第第4 4章章 相交线与平行线相交线与平行线4.34.3 平行线的性质平行线的性质【本节要点本节要点本节要点本节要点】平行线的性质。平行线的性质。平行线的性质在图形中的应用平行线的性质在图形中的应用。学学标标目目习习1. 理解并掌握平行线的三条性质；理解并掌握平行线的三条性质；2. 掌握平行线的性质在图形中的应用，能利掌握平行线的性质在图形中的应用，能利 用性质解答有关角的问题。用性质解答有关角的问题。3. 培养观察图形和分析、解决几何问题的能力。培养观察图形和分析、解决几何问题的能力。 【观察并测量】【观察并测量】 在教材在教材P86图图4-20和图和图4-21中，已知中，已知ABCD， 则则与与，1与与2相等吗？相等吗？=ABCDE12ABCDEFNM图图4-20图图4-211=2【猜想】【猜想】 根据上面观察和测量的结果，你能猜测根据上面观察和测量的结果，你能猜测出出 什么结论？什么结论？ 如果两条平行线被第三条直线所截，那么如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等。同位角相等。【问题】【问题】如图如图, ,直线直线 ABAB、CDCD被直线被直线EFEF所截，交所截，交于于M M、N N 两点，两点，ABCD.ABCD.试说明试说明=。ABCDEFNM【证证明明】如如图图，将将直直线线ABAB沿沿点点M M到到点点N N的的方方向向作作一一个个平平移移，并并使使平平移移后后像像的的经经过过点点N N，则则射射线线MEME的像是射线的像是射线NENE。 因因为为平平移移把把直直线线变变成成与与它它平平行行的的直直线线，而而ABCDABCD，且且直直线线CDCD经经过过点点N N，所所以以直直线线ABAB的的像就是直线像就是直线CDCD。于是有。于是有=。 ABCDEFNM两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. . . .平行线的性质平行线的性质1 1： 两条平行直线被第三条直线所截两条平行直线被第三条直线所截, ,内错角相等内错角相等吗吗？同旁内角互补吗？同旁内角互补吗？ 几何是研究图形的，几何是研究图形的，解决问题一般要结合图形解决问题一般要结合图形。现在我们画出图形，来探讨上述两个问题。现在我们画出图形，来探讨上述两个问题。【问题【问题1 1】如图如图, ,平行直线平行直线 AB,CDAB,CD被直线被直线EFEF所截所截, ,那那 么么11=22吗？吗？1 13 34 42 2A AB BE EF FD DC C【思路】【思路】 因为因为ABCDABCD， 所以所以11=4(4(两条平行线被两条平行线被第三条直线所截，同位角相等第三条直线所截，同位角相等) )， 又因为又因为22=4(4(对顶角相等对顶角相等) )， 所以所以11=2(2(等量代换等量代换) )。两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. . . .平行线的性质平行线的性质2 2：【问题【问题2 2】如图如图, ,平行直线平行直线 AB,CDAB,CD被直线被直线EFEF所截所截, ,那那 11+3=1803=180吗？吗？1 13 34 42 2A AB BE EF FD DC C【思路】【思路】 因为因为ABCDABCD， 所以所以11=4(4(两条平行线被两条平行线被第三条直线所截，同位角相等第三条直线所截，同位角相等) )， 又因为又因为33+4=1804=180， 所以所以11+4=1804=180( (等量代换等量代换) )。两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. . . .平行线的性质平行线的性质3 3：平行线有三条性质，可以简单地说成：平行线有三条性质，可以简单地说成：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. . . .两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等. . . . 两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。平行线的性质平行线的性质3 3： 如图，直线如图，直线ABAB，CDCD被直线被直线EFEF所截所截,ABCD,ABCD， 1=1001=100 ，试求试求33的度数的度数. .例例例例1 1 1 1解解解解 因为因为ABCD,ABCD, 所以所以1=2=1001=2=100 ( (两直两直 线平行，同位角相等线平行，同位角相等) )。又因为又因为22+3=1803=180 , ,所以所以3=1803=180 -2=180-2=180 -100-100 =80=80 . . 你能用平行线的性质你能用平行线的性质2 2和性质和性质3 3求出求出33的度数吗？的度数吗？试一试。试一试。132ABDCEF 如图，如图，ADBC,B=D,ADBC,B=D,试问试问AA与与CC相等吗？为什么？相等吗？为什么？例例例例2 2 2 2解解解解 因为因为A AD DB BC ,C , 所以所以A+B=180A+B=180 D+C=180 D+C=180 ( (两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补) )。 又因为又因为B=DB=D( (已知已知) ), ,所以所以A=A=CC. . C CA AD DB B 解决与平行直线有关的问题，要从已知解决与平行直线有关的问题，要从已知条件出发，运用平行线的性质，结合图形中条件出发，运用平行线的性质，结合图形中对顶角、邻补角的关系进行解答。对顶角、邻补角的关系进行解答。1.1.如图，直线如图，直线abab，直线，直线c c与与a a，b b相交，若图中与相交，若图中与 1 1相等的角是相等的角是 。1 13 34 42 2a ac cb b2 2，4 42.2.如图，已知如图，已知ABCDABCD，有下列结论：，有下列结论： 1=21=2； 1+3=1+3=2+42+4； 3+4=1803+4=180 ； 1+4=1+4=2+3.2+3. 则下列选项中正确的一项是（则下列选项中正确的一项是（ ） A. A. B. C. D.B. C. D. 4 41 12 2B BE EF FD DC CA A3 3D D3.(3.(易错题易错题) )如图，直线如图，直线ABAB，CDCD被直线被直线EFEF所截，所截， 下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（ ） A.1=4 A.1=4 B.1 B.13=1803=180 C.2=3 C.2=3 D.4 D.45=1805=18013ABDCEF452D D4.4.如图，大聪将一块如图，大聪将一块三角板放在两平行线三角板放在两平行线上，上，并量得并量得1=581=58 ，则可得则可得2=2= 。3232 5. 5.如图如图,ABCD,ABCD，CDEFCDEF，BCEDBCED，B=70B=70 , ,则则EE的度数为的度数为 . .A AB BC CD DE EF F1101101 1B BE EF FD DC CA A2 2G G6.6.如图，直线如图，直线ABCDABCD，直线，直线EFEF分别交分别交ABAB，CDCD于于E E，F F两点，两点，EGEG平分平分AEFAEF，1=501=50 ，则则2 2的度数等于的度数等于 。65657.7.【探探究究】在在已已知知图图形形中中作作直直线线的的平平行行线线，是是解解决决几几何何问问题题的的辅辅助助手手段段。请请你你在在下下图图中中，过过三三角角形形ABCABC的的顶顶点点A A作作直直线线EFBCEFBC，探探究究“三三角角形形中中三三个角的和等于个角的和等于180180 ”，写出证明过程。，写出证明过程。A AB BC C【证明】【证明】作作EFBC.EFBC.则则EAB=BEAB=B，FAC=C.FAC=C. A AB BC CE EF F又因为又因为BAC+BAC+EABEAB+ +FAC=180FAC=180 ， 所以所以BAC+BAC+B+B+C=180C=180 . .7.7.【综综合合应应用用】(1)(1)在在图图1 1中中，ABCDABCD，请请你你运运用用作平行线的辅助方法，证明作平行线的辅助方法，证明P=360P=360 -B-D-B-D。A AB BC CD DP P提示提示：过点：过点P P作作PEABPEAB，运用，运用“两直线平行，同两直线平行，同旁内角互补旁内角互补”即可得出结论。即可得出结论。( (图图1)1)(2)(2)请你运用上述方法探索图请你运用上述方法探索图2 2和图和图3 3中中P P与与B B，D D的关系，不写探索过程，直接写出的关系，不写探索过程，直接写出得到的关系式：得到的关系式：在图在图2 2中，可得中，可得 ；在图在图3 3中，可得中，可得 。A AB BC CD DP P( (图图2)2)A AB BC CD DP P( (图图3)3)P=BP=BDDP=DBP=DB1.1.平行线有什么性质？平行线有什么性质？2.2.已知两直线平行，怎样求角？已知两直线平行，怎样求角？两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等. .两直线平行，两直线平行，内错角相等内错角相等. .两直线平行，两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补. .运用平行线的性质运用平行线的性质. .结合对顶角或邻补角的关系结合对顶角或邻补角的关系. .必要时作已知直线的平行线必要时作已知直线的平行线. .