线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习A AC CB B 如图如图,在一个三角形的小岛上，小在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？距离相等呢？线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线线段段垂垂直直平平分分线线 角角平平分分线线判定判定尺规作图尺规作图定义定义性质性质三角形三边垂三角形三边垂直平分线和角直平分线和角平分线的性质平分线的性质线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两的点到这条线段两个端点距离相等个端点距离相等. .到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .ACBPMN符号语言符号语言：符号语言：符号语言：MNAB,AC=BC,MNAB,AC=BC,P P是是MNMN上任意一点上任意一点PA=PBPA=PBPA=PB(PA=PB(已知已知),),点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .温馨提示温馨提示:证明点在直线上证明点在直线上(或直线或直线经过某一点经过某一点)的根据之一的根据之一.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABCPabc 三角形三条边的三角形三条边的垂直平分线相交于一垂直平分线相交于一点点, ,并且这一点到三个并且这一点到三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。如图如图, ,在在ABCABC中中, ,直线直线c,a,bc,a,b分别是分别是AB,AB, BC,ACBC,AC的垂直平分线的垂直平分线直线直线c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P, 且且PA=PB=PCPA=PB=PC三条边的垂直平分线的性质定理三条边的垂直平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 线段的垂直平分线线段的垂直平分线三三角角形形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：角的平分线上的角的平分线上的角的平分线上的角的平分线上的点到角的两边的点到角的两边的点到角的两边的点到角的两边的距离相等距离相等距离相等距离相等. .符号语言符号语言：符号语言：符号语言：证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .证明一个点是否在角平分线上，证明一个点是否在角平分线上，从而推出两个角相等从而推出两个角相等. .线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习BADOPE 在一个角的内部，且到角的在一个角的内部，且到角的在一个角的内部，且到角的在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个两边距离相等的点，在这个两边距离相等的点，在这个两边距离相等的点，在这个角的平分线上角的平分线上角的平分线上角的平分线上. . PD=PE PDOA , PEOB点点P 在在AOB 的平分线上的平分线上 角平分线角平分线温馨提示温馨提示: OP 是是AOB 的平分线的平分线 PDOA , PEOBPD=PE 三角形的三条三角形的三条三角形的三条三角形的三条角平分线相交于一角平分线相交于一角平分线相交于一角平分线相交于一点，并且这一点到点，并且这一点到点，并且这一点到点，并且这一点到三条边的距离相等三条边的距离相等三条边的距离相等三条边的距离相等. . 三个内角平分线的性质定理三个内角平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 角平分线角平分线三三角角形形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等ABCBNDFMEP线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P，PDAB, PEBC, PF AC，垂足分垂足分别是别是E、D、F .PD=PE=PF【例【例1 1】：如图，在：如图，在ABC中，中， BC=12,AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点H.求求AFH的周长。的周长。在在ABC中，中， AFH的周长为的周长为12,AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂的垂直平分线交直平分线交BC边于点边于点H.求求BC长为长为_。在在ABC中，中， AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于边于点点H.若若B=35， C=25,则则FAH=_.121260线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC, BAC=120,AB的垂直平分线的垂直平分线交交BC边于点边于点F.求证：求证：CF=2BF303030线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例2 2】已知】已知: :如图如图, , 点点P P是是AOBAOB内部的一点内部的一点, , （2 2）你能添加一个条件）你能添加一个条件，使点，使点P P在在AOBAOB的平分线上吗？的平分线上吗？ （1 1）若）若OPOP平分平分AOBAOB，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ BACOPD21CD 若若PC=PDPC=PD，1+2=1801+2=1800 0. .那么点那么点P P在在AOBAOB的平分线上吗？的平分线上吗？MNPCOA, PDOB PCOA, PDOB ，垂足分别为点，垂足分别为点C C和点和点D.D. 答：答：点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. . 理由：理由：过点过点P P作作PMOA,PNOBPMOA,PNOB. .垂足分别为点垂足分别为点M M和点和点N N. . 1+2=180 1+2=180，33+2=180+2=180 1 =3 又又 PMC= PND=90，PC=PD PMCPND（AAS） PM=PN 又又 PM OA,PN OB 点点P在在AOB的平分线上的平分线上.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析3【例【例3 3】 已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. 分析：分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？）从已知条件你能想到什么定理？ （3）能得到什么结论）能得到什么结论? （4）用什么定理来证明结论）用什么定理来证明结论? （2）缺少了什么）缺少了什么?怎么办？怎么办？ G角平分线上的点到另一边的垂线段角平分线上的点到另一边的垂线段.添加辅助线添加辅助线.添辅助线的目添辅助线的目的是什么？的是什么？构造角平分线构造角平分线的基本图形的基本图形.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例3 3】已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA， PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. 证明：过点证明：过点P作作PGAB，垂足为点，垂足为点G .GAP平分平分BAD,PEAD(已知已知)， PGAB(已作已作) ，PEPG（角平分线上的点到角（角平分线上的点到角两边两边 的距离相等）的距离相等）同理：同理：PGPF. PEPF(等量代换等量代换). 点点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上（到（到一条线段两个端点距离相等一条线段两个端点距离相等的点，的点， 在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例3 3】已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. （1）若把上图中的）若把上图中的DA、CB延长相交于点延长相交于点O，点，点P还落还落 在什么特殊的位置上？为什么？在什么特殊的位置上？为什么？ GG由角平分线的逆定理可得点由角平分线的逆定理可得点P在在BOA的角平分线上的角平分线上. （2）OEOF吗？为什么？吗？为什么？ 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习垂直平分线垂直平分线 - -点向两端连线段点向两端连线段当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线基本图形时，要添置辅助线构造构造运用它们的运用它们的基本图形基本图形. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习规律总结规律总结角角平分线平分线 - - 点向两边作垂线段点向两边作垂线段1.1.下列命题中正确的命题有（下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；经过线段中点的直线只有一条；点点P P在线段在线段ABAB外且外且PAPA= =PBPB，过，过P P的直线的直线MNMN是线段是线段ABAB的中垂线；的中垂线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. .A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个A线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习达标测试达标测试2.2.如图，如图，P PC COAOA于点于点C C，P PD DOBOB于点于点D D，1122，下列结论不正确的是（，下列结论不正确的是（ ）A.PA.PC C=P=PD D B.O B.OC C=O=OD D C.DPO=C.DPO=C CPO PO D.ODD.ODOP OP DBACOPD21初级目标初级目标 3 3. .如图所示，点如图所示，点P P是是C CA AB B的平分线的平分线ADAD上一点，上一点，PEACPEAC于点于点E E，已知，已知PEPE5cm5cm，则点则点P P到到ABAB的距离是的距离是_._. 5cmACEPDBF4 4已知：如图，已知：如图，AOP=BOP=15AOP=BOP=150 0，PC/OAPC/OA，PDOAPDOA于点于点D D，如果，如果PC=4PC=4，则则PD=PD=_._.ADOCPB2E线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习中中级目标级目标 5.5.已知已知：如图，：如图，在等边在等边ABCABC中，中，CC、BB的平分线交于点的平分线交于点I I，BIBI、CICI的垂直平分线与的垂直平分线与BCBC相交于相交于E E、F F点点. . 求证：求证：BEBEEFEFFCFCABCIEF线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习高高级目标级目标 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，的中点，DEBCDEBC，交，交BACBAC的平分线的平分线AEAE于于E E，EFABEFAB于点于点F F，EGACEGAC交交ACAC的延长线于点的延长线于点G G. . 求证：求证：BF=CG.BF=CG. AGEBFCD 请同学们谈谈自己的收获吧！请同学们谈谈自己的收获吧！线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习