函数的概念与表示法函数的概念与表示法1疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析1、映射是特殊的对应，其、映射是特殊的对应，其“特殊性特殊性”在在于，它只能是于，它只能是“一对一一对一”或或“多对一多对一”的对应，不能是的对应，不能是“一对多一对多”的对应，故的对应，故判断一个对应是否是映射的方法是：首判断一个对应是否是映射的方法是：首先检验集合先检验集合A中的每一个元素是否在集中的每一个元素是否在集合合B中都有像；然后看集合中都有像；然后看集合A中每个元素中每个元素的象是否唯一。另外映射是有方向性的，的象是否唯一。另外映射是有方向性的，即即A到到B的映射与的映射与B到到A的映射是不同的。的映射是不同的。2问题一：以下对应中，哪些是映射？问题一：以下对应中，哪些是映射？1-12-214f：平方：平方12341964张三张三李四李四王五王五赵高赵高刘邦刘邦关公关公ABBBAA图图1图图2图图35743194AB图图43问题二：判断下列对应是否为从集合问题二：判断下列对应是否为从集合A到集合到集合B的映射。的映射。要弄清映射定义中如下几点：要弄清映射定义中如下几点：1、“对应法则对应法则”重在效果，未必要写出，可以重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中尽在不言中”；对应法则未必都有能用解析式表达。；对应法则未必都有能用解析式表达。2、A中的第一个元素都有象，且唯一；中的第一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。即使有，也未必唯一。3、若对应法则为、若对应法则为f，则，则a的象记为的象记为f（a）。）。4、映射是特殊的对应：、映射是特殊的对应：“多对一多对一”，“一对一一对一”的对应是映射；的对应是映射；“一对多一对多”的对应不是映射。的对应不是映射。42、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合与集合B只能只能 是非空数集。即函数是非空数集是非空数集。即函数是非空数集A到非空数集到非空数集B的映射。的映射。问题三：以下映射中。哪些是函数？问题三：以下映射中。哪些是函数？12341964BA图图1张三张三李四李四王五王五赵高赵高刘邦刘邦关公关公BA图图2（1）（2）（3）A=平面平面内的三角形内的三角形 ，B=平面平面内的圆内的圆，f：三角形：三角形 该三角形的内切圆该三角形的内切圆5对函数要注意：对函数要注意：1、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非空数集之间的映射才是函数；空数集之间的映射才是函数；2、要克服、要克服“函数就是解析式函数就是解析式”的片面认识，有的片面认识，有此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可用列表法图象法表示出来）用列表法图象法表示出来）3、定义域、定义域=原象集合原象集合A，值域，值域C 象集合象集合B。63、对函数符号、对函数符号f（X）的涵义的理解：）的涵义的理解： f（X）是表示一个整体符号，而记号）是表示一个整体符号，而记号“f”可可看作是对看作是对“x”施加的某种法则（或运算）施加的某种法则（或运算） “f”可看作一部机器，把可看作一部机器，把“x”输入输入“f”中，中，输出函数值。输出函数值。4、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同一函数。一函数。5、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域还会解题带来很大的方便。还会解题带来很大的方便。7一、判断两个函数是否是同一函数一、判断两个函数是否是同一函数例例1、下列各组函数中，表示同一函数的是、下列各组函数中，表示同一函数的是： （ ）变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（ ）CD8二、对函数概念的理解二、对函数概念的理解-22xy-22xy-22xy-22xyOOOO222ABCD9变式：已知函数变式：已知函数f（x）的定义域为）的定义域为-2，4，在同一坐，在同一坐标系下，函数标系下，函数y=f（x）的图象与直线）的图象与直线x=2的交点个数是的交点个数是（ ） A、0个个 B、1个个 C、2个个 D、0个或个或1个个B10三、对映射概念的理解三、对映射概念的理解例例3、设、设f：MNN是集合是集合M M到集合到集合N N的映射，下的映射，下列说法正确的是（列说法正确的是（ ）A A、M M中每一个元素在中每一个元素在N N中必有象；中必有象；B B、N N中第一个元素在中第一个元素在M M中必有原象；中必有原象；C C、N N中每一个元素在中每一个元素在M M中的原象是唯一的；中的原象是唯一的；D D、N N是是M M中所有元素的象的集合。中所有元素的象的集合。A11变式：映射变式：映射f：ABB，其中，其中A=-3A=-3，-2-2，-1-1，1 1，2 2，3 3，44，集合，集合B B中元素都是中元素都是A A中的元素在映射中的元素在映射f f下的象，且下的象，且对于任意的对于任意的a a A，在集合，在集合B中和它对应的元素是中和它对应的元素是|a|，则，则B中元素有（中元素有（ ） A、4个个 B、5个个 C、6个个 D、7个个A12四、如何确定映射的个数四、如何确定映射的个数例例4、设集合、设集合M=-1，0，1，N=-2，-1，0，1，2，如果从，如果从M到到N中的映射中的映射f满足条件：满足条件：对对M中的每一个元素中的每一个元素x与它在与它在N中的象中的象f（x）的和都是奇数，则这样的映射的和都是奇数，则这样的映射f共有多少个共有多少个？18个个变式：若变式：若A=1，2，3，4，B=a，b，c，a，b，c R，则，则A到到B的映射有的映射有 个，个，B到到A的映射有的映射有 个，个，A到到B的函数有的函数有 个。个。81816413五、对函数符号五、对函数符号f（x）的理解）的理解CB14D1516求函数的定义域求函数的定义域171. 方方 法法: 常规方法常规方法v 分母分母v 根式根式(开偶次方开偶次方)v 真数真数v 底数底数v 指数为零指数为零 时，底数不为零时，底数不为零 18例例 题题:解解: 依题有依题有:解得解得:19练练 习习:解解: 依题有依题有202.复合函数求定义域的几种题型解:由题意知:21解：由题意知:22解： 由题意知:23解： 由题意知:练习3:24题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围 (1)当当K=0时时, 30成立成立解解:25（1）m = 0 时5 0 成 立解：26归纳小结：求定义域的方法：归纳小结：求定义域的方法：（1）常规求定义域的方法（1）分母（2）根式（开偶次方）（3）真数（4）底数（5）指数为零时，底数不为0（4）已知函数的定义域,求 含参数的取值范围27布置作业布置作业：28求函数的解析式求函数的解析式29求函数的解析式求函数的解析式 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 函数解析式的常用方法有：函数解析式的常用方法有： 待定系数法待定系数法 换元法换元法 解函数方程组法解函数方程组法 代入法代入法凑配法凑配法 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容, 形式多样形式多样, 没有一定的程序可循没有一定的程序可循, 综合性强综合性强, 解起解起来有相当的难度来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用还是有一些常用之法之法. 下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法的方法.30（一）、待定系数法（一）、待定系数法设二次函数设二次函数 满足满足 且图象在且图象在 轴上的截距为轴上的截距为1，在，在 轴截轴截得的线段长为得的线段长为 ，求，求 的解析式。的解析式。例例131解法一、又解得设由得32解法二、解法二、 得得 的对称轴为的对称轴为由由设设33解法三、解法三、有对称轴又与 轴交点为故设34变式式: 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 求求 f(x). 解解: 由原式可知由原式可知 fg(x) 中的中的 g(x) 一个是一个是 2x, 另一个是另一个是 3x+1, 都是一次式都是一次式. 而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式是一个二次式, 则可可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比比较系数得系数得: a=1, b=0, c=- -1. 从而有从而有: f(x)=x2- -1. 评注注: 先分析出先分析出 f(x) 的基本形式的基本形式, 再用待定系数法再用待定系数法, 求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与与 13x2+6x- -1 表示同一个式子表示同一个式子, 即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x- -1 . 35（二）、换元法（二）、换元法例例2、根据条件，分别求出函数、根据条件，分别求出函数 的解析式的解析式36（1）解：令）解：令则则且且即即换元法换元法37凑配法凑配法用用 替代式中的替代式中的又考虑到又考虑到（2）解：解：38所以所以 f(x)=2lnx- -3 (x0). 评注注: 通通过换元元, 用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”, 从从而求得而求得 f(x). 又如又如: 已知已知 f(cosx- -1)=cos2x. 求求 f(x). 变式式: 已知已知 f(ex)=2x- -3, 求求 f(x). 解解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且且 t0, 有有: f(t)=2lnt- -3 (t0). f(x)=2x2+4x+1(- -2x0) 39（三）、解函数方程组法（三）、解函数方程组法例3、已知 ， 求解：由解得40变式式已知已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求求 f(x). xx- -1解解: 记题中式子中式子为式式, 用用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:xx- -1f( )+f( )= , xx- -11- -x1x2x- -1再用再用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:1- -x1f( )+f(x)= , 1- -x11- -x2- -x解由解由 , , 组成的方程成的方程组, 得得: 2x(x- -1)x3- -x2- -1f(x)= . 评注注: 把把 f(x), f( ), f( ) 都看作都看作“未知数未知数”, 把已知条件把已知条件化化为方程方程组的形式解得的形式解得 f(x). 又如又如: 已知已知 af(x)+bf( )=cx, 其中其中, |a|b|, 求求 f(x). xx- -1 1- -x 1 1xf(x)= (ax- - ). a2- -b2cbx41（四）、代入法（四）、代入法例例4、设函数、设函数 的图象为的图象为 ， 关于点关于点 对称的图象为对称的图象为 ， 求求 对应的函数对应的函数 的表达式。的表达式。42 设 图象上任一点 ，则关于 对称点为 在 上，解：即即故43例例5 已知已知 fff(x)=27x+13, 且且 f(x) 是一次式是一次式, 求求 f(x). 解解: 由已知可由已知可设 f(x)=ax+b, 则: 五、迭代法五、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由由题意知意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比比较系数得系数得: a=3, b=1. 故故 f(x)=3x+1. 评注注: 本本题的解法除了用迭代法的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法用了待定系数法. 44课堂练习课堂练习1.已知已知 f(x) 是一次函数是一次函数, 且且 ff(x)=4x- -1, 求求 f(x) 的解析式的解析式.5.若若 3f(x- -1)+2f(1- -x)=2x, 求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)= , 求求 f(x) 的解析式的解析式. 4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(- -x)=10x , 求求 f(x). 6.已知已知 f(0)=1, f(a- -b)=f(a)- -b(2a- -b+1), 求求 f(x). 7.已知已知 f(x) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, 且且 f(x+4)=f(- -x), 当当 x(- -2, 2)时时, f(x)=- -x2+1, 求当求当 x(- -6, - -2) 时时 f(x) 的解析式的解析式.f(x)=- -2x+1 或或 2x- - 13x+5 x2- -2x+2 f(x)= f(x)=x2- -1(x1) f(x)= 10x - - 10- -x 1323f(x)=2x+ 25f(x)=x2+x+1 f(x)=- -x2- -8x- -158.已知函数已知函数 f(x)= 求求 f(x+1) . x2, x 0, +), , x(-(-, 0) ), 1xf(x+1)= (x+1)2, x - -1, +). , x(-(-, - -1) ), x+1 1 3.已知已知 f( x +1)=x+2 x , 求求 f(x). 45 9.已知已知 F(x)=f(x)- -g(x), 其中其中 f(x)=loga(x- -b), 当且仅当点当且仅当点 (x0, y0)在在 f(x) 的图象上时的图象上时, 点点 (2x0, 2y0) 在在 y=g(x) 的图象上的图象上( (b1, a0 且且a1) ), (1)求求 y=g(x) 的解析式的解析式; (2)当当 F(x)0 时时, 求求 x 的范围的范围.解解: (1) 由已知由已知 y0=loga(x0- -b),2y0=g(2x0) g(x)=2loga( - -b). x2(2) 由由(1) 知知: F(x)=f(x)- -g(x)=loga(x- -b)- -2loga( - -b). x2故由故由 F(x)0 可得可得: loga(x- -b)2loga( - -b). x2当当 a1 时时, x- -b( - -b)2, x2- -b0, x2解得解得: 2bx2b+2+2 b+1 . 解得解得: x2b+2+2 b+1 . 当当 0a0, x2综上所述综上所述: 当当 a1 时时, 2bx2b+2+2 b+1 ; 当当 0a1 时时, x2b+2+ 2 b+1. 46函数值域的常见解法471函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。知识点知识点2确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 483求函数值域的方法直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用平均不等式求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。49例例1 1求下列函数的值域应用举例应用举例形如： 的函数可令 ，则 转化为关于t的二次函数求值。形如含有 的结构的函数，可用三角换元令x=acos求解。配方法2，4 换元法： 三角换元法：50例例2 2求下列函数的值域 形如： 可用反函数法或分离常数法求；形如： 可用判别式法求。 反函数法或分离常数法： 判别式法： 51例例3 3求下列函数的值域 可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“=”问题；形可化为 用它在 上递减，在上 递增，求值域。 练习：求值域 不等式法： 用 的单调性：52例例4 4求下列函数的值域 形如 ：可转化为斜率或用三角函数有界性求解；形如的题目可转化为距离求解；形如的高次函数可用导数求解。 53变式二：例变式二：例6 6已知函数 的定义域为R，值域为0，2，求m,n的值。 变式一：例变式一：例5 5已知函数 值域为-1，5，求实数a，c的值。 54三小结三小结1熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2求值域时要务必注意定义域的制约；3含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。5556