证明(zhngmng)： 都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设第1页/共83页第一页，共84页。则 其中(qzhng) 且 。引理（Minkowski不等式）：设则 第2页/共83页第二页，共84页。其中实数 。几种常用的范数定义(dngy)：设向量 ，对任意的数 ，称为向量 的 范数。常用的 范数：（1）1范数 第3页/共83页第三页，共84页。（2）2范数也称为欧氏范数。（3） 范数 定理(dngl)：证明：令 ，则第4页/共83页第四页，共84页。于是(ysh)有另一方面第5页/共83页第五页，共84页。故由此可知定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数(zhngsh) 使得第6页/共83页第六页，共84页。定理：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造(guzo)新的范数。例 ：设 是 上的向量范数，且 ，则由所定义的 是 上的向量范数。例 ： 设 数域 上的 维线性空间， 第7页/共83页第七页，共84页。 为其一组基底，那么对于 中的任意(rny)一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数，则由所定义的 是 上的向量范数。 矩阵范数第8页/共83页第八页，共84页。定义：对于(duy)任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足（1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意复数(fsh)。（3） 三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵 都有第9页/共83页第九页，共84页。（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵 ，都有那么我们(w men)称 是矩阵 的范数。例 1：对于任意 ，定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。第10页/共83页第十页，共84页。证明：只需要验证(ynzhng)此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证(ynzhng)乘法的相容性。设 ，则第11页/共83页第十一页，共84页。第12页/共83页第十二页，共84页。例 2 ：设矩阵(j zhn) ，证明：是矩阵(j zhn)范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么第13页/共83页第十三页，共84页。因此(ync) 为矩阵 的范数。第14页/共83页第十四页，共84页。例 3 ：对于(duy)任意 ，定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 ，则 第15页/共83页第十五页，共84页。于是(ysh)有 第16页/共83页第十六页，共84页。例 4 ：对于任意 ，定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明： 首先注意到这样一个基本事实(shsh)，即由上一个例题可知此定义满足范数的性质。第17页/共83页第十七页，共84页。Frobenious范数的性质(xngzh)：（1）如果 ，那么（2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 第18页/共83页第十八页，共84页。 都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设 是矩阵 的任意(rny)两种范数，则总存在正数 使得第19页/共83页第十九页，共84页。 诱导范数定义(dngy)：设 是向量范数， 是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明 : 因为 第20页/共83页第二十页，共84页。根据(gnj)Hoider不等式可以得到第21页/共83页第二十一页，共84页。第22页/共83页第二十二页，共84页。于是有 例 2 ：设 是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。证明(zhngmng)：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。第23页/共83页第二十三页，共84页。设 ，那么(n me) 因此(ync) 的确满足矩阵范数的定义。 第24页/共83页第二十四页，共84页。 最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。 定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导(yudo)的诱导(yudo)范数或算子范数。由 第25页/共83页第二十五页，共84页。向量 P-范数 所诱导的矩阵(j zhn)范数称为矩阵(j zhn)P-范数。即常用的矩阵(j zhn)P-范数为 ， 和 。定理：设 ，则（1）我们称此范数为矩阵(j zhn) 的列和范数。第26页/共83页第二十六页，共84页。（2） 表示矩阵(j zhn) 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵(j zhn) 的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵(j zhn) 的行和范数。例 1 ：设 第27页/共83页第二十七页，共84页。计算(j sun) ， ， 和 。解：第28页/共83页第二十八页，共84页。因为(yn wi)所以 。练习 ：设 或第29页/共83页第二十九页，共84页。分别计算(j sun)这两个矩阵的 ， ， 和 。例 2 ：证明：对于任何矩阵 都有第30页/共83页第三十页，共84页。如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得(sh de)证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且第31页/共83页第三十一页，共84页。例：已知矩阵范数求与之相容(xin rn)的一个向量范数。解：取 。设第32页/共83页第三十二页，共84页。那么矩阵(j zhn)的谱半径及其性质定义：设 ， 的 个特征值为 ，我们称为矩阵(j zhn) 的谱半径。例 1 ：设 ，那么第33页/共83页第三十三页，共84页。这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 ：设 是一个正规(zhnggu)矩阵，则证明：因为 第34页/共83页第三十四页，共84页。于是有例 3 ：设 是 上的相容(xin rn)矩阵范数。证明： （1） （2） 为可逆矩阵， 为 的特征值则有第35页/共83页第三十五页，共84页。例 5 ：如果 ，则 均为可逆矩阵(j zhn)，且这里 是矩阵(j zhn) 的算子范数。 第36页/共83页第三十六页，共84页。特征值估计(gj)粗略估计圆盘(yunpn)定理第37页/共83页第三十七页，共84页。（1 1）定理定理1 1 ( (Schur) )设 的特征值为 ，则 （2 2）（3 3）这里 。并且当且仅当 是正规矩阵时，等号成立。第38页/共83页第三十八页，共84页。（1）的证明）的证明(zhngmng)：设 的Schur分解为 ，上三角阵 的主对角元就是矩阵 的特征值。所以根据F-范数的酉不变性，有第39页/共83页第三十九页，共84页。（2）的证明）的证明(zhngmng)：由于 ，因此第40页/共83页第四十页，共84页。在上述证明中，当且仅当 是正规矩阵时，上三角阵 为对角矩阵，即因此等号都成立。第41页/共83页第四十一页，共84页。（1 1）推论推论1111( (Hirsch) )对 的任意特征值 ，有（2 2）（3 3）第42页/共83页第四十二页，共84页。（1）的证明）的证明(zhngmng)：因此(ync(ync) )第43页/共83页第四十三页，共84页。例例 1 1 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)按推论11所得特征值的变化(binhu)范围为带型区域：这个(zh ge)结果显然比相应的Gerschgorin区域差。第44页/共83页第四十四页，共84页。定义定义2 2 对方阵 ，称为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集 为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）区域。这里类似地，可定义矩阵 的列盖尔圆。第45页/共83页第四十五页，共84页。定理定理3 3 （Gerschgorin）对方阵 （1 1）矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内；（2 2）若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是连通区域，并且与其余 个盖尔圆均不相交，则 中恰好有 的 个特征值。第46页/共83页第四十六页，共84页。（1）的证明）的证明(zhngmng)：设 有特征对 ，这里 ，则令 ，则 ，因此从而第47页/共83页第四十七页，共84页。例例 2 2 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的三个行Gerschgorin圆分别(fnbi)是：第48页/共83页第四十八页，共84页。Wilkson在名著代数特征值问题中，先将矩阵在名著代数特征值问题中，先将矩阵变换成变换成Jordan标准型，再用标准型，再用Gerschgorin定理和对定理和对角相似变换，对不同特征值结构的特征值问题进行角相似变换，对不同特征值结构的特征值问题进行了细致了细致(xzh)的扰动分析。的扰动分析。因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，Gerschgorin发现可以将矩阵 变换为其相似矩阵 ，以减少Gerschgorin圆的半径，达到隔离Gerschgorin 圆的目的。为计算方便，常常取 为对角矩阵第49页/共83页第四十九页，共84页。例例 3 3 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)经过对角相似变换 后，得第50页/共83页第五十页，共84页。三个行Gerschgorin圆分别(fnbi)收缩为：第51页/共83页第五十一页，共84页。%ex801.m j=sqrt(-1); A=20 5 0.8; 4 10 1;1 2 10*jgersch(A) %调用ATLAST程序库函数gerschhold on v=1 1 0.5;D=diag(v);B=inv(D)*A*D %通过对角(du jio)相似变换隔离Gerschgorin圆gersch(B)hold off第52页/共83页第五十二页，共84页。 ，如果 个数列都收敛，则称矩阵序列(xli) 收敛。 进一步，如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列(xli) 的极限。 矩阵序列与极限(jxin)定义：设矩阵序列 ，其中第53页/共83页第五十三页，共84页。例 ：如果(rgu)设 ，其中那么第54页/共83页第五十四页，共84页。定理： 矩阵序列(xli) 收敛于 的充分必要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设 第55页/共83页第五十五页，共84页。那么由定义(dngy)可知对每一对 都有从而有上式记为第56页/共83页第五十六页，共84页。充分性：设那么(n me)对每一对 都有即第57页/共83页第五十七页，共84页。故有现在(xinzi)已经证明了定理对于所设的范数成立，如果 是另外一种范数，那么由范数的等价性可知第58页/共83页第五十八页，共84页。这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。 同数列的极限(jxin)运算一样，关于矩阵序列的极限(jxin)运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限(jxin)是唯一的。（2）设第59页/共83页第五十九页，共84页。则（3）设，其中(qzhng) ，那么 （4）设 ，其中(qzhng) 第60页/共83页第六十页，共84页。那么（5）设 ，且 ， 均可逆，则 也收敛(shulin)，且例 1：若对矩阵 的某一范数 ，则第61页/共83页第六十一页，共84页。例 2：已知矩阵(j zhn)序列： 则 的充要条件是 。证明： 设 的Jordan标准形其中第62页/共83页第六十二页，共84页。于是(ysh)显然， 的充要条件是又因第63页/共83页第六十三页，共84页。其中(qzhng)第64页/共83页第六十四页，共84页。于是(ysh) 的充要条件是 。因此 的充要条件是 矩阵的幂级数第65页/共83页第六十五页，共84页。定义(dngy)：设 ，如果 个常数项级数都收敛， 则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数第66页/共83页第六十六页，共84页。都绝对收敛(shulin)， 则称矩阵级数绝对收敛(shulin)。 例 ： 如果设 ，其中第67页/共83页第六十七页，共84页。那么矩阵级数(j sh)是收敛的。第68页/共83页第六十八页，共84页。定理：设 ，则矩阵级数绝对收敛的充分(chngfn)必要条件是正项级数收敛，其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数 第69页/共83页第六十九页，共84页。那么(n me)对每一对 都有因此如果收敛，则对每一对 常数项级数第70页/共83页第七十页，共84页。都是收敛(shulin)的，于是矩阵级数绝对收敛(shulin)。 反之，若矩阵级数绝对收敛(shulin)，则对每一对 都有第71页/共83页第七十一页，共84页。于是根据范数等价性定理知结论对任何(rnh)一种范数都正确。第72页/共83页第七十二页，共84页。定义(dngy)：设 ，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。第73页/共83页第七十三页，共84页。定理：设幂级数 的收敛(shulin)半径为为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛(shulin)；若 ，则 发散。 第74页/共83页第七十四页，共84页。证明： 设 的Jordan标准形为其中(qzhng)于是第75页/共83页第七十五页，共84页。所以(suy)第76页/共83页第七十六页，共84页。其中(qzhng)第77页/共83页第七十七页，共84页。第78页/共83页第七十八页，共84页。当 时，幂级数都是绝对(judu)收敛的，故矩阵幂级数 绝对(judu)收敛。第79页/共83页第七十九页，共84页。当 时，幂级数发散，所以 发散。定理(dngl)：矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。第80页/共83页第八十页，共84页。例 1 ： （1）求下面级数的收敛(shulin)半径（2）设判断矩阵幂级数 的敛散性。解：设此级数的收敛(shulin)半径为 ，利用公式第81页/共83页第八十一页，共84页。容易(rngy)求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。 第82页/共83页第八十二页，共84页。感谢您的欣赏(xnshng)第83页/共83页第八十三页，共84页。内容(nirng)总结证明：。（1）1范数。利用向量范数可以去构造新的范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数。B=inv(D)*A*D %通过对角相似变换(binhun)隔离Gerschgorin圆。根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。的矩阵级数为矩阵幂级数。感谢您的欣赏第八十四页，共84页。