2.2.1 双曲线及其双曲线及其 标准方程标准方程花瓶花瓶北京摩天大楼北京摩天大楼法拉利主题公园法拉利主题公园巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂教学目标：教学目标：理解记住双曲线的理解记住双曲线的定义定义，几何，几何图形图形. .记住双曲线的记住双曲线的标准方程标准方程，会分析标准方，会分析标准方程的程的推导过程推导过程. .会利用双曲线的定义和标准方程解决简会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的单的应用问题应用问题. .问题问题1 1：椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？平面内与两个定点平面内与两个定点|F1F2|的距离的的距离的和和等于常数（等于常数（大于大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。问题问题2 2：椭圆的标准方程是怎样的椭圆的标准方程是怎样的? ? ， ， 关系如何？关系如何？问题问题3 3：如果把椭圆定义中如果把椭圆定义中“距离的距离的和和”改为改为“距离的距离的差差”那那么动点的轨迹会发生怎样的变化？么动点的轨迹会发生怎样的变化？如图如图如图如图(A)(A)， |MF |MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2|=2|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，|MF|MF2 2| |- - - -|MF|MF1 1|=2|=2a a上面两条合起来叫做双曲线上面两条合起来叫做双曲线上面两条合起来叫做双曲线上面两条合起来叫做双曲线由由由由可得：可得：可得：可得： | |MF | |MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2| | = 2| | = 2a a （差的绝对值）差的绝对值）平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于常数（等于常数（小小于于|F1F2|，且，且不等于不等于0）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲线双曲线。这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做双曲线的双曲线的焦距焦距。通常情况下，我们把|F1F2|记为2c2c（c0)c0)； 常数记为2a2a(a0)(a0).问题问题4:4:定义中为什么强调定义中为什么强调常数常数要要小于小于|F|F1 1F F2 2| |且且不等于不等于0 0（即（即02a2c02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？若若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F F1 1或或F F2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：二、双曲线标准方程的推导 建系建系使使 轴经过两焦点轴经过两焦点 ， 轴为线段轴为线段 的的垂直平分线。垂直平分线。O 设点设点设设 是双曲线上任一点，是双曲线上任一点， 焦距为焦距为 ，那么，那么 焦点焦点 又设又设|MF1|与与|MF2| 的差的绝对值等于常数的差的绝对值等于常数 。 列式列式即即将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知： 即：设 代入上式整理得： 两边同时除以 得：化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的上的双双曲线曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).三三. .双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。 。 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则的系数是正的，则焦点在焦点在 轴上。轴上。OMF2F1xyF2 2F1 1MxOy定 义 方 程 焦 点a.b.c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：题后反思：题后反思：先把非标准方程先把非标准方程化成标准方程，化成标准方程，再判断焦点所在再判断焦点所在的坐标轴。的坐标轴。变式训练变式训练解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为题后反思：求标准方程要做到求标准方程要做到先定型，后定量。先定型，后定量。两条射线两条射线轨迹不存在轨迹不存在例例1、已知双曲线的焦点、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点，双曲线上一点P到焦到焦点的距离差的绝对值等于点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。1.若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？2.若若|PF1|-|PF2|=10呢？呢？3.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？所以所以2c=10，2a=8。即。即a=4，c=5那么那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8，求适合下列条件的双曲线的标准方程。求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴焦点在在轴 上，上， ； 焦点在在轴焦点在在轴 上，经过点上，经过点 .答案答案: 设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为代入点代入点 得得令令则则解得解得故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点的爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例2 2已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则即即 2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线的定义双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的标准方程应用应用54页习题页习题2.2 A组组1、2题。题。当当 2a=| | MF1|MF2| |=0时，时，轨迹是线段轨迹是线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线. .(1) 定义中强调在平面内定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。否则轨迹不是双曲线。几点说明：几点说明： OF1F2M通常通常|F1F2|记为记为2c2c;距离的差的绝对值距离的差的绝对值记为记为2a2a.| | MF1|MF2| | =|F1F2 | 时时,M点一定在上图中的点一定在上图中的F2F1PQ当当2a=|F|F1 1F F2 2| |时时（2）定义中为什么）定义中为什么 02a|F|F1 1F F2 2| |？射线射线F1P,F2Q 上上,此时点的轨迹为两条射线此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2） 是否表示双曲线？是否表示双曲线？ 表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。答案：答案： 。