3.4 3.4 实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程 1一元一次方程的应用一、列一元一次方程解应用题的一般步骤一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1 1）、）、一般步骤一般步骤（2）、）、注意事项注意事项二、应用题的常见类型二、应用题的常见类型（1）、）、和差倍分问题和差倍分问题（2）、）、等积变换问题等积变换问题（3）、）、行程问题行程问题（4 4）、）、劳力调配问题劳力调配问题（5 5）、）、工程问题工程问题（6 6）、）、销售盈亏问题销售盈亏问题（7 7）、）、数字问题数字问题四、四、退出退出三、思考题三、思考题（8 8）、）、电话计费问题电话计费问题（9 9）、）、球赛积分球赛积分问题问题2列一元一次方程解应用题的步骤列一元一次方程解应用题的步骤：（1）、仔细审题，找出能表示应用题全部含义的一个相等关系。（2）、设一个未知数，并根据相等关系列出需要的代数式。（3）、根据相等关系列出一元一次方程。（4）、解这个方程，求出未知数的值。（5）、作答3注意：（1）、设未知数及作答时若有单位的一定要带单位。（2）、方程中数量单位要统一。4（1）和差倍分问题 ：要注意弄清题中的数量关系及运算顺序例例1：一桶煤油连桶重8公斤，用去一半煤油后，连桶重4.5公斤，求桶中原有煤油多少公斤及桶重。分析分析：相等关系为用去的煤油的重量余下的油量及桶重原来连桶带油的重量解解：设原有煤油x公斤 依题意得解之得 x=7则桶重为 8x=1答答：原有煤油7公斤，桶重为1公斤。5（2）等积变换问题 注意一般要从变换前后图形的面积或体积关系两个方面寻找相等关系。例例2：一个长方形的长比宽多2，若把它的长和宽分别增加3，则面积增加452，求原长方形的长与宽。分析分析：若设原长方形的宽为x 厘米，画图如下xX+2X+3(X+2)+3可知相等关系为 ：原长方形的面积45 2 新长方形的面积解解：设原长方形的宽为x 厘米，则其长为（x+2)厘米。 依题意得解之得 x=5则原长方形的长为 x+2=7答答：原长方形的长为7，宽为5。6（3） 行程问题基本关系式 ：若两人自两地同时出发，速度分别为V1和V 2 ，所用时间为t,则(1)、若两人同向而行，则有 （V1+V2) t=S(2) 、若两人同向而行，则有 （V1V2) t=S例例3：某市举行环城自行车赛，开赛23小时后，最快者追上最慢者，若两人速度之比为10:7，环城一周为9千米，求两人的速度分别是多少？分析分析 ：由图示可知，相等关系应为最快者走的路程最慢者走的路程环城一周的路程解解：设最快者的速度为10x 千米时，则最慢者的速度为7x 千米时。依题意得解之得 X=4.5答：答：最快者的速度是45千米时，最慢者的速度为31.5千米时。则 10x=45, 7x=31.57（4） 劳力调配问题例例4 ：甲仓库储粮35吨 ，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？分析分析：若设应分给甲仓库粮食X吨，则数量关系如下表原有粮食新分给粮食现有粮食甲仓库 35 X35+X乙仓库 19 (15X)19+(15X)故相等关系为 ：甲仓库现有粮食的重量2乙仓库现有粮食的重量解解：设应分给甲仓库粮食X吨，则应分给乙仓库粮食（15X)吨。依题意得解之得 X11则 15X4答答：应分给甲仓库11吨粮食，分给乙仓库4吨粮食。8 应用回顾的步骤解决以下问题应用回顾的步骤解决以下问题. . 例某车间有例某车间有2222名工人，每人每天可以生产名工人，每人每天可以生产1 2001 200个螺钉或个螺钉或2 0002 000个螺母个螺母. 1. 1个螺钉需要配个螺钉需要配 2 2个螺母，为个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？母的工人各多少名？列表分析：列表分析：产品类型产品类型 生产人数生产人数单人产量单人产量总产量总产量螺钉螺钉x1200螺母螺母22x20001200x2000( (22x) )人数和为22人螺母总产量是螺钉的2倍9 解：设应安排解：设应安排x x名工人生产螺钉，名工人生产螺钉，( (2222x x) )名工人生产名工人生产螺母螺母. . 依题意得：依题意得： 2 0002 000( (2222x x) )21 20021 200x .x . 解方程，得：解方程，得：5 5( (2222x x) )6 6x x， 110 1105 5x x6 6x x， x x10.10. 22 22x x12.12. 答：应安排答：应安排1010名工人生产螺钉，名工人生产螺钉，1212名工人生产螺母名工人生产螺母. .10 问题：以上问题还有其他的解决方法吗？问题：以上问题还有其他的解决方法吗？ 例如：例如： 解：设应安排解：设应安排 x x名工人生产螺母，名工人生产螺母，( (2222x x) )名工人生产名工人生产螺钉螺钉. . 依题意得：依题意得： 2120021200( (2222x x) )2 0002 000x .x . 11五、工程问题注意若没有说明工作总量，则把总量视为单位1，此时的工作效率是一个分数。例例5：一个工人加工一批零件，限期完成，若他每小时做10个，到期可超额完成3个，若每小时做11个，则可提前1小时完成任务，问他共要加工多少个零件，限期多少小时完成？分析分析：相等关系为按第一种工作效率所做的零件数按第二种工作效率所做的零件数解解：设限期X小时完成，则依题意得解之得 X8则零件总数为 10X377答答：共要加工零件77个，限期8小时完成。12 问题：应用回顾的步骤解决以下问题问题：应用回顾的步骤解决以下问题. . 整理一批图书，由一个人做要整理一批图书，由一个人做要40 h 40 h 完成完成. .现计划由一现计划由一部分人先做部分人先做4 h4 h，然后增加，然后增加 2 2人与他们一起做人与他们一起做8 h8 h，完成这，完成这项工作项工作. . 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？人工作？列表分析：列表分析：人均效率人均效率人数人数时间时间工作量工作量前一部前一部分工作分工作x4后一部后一部分工作分工作x28工作量之和等于总工作量113 解：设安排解：设安排 x x 人先做人先做4 h.4 h. 依题意得：依题意得： 解方程，得：解方程，得：4 4x x8(8(x x2)2)4040， 4 4x x8 8x x16164040， 12 12x x2424， x x2. 2. 答：应先安排答：应先安排 2 2人做人做4 h.4 h.14（6）利率、销售盈亏问题基本关系式基本关系式：利润售价进价利润售价进价（或（或利息本息和本金利息本息和本金）利润率利润率100%售价进价售价进价（1利润率）利润率）（或（或本息和本金本息和本金（1利率）利率）例例6：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，一年后该公司共得利息6250元，问两种存款各为多少元？分析分析：相等关系为甲种存款的利息乙种存款的利息总利息甲种存款的利息乙种存款的利息总利息解解：设甲种存款为X万元，则乙种存款为（20X）万元。依题意得1.4% X+3.7% (20-X)=0.625解之得 X 5则 20X=15答答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元。15 = = 商品售价商品售价商品进价商品进价售价、进价、利润的关系式：售价、进价、利润的关系式：商品商品利润利润进价、利润、利润率的关系进价、利润、利润率的关系：利润率利润率=商品进价商品进价商品利润商品利润100% 标价、折扣数、商品售价关系标价、折扣数、商品售价关系 :商品售价商品售价 标价标价折扣数折扣数10商品售价、进价、利润率的关系：商品售价、进价、利润率的关系：商品进价商品进价商品售价商品售价=(1+利润率利润率)销销售售中中的的盈盈亏亏16跳楼价“销售中的盈亏问题”17A. 盈利B. 亏损C. 不盈不亏 问题问题1 1：你估计盈亏情况是怎样的？：你估计盈亏情况是怎样的？ 一商店在某一时间以每件一商店在某一时间以每件6060元的价格卖出两件衣服，其元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利中一件盈利25%25% ，另一件亏损，另一件亏损25%25% ，卖这两件衣服总的是，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏盈利还是亏损，或是不盈不亏? ?18 问题问题2 2：销售的盈亏决定于什么？：销售的盈亏决定于什么？ 总售价总售价 ？ 总成本总成本( (两件衣服的成本之和两件衣服的成本之和) ) 120 120 总成本总成本 120 120 总成本总成本 120 120 总成本总成本 盈 利 亏 损不盈不亏 一商店在某一时间以每件一商店在某一时间以每件6060元的价格卖出两件衣服，其元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利中一件盈利25%25% ，另一件亏损，另一件亏损25%25% ，卖这两件衣服总的是，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏盈利还是亏损，或是不盈不亏? ?19 问题问题3 3：两件衣服的成本各是多少元？：两件衣服的成本各是多少元？盈利的一件 一商店在某一时间以每件一商店在某一时间以每件6060元的价格卖出两件衣服，其元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利中一件盈利25%25% ，另一件亏损，另一件亏损25%25% ，卖这两件衣服总的是，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏盈利还是亏损，或是不盈不亏? ? 设：盈利设：盈利25%25%的衣服进价是的衣服进价是 x x 元，元， 依题意得：依题意得：x x0.25 0.25 x x6060 解得：解得： x x484820 问题问题3 3：两件衣服的成本各是多少元？：两件衣服的成本各是多少元？亏损的一件 一商店在某一时间以每件一商店在某一时间以每件6060元的价格卖出两件衣服，其元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利中一件盈利25%25% ，另一件亏损，另一件亏损25%25% ，卖这两件衣服总的是，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏盈利还是亏损，或是不盈不亏? ? 设：亏损设：亏损 25%25%的衣服进价是的衣服进价是 y y元，元， 依题意得：依题意得：y y0.250.25y y6060 解得：解得： y y808021两件衣服总成本：两件衣服总成本：48488080128 128 元；元； 一商店在某一时间以每件一商店在某一时间以每件6060元的价格卖出两件衣服，其元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利中一件盈利25%25% ，另一件亏损，另一件亏损25%25% ，卖这两件衣服总的是，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏盈利还是亏损，或是不盈不亏? ?因为因为1201201281288 8元；元；所以卖这两件衣服共亏损了所以卖这两件衣服共亏损了8 8元元. .这个结论与你的猜想一致吗？这个结论与你的猜想一致吗？22 练习练习1 1：一件服装先将进价提高：一件服装先将进价提高25%25%出售，后进行促销活出售，后进行促销活动，又按标价的动，又按标价的8 8折出售折出售, , 此时售价为此时售价为6060元元. . 请问商家是盈是请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？亏，还是不盈不亏？ 设：这件衣服的进价是设：这件衣服的进价是x x元，元， 则提价后的售价是则提价后的售价是( (1 125%25%) )x x 元，元， 促销后的售价是促销后的售价是( (1 125%25%) )x x0.8 0.8 元，元， 依题意得依题意得( (1 125%25%) )x x0.80.86060 解得解得 x x60. 60. 不盈不亏不盈不亏不盈不亏不盈不亏 23（7）、数字问题要理解十进制整数的表示方法例例7：一个两位数的十位上的数是个位上的数的两倍，若把两个数字对调，则新得到的两位数比原两位数小36，求原两位数。分析分析：题中数量关系如下表 （若设原数的个位数字为X） 十位数字 个位数字 本数 原两位数 2 X X 2Xx10+X 新两位数 X 2X 10X+2X解解：设原两位数的个位数字为X，则其十位数字为2X。列出方程为(10X+2X)+36=20X+X解之得 X4 则原数的十位数字为 2X8 答答：原两位数是84。可知相等关系为：原两位数36新两位数24（8 8）、电话计费问题）、电话计费问题问题问题1 1：下表给出的是两种移动电话的计费方式：下表给出的是两种移动电话的计费方式： 免费免费0.190.193503508888方式二方式二免费免费0.250.251501505858方式一方式一被叫被叫主叫超时主叫超时费费( (元元/ /分分) )主叫限定主叫限定时间时间( (分分) )月使用月使用费费( (元元) )你了解表格中这些数字的含义吗？你了解表格中这些数字的含义吗？25问题问题2 2：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？“与主叫时间相关与主叫时间相关”1.1.对问题的初步探究对问题的初步探究加超时费加超时费0.19元元/分分基本费基本费88元元加超时费加超时费0.25元元/分分基本费基本费58元元3500150计费方式一计费方式一计费方式二计费方式二262.2.对问题的深入探究对问题的深入探究问题问题3：设一个月内用移动电话主叫为：设一个月内用移动电话主叫为t 分分(t是正是正整整数数)根据表根据表1，当，当t 在不同时间范围内取值，在不同时间范围内取值，列表说明按方式一和方式二如何计费列表说明按方式一和方式二如何计费主叫主叫时间t /分分方式一方式一计费/元元方式二方式二计费/元元t 小于小于150t 等于等于150t 大于大于150且小于且小于 350t 等于等于350t 大于大于35027主叫主叫时间t /分分方式一方式一计费/元元方式二方式二计费/元元t 小于小于1505888t 等于等于1505888t 大于大于150且小于且小于 350580.25(t150)88t 等于等于350580.25(350150)10888t 大于大于350580.25(t150)880.19(t350)2.2.对问题的深入探究对问题的深入探究28主叫主叫时间t /分分方式一方式一计费/元元方式二方式二计费/元元t 小于小于1505888t 等于等于1505888t 大于大于150且小于且小于 350580.25(t150)88t 等于等于35010888t 大于大于350580.25(t150)88+0.19(t350)2.2.对问题的深入探究对问题的深入探究问题问题4 4：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗？间选择省钱的计费方式吗？划算划算划算划算划算划算29主叫主叫时间t /分分方式一方式一计费/元元方式二方式二计费/元元t 大于大于150且小于且小于 350580.25(t150)882.2.对问题的深入探究对问题的深入探究依题意得：依题意得：580.25(t150)=88去括号得：去括号得：580.25t37.5=88移项、合并同类项得：移项、合并同类项得：0.25t =67.5系数化系数化1得：得：t =270当当t =270分时，两种计费方式的费用相等，分时，两种计费方式的费用相等，那么当那么当150t270分和分和270t350分时，两种计费方式哪种更合算呢？分时，两种计费方式哪种更合算呢？31问题问题4 4：综合以上的分析，可以发现：综合以上的分析，可以发现：2.2.对问题的深入探究对问题的深入探究 时，选择方式一省钱；时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱时，选择方式二省钱0计费方式一计费方式一计费方式二计费方式二270t小于小于270分分t大于大于270分分323.3.归纳小结归纳小结请回顾电话计费问题的探究过程，并回答请回顾电话计费问题的探究过程，并回答以下问题：以下问题：（1）电话计费问题的核心问题是什么？）电话计费问题的核心问题是什么？（2）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？（3）我们在探究过程中用到了哪些方法，你有）我们在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？哪些收获？334.4.巩固应用巩固应用利用我们在利用我们在“电话计费问题电话计费问题”中学会的方法，中学会的方法，探探究下面的问题究下面的问题：用用A4纸在某纸在某誊誊印社复印文件，复印页数不超过印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费时每页收费0.12元；复印页数超过元；复印页数超过20页时，超过页时，超过部分每页收费部分每页收费0.09元元.在某图书馆复印同样的文件在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费不论复印多少页，每页收费0.1元元.如何根据复印如何根据复印的的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）的页数不为零）34复印复印页数数x誊誊印社复印费用印社复印费用/元元图书馆复印费用图书馆复印费用/元元x 小于小于200.12x0.1xx 等于等于200.12202.40.1202x 大于大于202.40.09( (x20) )0.1x解：依题意列表得：解：依题意列表得：（1）当）当x 小于小于20时，时，0.12x大于大于0.1x恒成立，恒成立，图书馆价格便宜；图书馆价格便宜；（2）当）当x 等于等于20时，时，2.4大于大于2，图书馆价格，图书馆价格便宜；便宜；35（3）当 x 大于大于20时，时，依题意得：依题意得：2.4+0.09( (x-20) )0.1x解得：解得：x60当当x大于大于20且小于且小于60时，图书馆价格便宜；时，图书馆价格便宜；当当x大于大于60时，誊印社价格便宜时，誊印社价格便宜.综上所述：当综上所述：当x小于小于60页时，图书馆价格便宜；页时，图书馆价格便宜；当当x大于大于60时，誊印社价格便宜时，誊印社价格便宜.36“球赛积分表问题球赛积分表问题”（9）、球赛积分问题）、球赛积分问题37某次篮球联赛积分榜如下：某次篮球联赛积分榜如下：一、问题的引入一、问题的引入队名队名比赛场次比赛场次胜场胜场负场负场积分积分前进前进1410424东方东方1410424光明光明149523蓝天蓝天149523雄鹰雄鹰147721远大远大147721卫星卫星1441018钢铁钢铁140141438一、问题的引入一、问题的引入队名队名比赛比赛场次场次胜胜场场负负场场积积分分前进前进1410424东方东方1410424光明光明149523蓝天蓝天149523雄鹰雄鹰147721远大远大147721卫星卫星14410 18钢铁钢铁14014 14 问题问题1 1：你能从表格中：你能从表格中了解到哪些信息？了解到哪些信息？ 某次篮球联赛积分榜如下：某次篮球联赛积分榜如下：39二、问题的初步探究二、问题的初步探究某次篮球联赛积分榜如下：某次篮球联赛积分榜如下： 问题问题2：你能从表格中：你能从表格中看出负一场积多少分吗？看出负一场积多少分吗？ 队名队名比赛比赛场次场次胜胜场场负负场场积积分分前进前进1410424东方东方1410424光明光明149523蓝天蓝天149523雄鹰雄鹰147721远大远大147721卫星卫星14410 18钢铁钢铁14014 14负一场积负一场积1分分40二、问题的初步探究二、问题的初步探究某次篮球联赛积分榜如下：某次篮球联赛积分榜如下： 问题问题3：你能进一步算：你能进一步算出胜一场积多少分吗？出胜一场积多少分吗？ 队名队名比赛比赛场次场次胜胜场场负负场场积积分分前进前进1410424东方东方1410424光明光明149523蓝天蓝天149523雄鹰雄鹰147721远大远大147721卫星卫星14410 18钢铁钢铁14014 14设：胜一场积设：胜一场积x分，分，依题意依题意,得得10x1424解得：解得： x2所以，胜一场积所以，胜一场积2分分.41 问题问题4 4：用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系：用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系. . 三、问题的进一步探究三、问题的进一步探究若一个队胜若一个队胜m场，则负场，则负(14 m)场，场，总积分为：总积分为：2m+(14 m)=m+14即胜即胜m场的总积分为场的总积分为 m +14分分42 问题问题5 5：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 三、问题的进一步探究三、问题的进一步探究设一个队胜设一个队胜x场，则负场，则负( (14x) )场，场，依题意得：依题意得：2x14x解得：解得：x想一想，想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？什么结论？432000赛季篮球甲赛季篮球甲A联赛部分球队积分榜：联赛部分球队积分榜： (1) (1)列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系； (2) (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? ?四、巩固应用四、巩固应用队名队名比赛场次比赛场次胜场胜场负场负场积分积分八一双鹿八一双鹿2218440北京首钢北京首钢2214836浙江万马浙江万马2271529沈部雄狮沈部雄狮220222244答答案案：观观察察积积分分榜榜,从从最最下下面面一一行行可可看看出出,负负一一场积场积1分分.设设胜胜一一场场积积x分分的的话话,从从表表中中其其他他任任何何一一行行可可以以列方程列方程,求出求出x的值的值.例如例如,从第一行得出方程从第一行得出方程:18x1440由此得出由此得出 x2.用表中其他行可以验证用表中其他行可以验证,得出结论得出结论:负一场积负一场积1分分,胜一场积胜一场积2分分.( (1) )如如果果一一个个队队胜胜m场场,则则负负( (22m) )场场,胜胜场场积积分为分为2m,负场积分为负场积分为22m,总积分为总积分为2m( (22m) )m22.四、巩固应用四、巩固应用45（2）设设一一个个队队胜胜了了x场场，则则负负了了( (22x) )场场,如如果果这个队的胜场总积分等于负场总积分这个队的胜场总积分等于负场总积分,则有方程则有方程其中，其中，x (胜场胜场)的值必须是整数的值必须是整数,所以所以不不符合实际符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场总由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分等于负场总积分积分等于负场总积分.四、巩固应用四、巩固应用46小结与归纳小结与归纳 问题问题5 5：用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几：用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？个步骤？分别是什么？实际问题一元一次方程设未知数，列方程解方程一元一次方程的解（x = a）实际问题的答案检 验47