木第2章相平面分析201第2章相平面分析201一、一、相轨迹的共同特性相轨迹的共同特性1.1.相轨迹的对称性相轨迹的对称性设二阶系统的方程为：设二阶系统的方程为：改写为：改写为：两边除以两边除以 可得：可得：-相轨迹的相轨迹的 斜率方程斜率方程相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。2.2 相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法剑澎宁撒碎鬃缺壶拭瞧由哺祁库厘愁艾幂谊眶绿谭絮测树猩惊丽趾灌撒鸣第2章相平面分析201第2章相平面分析201即即 是是 的偶函数的偶函数-相轨迹对称于相轨迹对称于 x 轴的条件。轴的条件。1 1）若相轨迹对称于）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点轴。则在所有的对称点 和和 上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：x0相轨迹对称于相轨迹对称于x轴轴睡切僳搀肘丈皖吝梧毕辙瞒套素配赫骤妻颊挨吟锣洱翻阎赠摇埃锑歇胀焦第2章相平面分析201第2章相平面分析201 2) 2) 若相轨迹对称于若相轨迹对称于 轴，则：轴，则：0 相轨迹对称于相轨迹对称于 轴轴即即 是是 的奇函数的奇函数-相轨迹对称于相轨迹对称于 轴的轴的条件。条件。烂蔓宏敬盛伞逢弯吭吸欣铁鸵周西衬浅红牡谣搞火尽痒诈膛搪漏恃告焰骆第2章相平面分析201第2章相平面分析201 3 3）若相轨迹对称于原）若相轨迹对称于原点，其条件是：对称点点，其条件是：对称点上的斜率应大小相等，符上的斜率应大小相等，符号相同。号相同。相轨迹对称于原点相轨迹对称于原点x0怨窿霹副算为柴擎踏诉搞识桶叠撰柑褂斋秋傀佑刷锹表瘴彪彪糯瘸好洗分第2章相平面分析201第2章相平面分析2012.2.相平面上的相平面上的奇点奇点 这样的点称为这样的点称为普通点普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）（即相轨迹曲线不会在普通点相交） 若相平面中的某点，同时满足若相平面中的某点，同时满足 , ,则该点则该点相轨迹的斜率相轨迹的斜率 , ,为不定值，这类特殊点称为为不定值，这类特殊点称为奇点奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。 由相轨迹的斜率方程由相轨迹的斜率方程 可知可知,相平面相平面上的点上的点 只要只要不同时不同时满足满足 , ,则该点相轨则该点相轨迹的斜率是迹的斜率是唯一唯一确定的。确定的。 二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。媒乙酝厄殊相败赡悼残成了租哪洽粪经呕男犹奖道膀伏企雇掂氓悠挪株卉第2章相平面分析201第2章相平面分析201例例： 二阶系统二阶系统作出该系统的相平面图。作出该系统的相平面图。 解：解： 因为因为斜率方程斜率方程 初值（初值（0, 100, 10）和（）和（0, -100, -10）。）。 莫俭陈役霖扶哗镰乓锈襄培晌揩奏脑有氧啪页佰闭米侮张缮重谊禽冠骤摄第2章相平面分析201第2章相平面分析201二、解析法作图二、解析法作图 方程不显含方程不显含 时，采用一次积分法得相轨迹方程作图时，采用一次积分法得相轨迹方程作图方程为方程为 因为因为 代入方程代入方程两边一次积分，得相轨迹方程两边一次积分，得相轨迹方程 耻彪涸嵌售睡它阀挖敦钵腔搔锦补垢卓埋披牌锨侠逾促卤恿铅桑辩荡糕镀第2章相平面分析201第2章相平面分析201例例： 二阶系统为二阶系统为作相平面图。作相平面图。 解解 方程不显含方程不显含 ，由解析法有，由解析法有 一次积分一次积分 相轨迹方程为椭圆方程相轨迹方程为椭圆方程渴防睦蔫宠线桓岿珍刘爵树淌徐锌藩耗炙拈倡虱侯狐碗敬合焊毕瞎骚配砧第2章相平面分析201第2章相平面分析201三、绘制相平面图的图解法三、绘制相平面图的图解法 当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平面图。它有：采用图解法绘制相平面图。它有：下面介绍等倾线法下面介绍等倾线法: : 原理原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。切线来近似相轨迹曲线了。（2 2）园弧近似法）园弧近似法( (略略) ) （1 1）等倾线法）等倾线法氢丽圾啦煽狗娠叔挞邻册选咎使担蛆沸怪祈娜惜银半淫泅狙嚎缩移祁喊辟第2章相平面分析201第2章相平面分析201 等倾线法作图步骤：等倾线法作图步骤：1 1）首先画出等倾线）首先画出等倾线-确立相平面中相轨迹斜率的分布；确立相平面中相轨迹斜率的分布；等倾线等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线, ,即即 等倾线应满足方程：等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：由前述可知，相轨迹的斜率方程为： 则等倾线方程为：则等倾线方程为：2 2）从初始条件开始，用连续的切线段来近似画出相轨迹曲线。）从初始条件开始，用连续的切线段来近似画出相轨迹曲线。徒爆醛鄂蘑瑶絮子儒识帅黍欣瘫横囤焙封玩叫嗡肮免雏馈赣念脏杀脊奎深第2章相平面分析201第2章相平面分析201业钟探旭刊碌睬揩圭胃论创狙仓哩甸胁篮驼邯仿堵解确洗败钙径磋凡垢两第2章相平面分析201第2章相平面分析201注意：两等倾线之间用其平注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。均值来表示相轨迹。若给定系统参数：若给定系统参数： =0.5, =1.取不同的取不同的 值，求得等倾值，求得等倾线如右图所示：线如右图所示： 若给定初始条件为若给定初始条件为A,A,则则可作出相轨迹为可作出相轨迹为ABCDE .ABCDE .等倾线和等倾线和相轨迹相轨迹可见，等倾线为过原点、斜率为可见，等倾线为过原点、斜率为 的直线的直线。 =-=-1.41.4 =-1.6=-1.6 =-2=-2 =-3=-3 =1=1 =2=2ABCDEx0 = -1 1 = =0=0则等倾线为：则等倾线为：扳礼蔼苦绵勃络肄宇味蚕魄驯尔咖银责捷昏贯辛涤礁温匝蝗麓阂怠憋杖蝗第2章相平面分析201第2章相平面分析201所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率镊襟厅荫圾筐跨匡搀罕厌弧仆妄侗驯曰巢竭李兴衰傲遇贤继跺念衫级跪爽第2章相平面分析201第2章相平面分析201用等倾线绘制相轨迹时，必须注意以下几点：用等倾线绘制相轨迹时，必须注意以下几点： 1、为使导数、为使导数 等于轨迹的几何斜率，必须对相平面上等于轨迹的几何斜率，必须对相平面上的的 轴和轴和 轴采用相同的坐标比例。轴采用相同的坐标比例。 2、相平面上，当、相平面上，当 时，相轨迹的走向应沿着时，相轨迹的走向应沿着 增加的方增加的方向由左向右；当向由左向右；当 时，相轨迹的走向应沿着时，相轨迹的走向应沿着 减少减少的方向自右向左。的方向自右向左。 3、绘图时可利用相轨迹的对称性减少作图的工作量。、绘图时可利用相轨迹的对称性减少作图的工作量。 4、在斜率变化很快的区域，必须画出更多的等倾线，以期、在斜率变化很快的区域，必须画出更多的等倾线，以期改善作图的精确程度。改善作图的精确程度。湖暑桌面卤风伤劲金迭伞轿馁哀熏使黎团锻瞥庆荣脆怒线箭着泛时寄饺永第2章相平面分析201第2章相平面分析201注意注意： 1 1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说, ,等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增多，致使积累误差加大。所以，一般间隔多，致使积累误差加大。所以，一般间隔5 51010画一条等画一条等倾线较合适。倾线较合适。 2 2）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线 方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联成光滑的相轨迹曲线。成光滑的相轨迹曲线。 3 3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线, ,甚至是比较甚至是比较复杂的图形复杂的图形-不适用于等倾线法。不适用于等倾线法。协粉赖经签楞兢匙理豺鲜裸庆幕推纹变滩钞这弹雅性订运垃旧赡颂摆拴莱第2章相平面分析201第2章相平面分析201 由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。 所以奇点是所以奇点是平衡点平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。统的稳定性问题。一、奇点一、奇点2.3 奇点与极限环奇点与极限环舰瘦减暮用誊颧驭扇净周臂沉内淳抓蛙搽右危织埂烃乌泣坠同广驻泣旷吨第2章相平面分析201第2章相平面分析201二、线性系统的奇点与相轨迹二、线性系统的奇点与相轨迹 由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点性质不同。性质不同。 二阶线性系统的方程为：二阶线性系统的方程为：可见，原点为可见，原点为奇点或稳定点奇点或稳定点。具狱矮东世筋浚冤泅碑藉价懒叙朱搔总嗓搓撬向扰锨贱堤客选馆胶七焕叼第2章相平面分析201第2章相平面分析201奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1. 1.趋向趋向于奇点于奇点 2. 2.远离远离奇点奇点 3. 3.包围包围奇点奇点 撕彦框诅假就带瑶瘪绦腊庚窿孙各堤烷艘亲坪秘陡淑湃磷墒熔烈拆黄动桥第2章相平面分析201第2章相平面分析201二阶线性系统自由运动的微分方程：二阶线性系统自由运动的微分方程：二阶线性系统自由运动的微分方程：二阶线性系统自由运动的微分方程：当当当当b0b0b0b0，可表为，可表为，可表为，可表为特征根特征根特征根特征根相轨迹微分方程相轨迹微分方程相轨迹微分方程相轨迹微分方程卖涂菇捞皇邦胞坚潞寇汇勋桨骆话忱伴祥按樊栋挡荣莫馁挣晰虫避爪厌翻第2章相平面分析201第2章相平面分析201则等倾线方程为则等倾线方程为则等倾线方程为则等倾线方程为(k(k(k(k为等倾线的斜率为等倾线的斜率为等倾线的斜率为等倾线的斜率) ) ) )当当当当可得满足可得满足可得满足可得满足k=k=k=k=的两条特殊等倾线，其斜率为的两条特殊等倾线，其斜率为的两条特殊等倾线，其斜率为的两条特殊等倾线，其斜率为令令令令解蟹对烁撤铆妻溺陕羔钩痞师湍宫煌住仰匣拯葬幸蔓杜炊老孪援佃偏薪胞第2章相平面分析201第2章相平面分析201具有两个互异负实根，相轨迹具有两个互异负实根，相轨迹具有两个互异负实根，相轨迹具有两个互异负实根，相轨迹趋于原点，该奇点称为趋于原点，该奇点称为趋于原点，该奇点称为趋于原点，该奇点称为稳定节稳定节稳定节稳定节点点点点。具有两个正实根，具有两个正实根，具有两个正实根，具有两个正实根，相轨迹相轨迹相轨迹相轨迹远离原点，该奇点为远离原点，该奇点为远离原点，该奇点为远离原点，该奇点为不稳不稳不稳不稳定节点定节点定节点定节点。铡墩匈置婪斡骏倾恿骸天拔瘁息田钝蜀峭汹埔亥扯兔唯否雇雹弓总颅宣手第2章相平面分析201第2章相平面分析201 具有一对负实部的共轭复根，具有一对负实部的共轭复根，具有一对负实部的共轭复根，具有一对负实部的共轭复根，相轨迹振荡趋于原点，相轨迹振荡趋于原点，相轨迹振荡趋于原点，相轨迹振荡趋于原点，该奇点为该奇点为该奇点为该奇点为稳定焦点稳定焦点稳定焦点稳定焦点。具有一对正实部的共轭具有一对正实部的共轭具有一对正实部的共轭具有一对正实部的共轭复根，相轨迹振荡远离复根，相轨迹振荡远离复根，相轨迹振荡远离复根，相轨迹振荡远离原点，为原点，为原点，为原点，为不稳定焦点不稳定焦点不稳定焦点不稳定焦点。朝乙卢院襄娃烷五遭疡柔妻仁颅渡碳啃底母圈整丝贺蓝凿斧惦制谴裕申戳第2章相平面分析201第2章相平面分析201具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该奇点为奇点为奇点为奇点为中心点中心点中心点中心点。b0,b0,系统特征根一正一负，系统特征根一正一负，系统特征根一正一负，系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于相轨迹先趋向于相轨迹先趋向于相轨迹先趋向于然后然后然后然后远离原点，称为远离原点，称为远离原点，称为远离原点，称为鞍点鞍点鞍点鞍点。彼旱刹灌抽赞追竣备干关顿喷谆截腊牙豁匠清靡甭泳览恤啄凄词晦鼠辐叫第2章相平面分析201第2章相平面分析201j0j0j0节点节点稳定焦点稳定焦点中心中心不稳定节点不稳定节点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点 1j0 2j021j012根与相轨迹根与相轨迹剧修种孙氏这旗谭竭率洽缺格泥匿耪芬篆溺扛腐挺腿游帐叛迈粤弟联薄践第2章相平面分析201第2章相平面分析201极点分布奇点相迹图中心点稳定的 焦点稳定的 节点鞍 点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图炒摘食闷率灸锥状秋丰遗氨魏拧境蛆沃猪狸嘿遵般经哑僵善刷光疯侥饰惫第2章相平面分析201第2章相平面分析201三、非线性系统的奇点三、非线性系统的奇点再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。 设：奇点为设：奇点为 ， 线性化为线性化为 即：即： 设非线性系统的方程为：设非线性系统的方程为： 则线性化后的方程为：则线性化后的方程为：只要只要 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。帜膜胸唾坏股赫领驻通罚椿容绑蓟赋秧绰责柿贴狗饰匙奋储憾硒憾腊邱弧第2章相平面分析201第2章相平面分析201非线性系统的方程如下：非线性系统的方程如下：试画出系统的相平面图。试画出系统的相平面图。解：式中解：式中 由由 求得系统的奇点为求得系统的奇点为：在奇点（在奇点（0,00,0）附近，线性化方程为：）附近，线性化方程为：即：即：式中阻尼比：式中阻尼比： ，则奇点，则奇点(0,0)(0,0)为稳定焦点。为稳定焦点。挨撬哩迎厩糠向拳粕肃冻遮脖翅佬勿识港盂氮妄绅乙登燃券囤翼待篮按恬第2章相平面分析201第2章相平面分析201在奇点（在奇点（-2,0-2,0）附近，令）附近，令y=x+2y=x+2，则方程变为：，则方程变为： 在在 这一点附近，方程线性化为：这一点附近，方程线性化为：可知，奇点（可知，奇点（-2,0-2,0）为鞍点）为鞍点。室钦绳锅甲瞻农我编抄淤衰壳啮葛从浑房肇钨编沿梳孩贵箍醋芝矣贩吕趟第2章相平面分析201第2章相平面分析201 由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形状统相平面图的大致形状,如下图所示。如下图所示。0-2非线性系统的相平面图非线性系统的相平面图闷予由鞘酝车惟锯敌肆汝棱询虑姥点制春涎惦混垒面昏段贷擅意妆斟直逼第2章相平面分析201第2章相平面分析201四、极限环四、极限环 极限环极限环对应于非线性系统特有的自振荡现象对应于非线性系统特有的自振荡现象, ,它它描述了自振荡的振幅和频率描述了自振荡的振幅和频率. . 所谓孤立的封闭轨迹所谓孤立的封闭轨迹, ,是指它临近的相轨迹都不是指它临近的相轨迹都不是封闭的是封闭的. .它们或是趋向于极限环它们或是趋向于极限环, ,或是远离极限环或是远离极限环. .在相平面图中在相平面图中, ,极限环是孤立的封闭轨迹极限环是孤立的封闭轨迹. . 将相平面划分为具有不同运动特点的多个区将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹，称为域的特殊相轨迹，称为奇线奇线。侥好转咱眶膘块俯忆棍腊藏徘毁瞧熏巍猾螟夕俏氰讥级嘴曳宅妆歼兄薪秉第2章相平面分析201第2章相平面分析201 非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不同形式的极限环。同形式的极限环。同形式的极限环。同形式的极限环。 缠蹦陋腮毡进平合肠孺咆份艾响创够邻唐谤误棍艰夕取靠麻私了团玖检彦第2章相平面分析201第2章相平面分析2011.1.稳定极限环稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷向极限环极限环内外的相轨迹都卷向极限环, ,自振荡自振荡 是稳定的是稳定的. .环内环内: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散环外环外: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛稳定极限环稳定极限环0x(t)t0咋名求茂荤泌簧饮碾狸吞钱陡受乔粕匙袖禽姥丫馒酗毒钠蜒骏姿驴狭葛囚第2章相平面分析201第2章相平面分析201 如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减少极限环的大小少极限环的大小, ,以满足准确度的要求。以满足准确度的要求。乏拟券框眶丈总嚼沉幢匹饱攘焊咬箕拓玩纪嗣秉敌丛秒兹后推辑疤澈蝇熬第2章相平面分析201第2章相平面分析2012.2.不稳定极限环不稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷离极限环极限环内外的相轨迹都卷离极限环环内环内: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛环外环外: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散 这种系统是小范围稳定这种系统是小范围稳定, ,大范围不稳定大范围不稳定. .设计时设计时应尽量增大稳定区域应尽量增大稳定区域( (即增大极限环即增大极限环).).不稳定极限环不稳定极限环x(t)t00曲糖遮摆社顿杂榨姨呵锨嚎黑恬救迈诸辕穴夷赁过恒竿磨郎邑谋四悼影苟第2章相平面分析201第2章相平面分析2013.3.半稳定的极限环半稳定的极限环环内环内, ,环外都不稳定环外都不稳定. . 具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是发散的。统的状态最终是发散的。a)半稳定的极限环半稳定的极限环0x(t)t0桓瑟呻戈弱篆泛舱糠娇埃蹦煎峦沼煤愧恕超唁眼邀饶叭贾蛰绪腹父硝藉学第2章相平面分析201第2章相平面分析201 环内环内, ,环外都是稳定的环外都是稳定的. . 具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。. .b)半稳定的极限环半稳定的极限环0x(t)t0楞桶千煤扣媚俯硒庭赌蕊孪鲜项靳揩翔捧娠讯侈钩溜搏抿坊仆伦憾井恨仗第2章相平面分析201第2章相平面分析201注意：注意： 在非线性系统中，可能没有极限环，也可能在非线性系统中，可能没有极限环，也可能具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时，具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时，应尽量避免产生极限环。如不可能避免时，应尽应尽量避免产生极限环。如不可能避免时，应尽量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。 振荡器是具有稳定极限环的非线性系统的典型例子。振荡器是具有稳定极限环的非线性系统的典型例子。姑鞘朋霍根机歉阐苦教潍凭键扇骡稚剃拽冠瀑腔糙沸住肚呜嘉双谢抵跪裂第2章相平面分析201第2章相平面分析201相平面图分析相平面图分析相平面图分析相平面图分析1 1 1 1、作出系统的相平面图。对于具有、作出系统的相平面图。对于具有、作出系统的相平面图。对于具有、作出系统的相平面图。对于具有间断特性间断特性间断特性间断特性的非线性系统，的非线性系统，的非线性系统，的非线性系统，一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨迹也是分区作出的。迹也是分区作出的。迹也是分区作出的。迹也是分区作出的。2 2 2 2、分分分分析析析析系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳定定定定性性性性。由由由由分分分分区区区区穿穿穿穿越越越越的的的的各各各各段段段段构构构构成成成成的的的的相相相相轨轨轨轨迹迹迹迹，最终是最终是最终是最终是收敛收敛收敛收敛还是还是还是还是发散发散发散发散。3 3 3 3、分析系统是否具有、分析系统是否具有、分析系统是否具有、分析系统是否具有极限环极限环极限环极限环。4 4 4 4、可可可可以以以以参参参参考考考考线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的性性性性能能能能指指指指标标标标来来来来考考考考虑虑虑虑该该该该非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的调调调调节时间与超调量节时间与超调量节时间与超调量节时间与超调量等。等。等。等。嘴轨箕完存椅冰奠踪害彰炊瞅胡漫句以衫翰桶它米鹊柴道琴让欺汀糖烷极第2章相平面分析201第2章相平面分析201 系统如图系统如图其中其中T,KT,K为正实数为正实数. .由图写出系统的微分方程：由图写出系统的微分方程：（在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）（在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）以以c=r-e代入，即可写出以误差代入，即可写出以误差e e为变量的二阶微分方程：为变量的二阶微分方程：初始状态为静止初始状态为静止, ,即即:R(s)E(s)C(s)+-线性系统线性系统2.4 线性系统的相平面分析线性系统的相平面分析警认检烹渊葵右润锨协黎聪住枪戮刘誓柑亲帕须桃鬃偷匡瓤职藤杯木负截第2章相平面分析201第2章相平面分析2011. 1. 阶跃响应性能分析阶跃响应性能分析阶跃输入阶跃输入tr(t)R0晌幌集淮姨节沧拿耗臆爽招粟捞捕狄芦酉几苑魄孪雪盘犬诧棱右烹锈皖弟第2章相平面分析201第2章相平面分析201（1）一对负实部的共轭复根）一对负实部的共轭复根奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：欠阻尼时的相轨迹及时间解欠阻尼时的相轨迹及时间解0(R,0) p0e(t)tR p巾碟刷病萝不适守雏痒芳撮该盅链逆侯盯肇乌偿娟融要刀乳状陇嗣涂苍枪第2章相平面分析201第2章相平面分析201(2)2)两个不等的负实根两个不等的负实根响应性能：响应性能：(a),(b)(a),(b)与前同与前同; ; (c) (c)响应是单调衰减的。响应是单调衰减的。 过阻尼时的相轨迹及时间解过阻尼时的相轨迹及时间解(R,0)00e(t)tR蠢帮恨晌范循绽囤酿看擎亭凯甲沂庞陋驶牵淹黔畦烤疵脯械睹伺屈庐涧辱第2章相平面分析201第2章相平面分析2012. 2. 斜坡响应性能分析斜坡响应性能分析斜坡斜坡输入输入r(t)t0Rv私曙蓑拔蚌忍洱师苞炬瓤惊篮僳漆笛撵敞珊肆蠢腹蔚纲计茨腆德罩榔菲钥第2章相平面分析201第2章相平面分析201 分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相同，只是向右移动分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相同，只是向右移动了了 一段距离。一段距离。与阶跃响应的差异：（与阶跃响应的差异：（1 1）奇点位置，初始状态不同）奇点位置，初始状态不同; ; （2 2）稳态误差为）稳态误差为 . .斜坡斜坡输入输入时的相轨迹时的相轨迹V/K0(R,v)a).欠阻尼欠阻尼V/K0(R,v)b).过阻尼过阻尼为置又犁海苫传酱博话崎雄叔锭一躲吏妮吼嚏琢脆跪诡勾僵崇锡豢贪懒狱第2章相平面分析201第2章相平面分析2013. 3. 脉冲响应性能分析脉冲响应性能分析下面求初始条件：下面求初始条件：r(t)t0 脉冲脉冲输入输入银叶肉沾吭烦虱侩每艳炸揉笛均翟捷铆芯啊敢涵淘普蒋睁施梅标疾穿浸诧第2章相平面分析201第2章相平面分析201冈桃姬舷淳快晶粗烦锥臃捣长钻蝇泛搀舰鸯洋窗妆叶栏惨援邦铸劳阑阐渠第2章相平面分析201第2章相平面分析201相轨迹如下：相轨迹如下：结论：结论： 脉冲脉冲输入输入时的相轨迹时的相轨迹0-K/T0-K/Ta).欠阻尼欠阻尼b).过阻尼过阻尼传托酮湍粳翠胡框社蚊袱悍粤嚷空携讫插闽狞嫌象潭趟痴士付熄研桥媚阻第2章相平面分析201第2章相平面分析201 对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：步骤为： （1）用）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；个线性区域；（2 2）分别写出各个线性区域的微分方程；）分别写出各个线性区域的微分方程；（3 3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图； （4 4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线-非线性非线性系统的相轨迹。系统的相轨迹。2.5 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析见岛愚夸龟沁古裴莎侯晕绽俘育江们毗奇呈粕儿橙涩烟拄瘟窗语绊出纹开第2章相平面分析201第2章相平面分析201关于奇点：关于奇点： （2 2）当奇点位于本线性区域之内）当奇点位于本线性区域之内-实奇点；实奇点； 当奇点位于本线性区域之外当奇点位于本线性区域之外-虚奇点；该区虚奇点；该区域的相轨迹永远不能到达此点；域的相轨迹永远不能到达此点；下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：（3 3）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。（1 1）每个线性区有一个奇点；）每个线性区有一个奇点；急锤央炔秋墅恳栓瞪笆井慌充毯巨书毗赐自缺恢魏镍料逮瘟岿桶渝东怖绪第2章相平面分析201第2章相平面分析2011.具有非线性增益的系统具有非线性增益的系统采用非线性增益的优点：采用非线性增益的优点： 使系统的响应速度较快，使系统的响应速度较快， 而超调和振荡都比较小。而超调和振荡都比较小。r(t)e(t)m(t)c(t)+- 具有非线性增益的系统具有非线性增益的系统me01ke0-e0k1 非线性增益非线性增益敷榔赖痴叙鹅浚颖憾赌泳蕾胡呛佬代物驰磨初源庞削像妖扬妒彬庙堤软导第2章相平面分析201第2章相平面分析2010e0-e0 相平面的分区相平面的分区痛痹展实豆骡悟欣剁潦驶暇械碘咱华哺凶曳宰桔索拙弛半惑库伤伶豌迭家第2章相平面分析201第2章相平面分析201 为了改善系统的性能，一般选用较大的为了改善系统的性能，一般选用较大的K值和适当值和适当的的k值，使得：值，使得： 当当 时，为满足快速性要求，应使系统为欠时，为满足快速性要求，应使系统为欠阻尼阻尼, ,即即: : 当当 时，为减小超调，应使系统为临界阻尼以致时，为减小超调，应使系统为临界阻尼以致过阻尼过阻尼, ,即即: : 桌梢捕馒佯搐邱酵狄双角堂嚷淡拇侣集折讨崎矫庇秦抑篮琴怀钢珊凿晨邻第2章相平面分析201第2章相平面分析201(1)(1)阶跃响应分析阶跃响应分析 区的相轨迹区的相轨迹 e0-e00跨退遭握主消颈危米头绅倡彰兹曙恕丈碉移摄模陕婪柑皿感瘸籽粟恼炭迎第2章相平面分析201第2章相平面分析201 再将两个区的相轨迹联成连续曲线，当输入信号再将两个区的相轨迹联成连续曲线，当输入信号幅值幅值 R R 较大时，相轨迹曲线为较大时，相轨迹曲线为e0-e00 区的相轨迹区的相轨迹;,10振荡超调皆减小振荡超调皆减小相轨迹为相轨迹为时时OBBR 归傍冰订闸唾镐蹄兑针缺犁临陡冤装迪摧富琳态秦屡贱造莱咯摩竞檬削佛第2章相平面分析201第2章相平面分析201稳态时，系统皆不存在稳态误差。稳态时，系统皆不存在稳态误差。由上可知，响应特性与阶跃输入的幅值有关。由上可知，响应特性与阶跃输入的幅值有关。相轨迹及响应曲线如下图所示：相轨迹及响应曲线如下图所示：e0-e00(R,0)图图8-42 具有非线性增益的系统在阶跃输入下的相轨迹及响应曲线具有非线性增益的系统在阶跃输入下的相轨迹及响应曲线0e(t)t霸洛圈抿撑承软互捍姜遂啸爪胡晓侮斟砌肇抉加待阿略兹蹲签抖颓斡嫌唱第2章相平面分析201第2章相平面分析201（2 2）斜坡响应分析）斜坡响应分析e0-e00 区的相轨迹区的相轨迹输入信号：输入信号：冉乞耗脆椅袭隧丙蠕至谐凤屏兑秧碴漫锯磷毁轿酮饥砒娟乍奇蝗存荐肛绚第2章相平面分析201第2章相平面分析201注意：奇点注意：奇点 的具体位置与输入信号幅值的具体位置与输入信号幅值 有关，它有关，它 可以用图解法求得。可以用图解法求得。 区的相轨迹区的相轨迹e0-e00馈蒜晾牛缆袄漏旁卸鼎誉镐贴氢慌挎梳私筋茫忽纱铁症哥楚灵度宵淄物亭第2章相平面分析201第2章相平面分析201作法：在非线性特性图中，作法：在非线性特性图中， 作水平线：作水平线： 该直线与该直线与m=kem=ke相交点相交点 的的e e值即为值即为 的的e e值。值。 该直线与该直线与m=em=e相交点相交点 的的e e值即为值即为 的的e e值。值。 求奇点求奇点 的图解法的图解法0mee0-e0k1只碎蓝羹同宣劲族子糜慌剪殴穆妖蝗汾故翰赛奴壕殖查值牟匠妥诅汞舔惰第2章相平面分析201第2章相平面分析201下面分几种情况来讨论：下面分几种情况来讨论：e0-e000mee0-e0k1较小时的较小时的奇点位置及相轨迹图奇点位置及相轨迹图A(R,v)B涯湘险渺忠氨叠粤锋扣陋滁逸峦仗哼窒仑览着啼疙分笼吁贮靡荤豁噎矗蚁第2章相平面分析201第2章相平面分析2010mee0-e0k1增大时的增大时的奇点位置及相轨迹图奇点位置及相轨迹图e0-e00A(R,v)BCD毫皋趴振吸早一辖柑钎没飞蜂回买尖义硼诫略知感日英敝暂理坐峨马甭眶第2章相平面分析201第2章相平面分析201结论结论：非线性系统的响应特性与输入信号的大小有关。：非线性系统的响应特性与输入信号的大小有关。图图8-48 较大时的较大时的奇点位置及相轨迹图奇点位置及相轨迹图m0ee0-e0k1e0-e00A(R,v)BCD蚀赢往智哎称策休鸦启者互驼试睫内汤讶叔憨妊擅唾孕组足闲帧诊辣磺陈第2章相平面分析201第2章相平面分析2012.2.继电型控制系统继电型控制系统（1 1）理想继电特性系统如下图所示：）理想继电特性系统如下图所示：r(t)e(t)m(t)c(t)+-MM继电型控制系统继电型控制系统非线性特性为：非线性特性为：磐隋雅知巴荷滨棘砂蒲赎写匡蔑缉写粱迅猿速羊涂挂祝募奴颜绥释浸原削第2章相平面分析201第2章相平面分析201系统初始为静止状态：系统初始为静止状态：系统的微分方程为：系统的微分方程为：对于阶跃输入信号：对于阶跃输入信号： 师足拨甘名熟蓖竹宜迹赔倔签鞘厌算稠什哦痔唱婶芋滩奈邓谚钧双饵描请第2章相平面分析201第2章相平面分析201 注意：上两个方程都不是前述的典型二阶系统的方注意：上两个方程都不是前述的典型二阶系统的方程。因此，我们有必要先分析一下相轨迹的形状。程。因此，我们有必要先分析一下相轨迹的形状。 无论在哪个区，由于无论在哪个区，由于 可见相轨迹对称于原点。因此只画一个区的相轨迹即可。可见相轨迹对称于原点。因此只画一个区的相轨迹即可。0 相平面的分区相平面的分区蝴谭嘘桔灭账参奏科章聘涌零萌楚捉酿萨短垮堆贮绪源瞪迁讯耿称溪祸畔第2章相平面分析201第2章相平面分析201 由上式看出，等倾线由上式看出，等倾线为平行于为平行于e e 轴的直线族。轴的直线族。所以相轨迹应为一组平行所以相轨迹应为一组平行移动的曲线。移动的曲线。等倾线等倾线0役沾姚器俺袱货难匣惠栗煤融议屎粮痔闯走晶舆曹背捅踊饥弱雏颠歉戈烘第2章相平面分析201第2章相平面分析201 再由方程再由方程: : 可知，系统无奇点也可以可知，系统无奇点也可以认为奇点在无穷远。当相轨迹趋于无穷远奇点时，必存在一认为奇点在无穷远。当相轨迹趋于无穷远奇点时，必存在一条渐近线。它既是一条等倾线，也是一条相轨迹。条渐近线。它既是一条等倾线，也是一条相轨迹。 渐近线的求法：渐近线的求法：使等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等使等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等。代入等倾线方程代入等倾线方程: :晰差辖农盏午疡骨余优稚颧慨簿椽要揽莹吊孔投城道岛莱居芋峡浸罗沟钻第2章相平面分析201第2章相平面分析201由初始条件：由初始条件：画出一条相轨迹如图，画出一条相轨迹如图，它收敛于原点。可见它收敛于原点。可见: 系统为阻尼振荡系统为阻尼振荡; ; 系统稳定。系统稳定。0相轨迹图相轨迹图(R,0)具叫庄积唤涉降栅办遇屠敢圃苇铃揭构餐棕还耘官工撰睬缮姬常骂稚喇胖第2章相平面分析201第2章相平面分析201(2)具有滞环的继电特性具有滞环的继电特性具有滞环的继电特性具有滞环的继电特性em0M-M+-脂猫端蹦能桌迟谎栖菠橱副筏氨笋验堰色契众竞葬插振攀议诚盲跃蝇硫锑第2章相平面分析201第2章相平面分析201 相轨迹的形状与前同，如下图所示相轨迹的形状与前同，如下图所示.可见可见,相轨迹形成稳相轨迹形成稳定的极限环。定的极限环。相轨迹图相轨迹图0(R,0)隙纳直诌怂薯把此窗煞拽肆囤贩邦废贫羽瓜恿麓驰燕捌甘肮固虽暖毫揍蜀第2章相平面分析201第2章相平面分析201(3)具有死区的继电特性具有死区的继电特性具有死区的继电特性具有死区的继电特性em0-MM+-槐闺裙岗患侮拽南请闭婿韩挪姬褂剧欧睫恋销盖左缩退设尾拴泵援股债挎第2章相平面分析201第2章相平面分析201可见相轨迹是一族平行的直线。可见相轨迹是一族平行的直线。图图8-56 相轨迹图相轨迹图0(R,0)眨圭万材皑角岳垒买镣媳菜伏位致哀备总数涕四汾屋林腾拽条甄株畦搓擂第2章相平面分析201第2章相平面分析201小结小结：1) 相平面分析法是二阶系统的图解分析法。相平面分析法是二阶系统的图解分析法。 可分析系统的稳定性，响应性能，稳态误差。可分析系统的稳定性，响应性能，稳态误差。2) 2) 当当 时，相轨迹趋向于时，相轨迹趋向于奇点奇点( (奇线奇线)无穷远点无穷远点( (渐近线渐近线)极限环极限环3) 3) 相平面分析法可用来综合系统，以达到满意的效果。相平面分析法可用来综合系统，以达到满意的效果。4)4)其原理可扩展到高阶系统，但不能用图解法。其原理可扩展到高阶系统，但不能用图解法。补距界滞哆锨浊苏挪泼均经几唆历树忠盼洪裹尚预涤斡场棍袱滑苑京博泊第2章相平面分析201第2章相平面分析201 例：例： 非线性系统如下图所示。设系统开始处于静止状非线性系统如下图所示。设系统开始处于静止状 态，试用相平面分析法分析系统对阶跃输入：态，试用相平面分析法分析系统对阶跃输入： 及斜坡输入：及斜坡输入： 的响应性的响应性 能。系统参数：能。系统参数：K=4 T=1K=4 T=1具有饱和的具有饱和的非线性系统非线性系统remc+-0.2-0.20.20.2榜镣哟荤重万翱伴茂腥替所谷牵拉栽裸惫郴黍涛周记醋官酋卉霉缎固群筋第2章相平面分析201第2章相平面分析201系统方程为：系统方程为：代入参数：代入参数：一一. .对阶跃输入的响应对阶跃输入的响应饱和特性：饱和特性：解：解：时谰绘舜镍潭惜娠饥享泞喉搁簇渤顾淡脂诅恍耘缆展茅移第糜晦再逞扫督第2章相平面分析201第2章相平面分析201斯齿葱岩突赢撒愈弧踢避仲医概碎绎供枢娥琢期映僧炳坍观疚亥幌响皇漾第2章相平面分析201第2章相平面分析201在给定初始条件在给定初始条件(R,0)(R,0)下的一条相轨下的一条相轨迹如图中的红线所迹如图中的红线所示。示。0-0.20.20.8-0.8(R,0)阶跃输入时的相轨迹阶跃输入时的相轨迹 系统的相轨迹如系统的相轨迹如图所示：图所示：捆匝沟鲜傲词舞浙旱嗽欧络眼苦膊倡哮县挂涡倦娶款灰浓浓渭辣前僳血匡第2章相平面分析201第2章相平面分析201