经济数学根底重难点解析经济数学根底重难点解析保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/保会通财务软件第一章第一章 函数函数一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念1 1、函数的定义域、函数的定义域、函数的定义域、函数的定义域函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的根函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的根函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的根函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的根本要求是：本要求是：本要求是：本要求是：(1)(1)分式的分母不能为零。分式的分母不能为零。分式的分母不能为零。分式的分母不能为零。(2)(2)偶次方根下的表达式非负。偶次方根下的表达式非负。偶次方根下的表达式非负。偶次方根下的表达式非负。(3)(3)对数函数中的真数表达式大于零。对数函数中的真数表达式大于零。对数函数中的真数表达式大于零。对数函数中的真数表达式大于零。假设函数是由多个表达式的代数和构成，那么定义域为使各假设函数是由多个表达式的代数和构成，那么定义域为使各假设函数是由多个表达式的代数和构成，那么定义域为使各假设函数是由多个表达式的代数和构成，那么定义域为使各表达式有意义的自变量取值之交集。表达式有意义的自变量取值之交集。表达式有意义的自变量取值之交集。表达式有意义的自变量取值之交集。对于分段函数，其定义域为一切分段自变量取值之并集。对于分段函数，其定义域为一切分段自变量取值之并集。对于分段函数，其定义域为一切分段自变量取值之并集。对于分段函数，其定义域为一切分段自变量取值之并集。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例：求函数例：求函数例：求函数例：求函数 分析分析分析分析 这这个函数的表达式是两个函数的表达式是两个函数的表达式是两个函数的表达式是两项项之和，先求使每之和，先求使每之和，先求使每之和，先求使每项项有意有意有意有意义义的的的的x x的集合，的集合，的集合，的集合，再取交集。再取交集。再取交集。再取交集。解解解解 由第一由第一由第一由第一项项得得得得x-10x-10，ln(x-1) 0ln(x-1) 0即即即即x1x1，得出，得出，得出，得出(x-1) 1,(x-1) 1,亦即亦即亦即亦即x1x1且且且且x2x2。由第二由第二由第二由第二项项得得得得4-x204-x20，即，即，即，即x24,x24,亦即亦即亦即亦即-2x2-2x2。取两者之交集即得所求函数的定取两者之交集即得所求函数的定取两者之交集即得所求函数的定取两者之交集即得所求函数的定义义域域域域为为1x21x2，或用区，或用区，或用区，或用区间间表示表示表示表示为为1 1，2 2。例例例例2 2 知函数知函数知函数知函数y=f(u)y=f(u)的定的定的定的定义义域是域是域是域是00，22，求函数，求函数，求函数，求函数y=f(lnx)y=f(lnx)的定的定的定的定义义域。域。域。域。 分析分析分析分析 由复合函数的定由复合函数的定由复合函数的定由复合函数的定义义可知可知可知可知u=lnxu=lnx的的的的值值域域域域应应包含在函数在函数包含在函数在函数包含在函数在函数包含在函数在函数y=f(u)y=f(u)的定的定的定的定义义域之内，根据域之内，根据域之内，根据域之内，根据这这一条件再确定一条件再确定一条件再确定一条件再确定x x的取的取的取的取值值范范范范围围。解解解解 由复合函数的定由复合函数的定由复合函数的定由复合函数的定义义可知可知可知可知0lnx20lnx2，利用指数函数，利用指数函数，利用指数函数，利用指数函数exex单调单调添加的添加的添加的添加的性性性性质质，得，得，得，得e0elnxe2e0elnxe2从而或用区从而或用区从而或用区从而或用区间间表示表示表示表示为为11，e2.e2.保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例3 3 知知知知f(x+1)=x2+2x-3,f(x+1)=x2+2x-3,求求求求f(3)f(3)。解解解解由由由由f(x+1)=x2+2x-3f(x+1)=x2+2x-3确定出确定出确定出确定出f(x)f(x)，由于，由于，由于，由于x2+2x-3=(x+1)2-4x2+2x-3=(x+1)2-4故而有故而有故而有故而有 f(x)=x2-4, f(x)=x2-4,于是于是于是于是f(3)=5f(3)=5在知等式的两端将在知等式的两端将在知等式的两端将在知等式的两端将x=2x=2代入得代入得代入得代入得f(2+1)=32+22-3=5f(2+1)=32+22-3=5留意：留意：留意：留意：对对于分段函数，确定函数于分段函数，确定函数于分段函数，确定函数于分段函数，确定函数值值之前要先确定自之前要先确定自之前要先确定自之前要先确定自变变量的取量的取量的取量的取值值属于那一个属于那一个属于那一个属于那一个分段区分段区分段区分段区间间。2、函数的对应关系、函数的对应关系计算函数值时，首先要明确函数的表达式，然后将自变量的取值代计算函数值时，首先要明确函数的表达式，然后将自变量的取值代入表达式中。入表达式中。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/二、函数的奇偶性二、函数的奇偶性二、函数的奇偶性二、函数的奇偶性记记住函数奇偶性的定住函数奇偶性的定住函数奇偶性的定住函数奇偶性的定义义和奇偶函数的运算性和奇偶函数的运算性和奇偶函数的运算性和奇偶函数的运算性质质。例例例例4 4 判判判判别别以下函数的奇偶性以下函数的奇偶性以下函数的奇偶性以下函数的奇偶性解解解解 (1) (1)对对于恣意的于恣意的于恣意的于恣意的x x -1-1，1 1有有有有由函数奇偶性的定由函数奇偶性的定由函数奇偶性的定由函数奇偶性的定义义，可知，可知，可知，可知 是奇函数。是奇函数。是奇函数。是奇函数。(2)(2)显显然然然然f(x)=x3f(x)=x3和和和和g(x)=sinxg(x)=sinx都是奇函数，由奇偶函数的运算性都是奇函数，由奇偶函数的运算性都是奇函数，由奇偶函数的运算性都是奇函数，由奇偶函数的运算性质质可知它可知它可知它可知它们们的乘的乘的乘的乘积积是偶函数，即是偶函数，即是偶函数，即是偶函数，即y=x3sinxy=x3sinx是偶函数。是偶函数。是偶函数。是偶函数。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、一、一、一、导导数的概念数的概念数的概念数的概念函数的函数的函数的函数的导导数是个特殊的极限，即数是个特殊的极限，即数是个特殊的极限，即数是个特殊的极限，即假假假假设设把把把把x0x0换换成成成成x x，那么，那么，那么，那么导导数定数定数定数定义为义为极限存在那么可极限存在那么可极限存在那么可极限存在那么可导导，否那么不可，否那么不可，否那么不可，否那么不可导导。导导数是从数是从数是从数是从许许多多多多实实践践践践问题问题中中中中笼统笼统出来的数学概念，它的几何意出来的数学概念，它的几何意出来的数学概念，它的几何意出来的数学概念，它的几何意义义是曲是曲是曲是曲线线切切切切线线的斜率，物理意的斜率，物理意的斜率，物理意的斜率，物理意义义是是是是变变速运速运速运速运动动的速率，的速率，的速率，的速率，经济经济意意意意义义是是是是经济经济函函函函数的数的数的数的边边沿沿沿沿经济经济量。量。量。量。记记住住住住结论结论：可：可：可：可导导 可微可微可微可微 延延延延续续例例例例1 1 假假假假设设函数函数函数函数f(x)f(x)在在在在x=0x=0临临近有定近有定近有定近有定义义，且，且，且，且f(0)=0f(0)=0，f(0)=1,f(0)=1,那么那么那么那么 分析分析分析分析 由于由于由于由于f(x)f(x)没有没有没有没有详细给详细给出，不能用求极限的运算法那么出，不能用求极限的运算法那么出，不能用求极限的运算法那么出，不能用求极限的运算法那么计计算此极算此极算此极算此极限，思索所限，思索所限，思索所限，思索所给给的条件，利用的条件，利用的条件，利用的条件，利用导导数定数定数定数定义义求极限。求极限。求极限。求极限。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/解：解：解：解：故应填：故应填：故应填：故应填：2 2二、极根的计算二、极根的计算二、极根的计算二、极根的计算了解并掌握以下极限的计算方法：了解并掌握以下极限的计算方法：了解并掌握以下极限的计算方法：了解并掌握以下极限的计算方法：(1)(1)极限的四那么运算法那么。极限的四那么运算法那么。极限的四那么运算法那么。极限的四那么运算法那么。(2)(2)两个重要极限。两个重要极限。两个重要极限。两个重要极限。(3)(3)函数的延续性。函数的延续性。函数的延续性。函数的延续性。详细计算时要留意上述法那么或方法成立的条件，否那么会在运算详细计算时要留意上述法那么或方法成立的条件，否那么会在运算详细计算时要留意上述法那么或方法成立的条件，否那么会在运算详细计算时要留意上述法那么或方法成立的条件，否那么会在运算中出现错误。中出现错误。中出现错误。中出现错误。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例2 2 求以下极限求以下极限求以下极限求以下极限 1 1 2 2 3 3 4 4解解解解(1)(1)当当当当xx时时，分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法那，分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法那，分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法那，分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法那么，由教材中公式么，由教材中公式么，由教材中公式么，由教材中公式(2.2.4)(2.2.4)可直接得到可直接得到可直接得到可直接得到结结果，即果，即果，即果，即(2)(2)当当当当x0x0时时, ,分式的分子、分母的极限都分式的分子、分母的极限都分式的分子、分母的极限都分式的分子、分母的极限都为为0,0,且分子中含有无理根式。遇到且分子中含有无理根式。遇到且分子中含有无理根式。遇到且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化，即有此情形需先将根式有理化，即有此情形需先将根式有理化，即有此情形需先将根式有理化，即有保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(3)当x4时，分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为x的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法那么，即保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(4)(4)先进展恒等变形，再利用第二个重要极限，即先进展恒等变形，再利用第二个重要极限，即先进展恒等变形，再利用第二个重要极限，即先进展恒等变形，再利用第二个重要极限，即二、导数微分的计算二、导数微分的计算二、导数微分的计算二、导数微分的计算熟练掌握导数根本公式和以下求导法那么：熟练掌握导数根本公式和以下求导法那么：熟练掌握导数根本公式和以下求导法那么：熟练掌握导数根本公式和以下求导法那么：(1)(1)导数的四那么运算法那么。导数的四那么运算法那么。导数的四那么运算法那么。导数的四那么运算法那么。(2)(2)复合函数求导法那么。复合函数求导法那么。复合函数求导法那么。复合函数求导法那么。(3)(3)隐函数求导方法隐函数求导方法隐函数求导方法隐函数求导方法由微分的定义知微分的计算可归为导数计算。由微分的定义知微分的计算可归为导数计算。由微分的定义知微分的计算可归为导数计算。由微分的定义知微分的计算可归为导数计算。例例例例3 3 求以下函数的导数或微分求以下函数的导数或微分求以下函数的导数或微分求以下函数的导数或微分导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数。导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数。导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数。导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/复合函数求导数要留意下面两步：复合函数求导数要留意下面两步：复合函数求导数要留意下面两步：复合函数求导数要留意下面两步：(1)(1)分清函数的复合步骤，明确一切的中间变量。分清函数的复合步骤，明确一切的中间变量。分清函数的复合步骤，明确一切的中间变量。分清函数的复合步骤，明确一切的中间变量。(2)(2)按照法测依次对中间变量直至自变量求导，再把相应按照法测依次对中间变量直至自变量求导，再把相应按照法测依次对中间变量直至自变量求导，再把相应按照法测依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来。的导数乘起来。的导数乘起来。的导数乘起来。解解解解保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(3)(3)方程两边对自变量方程两边对自变量方程两边对自变量方程两边对自变量x x求导数，把求导数，把求导数，把求导数，把y y看作中间变量。看作中间变量。看作中间变量。看作中间变量。第三章第三章 导数运用导数运用一、函数的一、函数的一、函数的一、函数的单调单调性性性性掌握用一掌握用一掌握用一掌握用一阶导阶导数判数判数判数判别别函数函数函数函数单调单调性的方法。性的方法。性的方法。性的方法。假假假假设设函数函数函数函数f(x)f(x)在区在区在区在区间间a,ba,b内有内有内有内有f(x)0f(x)0，那么，那么，那么，那么f(x)f(x)在在在在a,ba,b内内内内单调单调上升；有上升；有上升；有上升；有f(x)0f(x)1|Ep|1时，商品需求量相对变化的百分比大于价钱相对时，商品需求量相对变化的百分比大于价钱相对时，商品需求量相对变化的百分比大于价钱相对时，商品需求量相对变化的百分比大于价钱相对变化的百分比。此时，适当的降低商品的价钱，商品的需变化的百分比。此时，适当的降低商品的价钱，商品的需变化的百分比。此时，适当的降低商品的价钱，商品的需变化的百分比。此时，适当的降低商品的价钱，商品的需求量将有较大幅度的添加，因此，收人就会添加。求量将有较大幅度的添加，因此，收人就会添加。求量将有较大幅度的添加，因此，收人就会添加。求量将有较大幅度的添加，因此，收人就会添加。当当当当|Ep|=1|Ep|=1时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价钱时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价钱时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价钱时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价钱的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入根本没有影的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入根本没有影的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入根本没有影的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入根本没有影响。响。响。响。当当当当|Ep|1|Ep|0)Ep=-bp(b0)。那么，当价。那么，当价。那么，当价。那么，当价钱钱p p提高提高提高提高1%1%时时，需，需，需，需求量将会求量将会求量将会求量将会 A.A.添加添加添加添加bp B.bp B.减少减少减少减少bpbpC.C.减少减少减少减少bp% D.bp% D.添加添加添加添加bp%bp%解解解解(1)(1)故故故故应应填：填：填：填：-pln2-pln2(2)(2)答案：答案：答案：答案：C C由于需求由于需求由于需求由于需求弹弹性的含意是当某种商品的价性的含意是当某种商品的价性的含意是当某种商品的价性的含意是当某种商品的价钱钱p p上升上升上升上升1%1%时时其需求量减少其需求量减少其需求量减少其需求量减少|Ep|%|Ep|%，所以，所以，所以，所以A A，B B，DD都是都是都是都是错误错误的。的。的。的。 保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/四、四、四、四、导导数在数在数在数在经济问题经济问题中的运用中的运用中的运用中的运用1 1、经济经济分析中的平均和分析中的平均和分析中的平均和分析中的平均和边边沿概念沿概念沿概念沿概念在在在在经济经济分析中，描画一个函数关于自分析中，描画一个函数关于自分析中，描画一个函数关于自分析中，描画一个函数关于自变变量量量量x x的的的的变变化情化情化情化情况，况，况，况，经经常用到常用到常用到常用到“ “平均和平均和平均和平均和“ “边边沿沿沿沿这这两个概念。两个概念。两个概念。两个概念。“ “平平平平均表示在自均表示在自均表示在自均表示在自变变量量量量x x取取取取值值的一定范的一定范的一定范的一定范围围内，函数内，函数内，函数内，函数y y的的的的变变化情况，是区化情况，是区化情况，是区化情况，是区间间内内内内y y的平均的平均的平均的平均变变化率。化率。化率。化率。“ “边边沿表沿表沿表沿表示在自示在自示在自示在自变变量量量量x x的某个数的某个数的某个数的某个数值值的的的的“ “边缘边缘处处的的的的y y的的的的变变化化化化情况，即在情况，即在情况，即在情况，即在给给定定定定值值x0x0处处的的的的变变量量量量x x发发生微小的生微小的生微小的生微小的变变化化化化时时，函数增量与自，函数增量与自，函数增量与自，函数增量与自变变量的增量之比的量的增量之比的量的增量之比的量的增量之比的变变化率，也化率，也化率，也化率，也就是就是就是就是说说“ “边边沿是沿是沿是沿是y y的瞬的瞬的瞬的瞬时变时变化率，是化率，是化率，是化率，是导导数在数在数在数在经济经济问题问题中的代名中的代名中的代名中的代名词词。2 2、经济经济分析中的本分析中的本分析中的本分析中的本钱钱、收入、利、收入、利、收入、利、收入、利润润的最的最的最的最值问题值问题求求求求经济问题经济问题中的平均本中的平均本中的平均本中的平均本钱钱最小、最小、最小、最小、总总收入、利收入、利收入、利收入、利润润最大最大最大最大是本是本是本是本课课程的生点也是程的生点也是程的生点也是程的生点也是难难点，要掌握求点，要掌握求点，要掌握求点，要掌握求经济问题经济问题最最最最值值的方法。的方法。的方法。的方法。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例4 4 某厂每消某厂每消某厂每消某厂每消费费一批一批一批一批产产品，其固定本品，其固定本品，其固定本品，其固定本钱为钱为20002000元，每消元，每消元，每消元，每消费费一吨一吨一吨一吨产产品的本品的本品的本品的本钱为钱为6060元，元，元，元，对这对这种种种种产产品的市品的市品的市品的市场场需求需求需求需求规规律律律律为为q=1000-10p(qq=1000-10p(q为为需求量，需求量，需求量，需求量，p p为为价价价价钱钱) )，试试求：求：求：求：(1)(1)本本本本钱钱函数，收入函数。函数，收入函数。函数，收入函数。函数，收入函数。(2)(2)产产量量量量为为多少吨多少吨多少吨多少吨时时利利利利润润最大。最大。最大。最大。(3)(3)利利利利润润最大最大最大最大时时的价的价的价的价钱钱的需求的需求的需求的需求弹弹性。性。性。性。例例例例(1)(1)本本本本钱钱函数函数函数函数C(q)=2000+60qC(q)=2000+60q收入函数收入函数收入函数收入函数R(q)R(q)(2)(2)由于由于由于由于q=200q=200利利利利润润函数函数函数函数L(q)L(q)的独一的独一的独一的独一驻驻点，且点，且点，且点，且该问题该问题确确确确实实有使利有使利有使利有使利润润最大最大最大最大的点。所以当的点。所以当的点。所以当的点。所以当q=200q=200时时，可使利，可使利，可使利，可使利润润到达最大。到达最大。到达最大。到达最大。(3)(3)当当当当q=200q=200时时，p(200)=100-0.1200=80(p(200)=100-0.1200=80(元元元元/ /吨吨吨吨) )需求需求需求需求弹弹性性性性保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例5 5某厂每天消某厂每天消某厂每天消某厂每天消费费某种某种某种某种产产品品品品q q件的本件的本件的本件的本钱钱函数函数函数函数为为C=0.5q2+36q+9800C=0.5q2+36q+9800元，元，元，元，为为使平均本使平均本使平均本使平均本钱钱到达最低，每天的到达最低，每天的到达最低，每天的到达最低，每天的产产量量量量应为应为多少？此多少？此多少？此多少？此时时每件每件每件每件产产品的平均品的平均品的平均品的平均本本本本钱钱是多少？是多少？是多少？是多少？解：解：解：解：令令令令 得得得得q=140(q=140(其中其中其中其中q=-140q=-140舍去舍去舍去舍去) )q=140q=140是是是是 的独一的独一的独一的独一驻驻点，且点，且点，且点，且该问题该问题确确确确实实有使平均本有使平均本有使平均本有使平均本钱钱函数的最低点。函数的最低点。函数的最低点。函数的最低点。q=140q=140时时可使平均本可使平均本可使平均本可使平均本钱钱到达最低，此到达最低，此到达最低，此到达最低，此时时的平均本的平均本的平均本的平均本钱为钱为保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念假设假设假设假设F(x)F(x)的导数为的导数为的导数为的导数为f(x)f(x)，即，即，即，即 , ,那么那么那么那么F(x)F(x)是是是是f(x)f(x)的一个原函数，的一个原函数，的一个原函数，的一个原函数，且原函数具有以下性质：且原函数具有以下性质：且原函数具有以下性质：且原函数具有以下性质：假设假设假设假设F(x)F(x)是是是是f(x)f(x)是一个原函数，那么是一个原函数，那么是一个原函数，那么是一个原函数，那么F(x)+CF(x)+C仍是仍是仍是仍是f(x)f(x)的原函数，其中的原函数，其中的原函数，其中的原函数，其中C C为恣意常数。为恣意常数。为恣意常数。为恣意常数。假设假设假设假设f(x)f(x)有原函数存在，那么有无穷多个，且恣意两原函数之间仅相差有原函数存在，那么有无穷多个，且恣意两原函数之间仅相差有原函数存在，那么有无穷多个，且恣意两原函数之间仅相差有原函数存在，那么有无穷多个，且恣意两原函数之间仅相差一个常数。一个常数。一个常数。一个常数。求知函数的不定积分即为求知函数的全体原函数。求知函数的不定积分即为求知函数的全体原函数。求知函数的不定积分即为求知函数的全体原函数。求知函数的不定积分即为求知函数的全体原函数。二、不定积分的性质二、不定积分的性质二、不定积分的性质二、不定积分的性质1 1、与求导、与求导、与求导、与求导( (求微分求微分求微分求微分) )为互逆运算为互逆运算为互逆运算为互逆运算2 2、运算性质、运算性质、运算性质、运算性质其中其中其中其中k1,k2k1,k2是恣意实数。是恣意实数。是恣意实数。是恣意实数。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/三、积分根本公式三、积分根本公式三、积分根本公式三、积分根本公式正如导数公式是求导运算的根底一样，积分根本公式是积分运算的正如导数公式是求导运算的根底一样，积分根本公式是积分运算的正如导数公式是求导运算的根底一样，积分根本公式是积分运算的正如导数公式是求导运算的根底一样，积分根本公式是积分运算的根底，在积分中无论采取怎样的方法进展计算，归根结底还是要根底，在积分中无论采取怎样的方法进展计算，归根结底还是要根底，在积分中无论采取怎样的方法进展计算，归根结底还是要根底，在积分中无论采取怎样的方法进展计算，归根结底还是要设法利用积分根本公式求得最后的结果，可见，积分根本公式在设法利用积分根本公式求得最后的结果，可见，积分根本公式在设法利用积分根本公式求得最后的结果，可见，积分根本公式在设法利用积分根本公式求得最后的结果，可见，积分根本公式在积分计算中的重要，必需熟记并熟练运用。积分计算中的重要，必需熟记并熟练运用。积分计算中的重要，必需熟记并熟练运用。积分计算中的重要，必需熟记并熟练运用。四、积分计算四、积分计算四、积分计算四、积分计算由于对于定积分由于对于定积分由于对于定积分由于对于定积分 ，只需先求得相应的不定积分，只需先求得相应的不定积分，只需先求得相应的不定积分，只需先求得相应的不定积分那么那么那么那么 ，即定积分的计算可归结为求原函数问题，即定积分的计算可归结为求原函数问题，即定积分的计算可归结为求原函数问题，即定积分的计算可归结为求原函数问题，所以，在此我们主要表达不定积分的计算方法。所以，在此我们主要表达不定积分的计算方法。所以，在此我们主要表达不定积分的计算方法。所以，在此我们主要表达不定积分的计算方法。1 1、直接积分法、直接积分法、直接积分法、直接积分法利用积分根本公式和运算性质求积分的方法为直接积分法。在用此利用积分根本公式和运算性质求积分的方法为直接积分法。在用此利用积分根本公式和运算性质求积分的方法为直接积分法。在用此利用积分根本公式和运算性质求积分的方法为直接积分法。在用此法求积分时，经常要对被积函数进展适当地变形，变成可直接运法求积分时，经常要对被积函数进展适当地变形，变成可直接运法求积分时，经常要对被积函数进展适当地变形，变成可直接运法求积分时，经常要对被积函数进展适当地变形，变成可直接运用根本公式或可直接运用根本公式的线性组合方式。用根本公式或可直接运用根本公式的线性组合方式。用根本公式或可直接运用根本公式的线性组合方式。用根本公式或可直接运用根本公式的线性组合方式。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例1 1 求以下不定积分求以下不定积分求以下不定积分求以下不定积分(1)(1)(2)(2)(3)(3)解解解解(1)(1)先利用幂函数运算性质，再利用积分性质和积分根本公式计算，即先利用幂函数运算性质，再利用积分性质和积分根本公式计算，即先利用幂函数运算性质，再利用积分性质和积分根本公式计算，即先利用幂函数运算性质，再利用积分性质和积分根本公式计算，即(2)(2)同上了解，将同上了解，将同上了解，将同上了解，将 看成看成看成看成 ，那么有，那么有，那么有，那么有他好！他好！呵呵呵呵(3)(3)将将将将 看成看成看成看成 ，那么，那么，那么，那么2 2、第一、第一、第一、第一换换元元元元积积分法凑微分法分法凑微分法分法凑微分法分法凑微分法凑微分法的根本思想是凑微分法的根本思想是凑微分法的根本思想是凑微分法的根本思想是“ “凑微分，使新的凑微分，使新的凑微分，使新的凑微分，使新的变变量容易求出原函数，即量容易求出原函数，即量容易求出原函数，即量容易求出原函数，即 ，其中，其中，其中，其中 , ,而且容易求出而且容易求出而且容易求出而且容易求出最最最最终终复原到关于复原到关于复原到关于复原到关于x x的原函数。的原函数。的原函数。的原函数。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/记住以下凑微分方式：记住以下凑微分方式：记住以下凑微分方式：记住以下凑微分方式：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)(9)(9)保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/对对于定于定于定于定积积分，我分，我分，我分，我们们可以按照可以按照可以按照可以按照“ “换换元元元元变变限的原那么，免去回代复原的步限的原那么，免去回代复原的步限的原那么，免去回代复原的步限的原那么，免去回代复原的步骤骤。例例例例2 2 求以下求以下求以下求以下积积分分分分解解解解(1)(1)保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(2)(2)可可可可见见，在凑微分技巧熟，在凑微分技巧熟，在凑微分技巧熟，在凑微分技巧熟练练之后，可以省略令之后，可以省略令之后，可以省略令之后，可以省略令“2x-1=u“2x-1=u，及复原，及复原，及复原，及复原“u=2x-1“u=2x-1的步的步的步的步骤骤，但是我，但是我，但是我，但是我们们必需在必需在必需在必需在脑脑子里非常清楚，是子里非常清楚，是子里非常清楚，是子里非常清楚，是对谁对谁在在在在求求求求积积分。也即分。也即分。也即分。也即保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(3)(3)(换元换限换元换限换元换限换元换限) )令令令令u=lnxu=lnx，当，当，当，当x=e2x=e2时，时，时，时，u=2u=2，当，当，当，当x=e3x=e3时时时时u=3u=3(不换元，心中明确是对不换元，心中明确是对不换元，心中明确是对不换元，心中明确是对lnxlnx求积分求积分求积分求积分) )当积分变量是当积分变量是当积分变量是当积分变量是u u时，要将变量时，要将变量时，要将变量时，要将变量x x对应的积分限变为对应的积分限变为对应的积分限变为对应的积分限变为u u所对应的积分限，否所对应的积分限，否所对应的积分限，否所对应的积分限，否那么会在计算中出现错误。那么会在计算中出现错误。那么会在计算中出现错误。那么会在计算中出现错误。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(4)(4)(换元换限换元换限换元换限换元换限) )令令令令u=ex,u=ex,当当当当x=0x=0时，时，时，时，u=1u=1，当，当，当，当x=1x=1时，时，时，时，u=eu=e，代入原式得，代入原式得，代入原式得，代入原式得(心中明确对心中明确对心中明确对心中明确对exex求积分，但不去换元求积分，但不去换元求积分，但不去换元求积分，但不去换元) )3 3、分部积分法、分部积分法、分部积分法、分部积分法当被积函数是当被积函数是当被积函数是当被积函数是Pn(x)sinx,Pn(x)cosx,Pn(x)exPn(x)sinx,Pn(x)cosx,Pn(x)ex和和和和Pn(x)lnx(Pn(x)lnx(其中其中其中其中Pn(x)Pn(x)是是是是x x的的的的n n次多项式次多项式次多项式次多项式) )时，可用分部积分法求解，在求解中要时，可用分部积分法求解，在求解中要时，可用分部积分法求解，在求解中要时，可用分部积分法求解，在求解中要留意：留意：留意：留意：保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(1)(1)分部分部分部分部积积分法是分法是分法是分法是经过经过将将将将 转转化化化化 来来来来计计算，而后者算，而后者算，而后者算，而后者应应是易求出是易求出是易求出是易求出积积分的。分的。分的。分的。(2)(2)运用分部运用分部运用分部运用分部积积分法分法分法分法时时，要能正确地确定被，要能正确地确定被，要能正确地确定被，要能正确地确定被积积函数中的函数中的函数中的函数中的u u的的的的vv，普通来，普通来，普通来，普通来说说，选择选择u,vu,v的原那么是：的原那么是：的原那么是：的原那么是：选选作作作作vv的函数的函数的函数的函数应应容易容易容易容易计计算算算算积积分，或是好求原函数。分，或是好求原函数。分，或是好求原函数。分，或是好求原函数。所所所所选选取的取的取的取的u u和和和和vv，要使，要使，要使，要使积积分分分分 较较之之之之积积分分分分 容易容易容易容易计计算。算。算。算。延延延延续续两次或两次以上运用分部两次或两次以上运用分部两次或两次以上运用分部两次或两次以上运用分部积积分公式分公式分公式分公式时时，再一次，再一次，再一次，再一次选择选择的的的的u,vu,v必必必必需是前一次需是前一次需是前一次需是前一次选择选择的同的同的同的同类类函数，否那么，就会使函数，否那么，就会使函数，否那么，就会使函数，否那么，就会使积积分复原。分复原。分复原。分复原。普通地，普通地，普通地，普通地，对对于是于是于是于是 方式的方式的方式的方式的积积分，分，分，分，选选u(x)u(x)为为Pn(x),v(x)Pn(x),v(x)为为sinx,cosx,exsinx,cosx,ex，对对于于于于 ，选选u(x)u(x)，v(x)v(x)为为Pn(x)Pn(x)。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例3 3 用分部积分法求以下积分用分部积分法求以下积分用分部积分法求以下积分用分部积分法求以下积分(1)(1)(2)(2)(3)(3)解解解解(1)(1)令令令令u=x,v=sin(x+1)u=x,v=sin(x+1)，那么，那么，那么，那么v=-cos(x+1)v=-cos(x+1)于是于是于是于是(2)(2)令令令令u=ln(1+x),v=x,u=ln(1+x),v=x,那么那么那么那么 于是于是于是于是 (3)(3)对于定积分，在运用分部积分法计算时要留意每一次都要带着积对于定积分，在运用分部积分法计算时要留意每一次都要带着积对于定积分，在运用分部积分法计算时要留意每一次都要带着积对于定积分，在运用分部积分法计算时要留意每一次都要带着积分上、下限。分上、下限。分上、下限。分上、下限。令令令令 ，那么，那么，那么，那么 , ,于是于是于是于是留意：及时计算出留意：及时计算出留意：及时计算出留意：及时计算出 的值可以减少运算中的错误。的值可以减少运算中的错误。的值可以减少运算中的错误。的值可以减少运算中的错误。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/第五章第五章 积分运用积分运用本章的主要内容是利用第四章所学内容处理有关积分运用问题。这里的本章的主要内容是利用第四章所学内容处理有关积分运用问题。这里的本章的主要内容是利用第四章所学内容处理有关积分运用问题。这里的本章的主要内容是利用第四章所学内容处理有关积分运用问题。这里的运用主要是：几何运用求知切线斜率的曲线议程和平面图形的面运用主要是：几何运用求知切线斜率的曲线议程和平面图形的面运用主要是：几何运用求知切线斜率的曲线议程和平面图形的面运用主要是：几何运用求知切线斜率的曲线议程和平面图形的面积等；经济运用知边沿经济函数求原经济函数或求原经济函数积等；经济运用知边沿经济函数求原经济函数或求原经济函数积等；经济运用知边沿经济函数求原经济函数或求原经济函数积等；经济运用知边沿经济函数求原经济函数或求原经济函数在某个区间上的改动量等；微分方程。进一步了解积分的有关概在某个区间上的改动量等；微分方程。进一步了解积分的有关概在某个区间上的改动量等；微分方程。进一步了解积分的有关概在某个区间上的改动量等；微分方程。进一步了解积分的有关概念，尤其是有关公式的内在联络，熟练掌握积分的计算方法是学好念，尤其是有关公式的内在联络，熟练掌握积分的计算方法是学好念，尤其是有关公式的内在联络，熟练掌握积分的计算方法是学好念，尤其是有关公式的内在联络，熟练掌握积分的计算方法是学好本章的前提。本章的前提。本章的前提。本章的前提。一、几何运用一、几何运用一、几何运用一、几何运用1 1、求知切线斜率的曲线方程、求知切线斜率的曲线方程、求知切线斜率的曲线方程、求知切线斜率的曲线方程假设知曲线假设知曲线假设知曲线假设知曲线y=f(x)y=f(x)在恣意一点在恣意一点在恣意一点在恣意一点x x处切线的斜率为处切线的斜率为处切线的斜率为处切线的斜率为f(x)f(x)，且曲线过，且曲线过，且曲线过，且曲线过(x0,y0)(x0,y0)点，那么该曲线的方程可知获得点，那么该曲线的方程可知获得点，那么该曲线的方程可知获得点，那么该曲线的方程可知获得(1)(1)由由由由 求得一簇曲线含恣意常数求得一簇曲线含恣意常数求得一簇曲线含恣意常数求得一簇曲线含恣意常数C C(2)(2)将将将将(x0,y0)(x0,y0)点代入上式，确定出积分常数点代入上式，确定出积分常数点代入上式，确定出积分常数点代入上式，确定出积分常数C C。例例例例1 1 知曲知曲知曲知曲线线y=f(x)y=f(x)在任一点在任一点在任一点在任一点x x处处的切的切的切的切线线斜率斜率斜率斜率为为2x22x2，且曲，且曲，且曲，且曲线过线过(0,1)(0,1)点，求曲点，求曲点，求曲点，求曲线线的方程。的方程。的方程。的方程。解解解解将将将将(0,1)(0,1)代入代入代入代入 中，得中，得中，得中，得C=1C=1于是所求曲于是所求曲于是所求曲于是所求曲线线方程方程方程方程为为 2 2、求平面、求平面、求平面、求平面图图形的面形的面形的面形的面积积对对于定于定于定于定积积分的几何意分的几何意分的几何意分的几何意义义，我，我，我，我们们有最根本的有最根本的有最根本的有最根本的“ “定定定定积积分分分分 表示由曲表示由曲表示由曲表示由曲线线y=f(x)y=f(x)和和和和x x轴轴即即即即y=0y=0及直及直及直及直线线x=a,x=bx=a,x=b所所所所围围曲曲曲曲边边梯形梯形梯形梯形的面的面的面的面积积 。但。但。但。但实实践上，我践上，我践上，我践上，我们们要要要要记记住普通的平面住普通的平面住普通的平面住普通的平面图图形如右的面形如右的面形如右的面形如右的面积积公式公式公式公式也可以通俗也可以通俗也可以通俗也可以通俗笼统笼统地地地地记为记为这这里里里里y y上指的是上指的是上指的是上指的是图图形上方的形上方的形上方的形上方的边边境曲境曲境曲境曲线线( (如如如如f(x)f(x)，y y下指的是下指的是下指的是下指的是图图形下方的形下方的形下方的形下方的边边境曲境曲境曲境曲线线( (如如如如g(x)g(x)。求平面图形面积的普通步骤为：求平面图形面积的普通步骤为：求平面图形面积的普通步骤为：求平面图形面积的普通步骤为：(1)(1)画出所围图形的草图。画出所围图形的草图。画出所围图形的草图。画出所围图形的草图。(2)(2)求出各有关曲线的交点及边境点，以确定积分上、下限。求出各有关曲线的交点及边境点，以确定积分上、下限。求出各有关曲线的交点及边境点，以确定积分上、下限。求出各有关曲线的交点及边境点，以确定积分上、下限。(3)(3)利用定积分几何意义或面积公式计算所求面积的数值。利用定积分几何意义或面积公式计算所求面积的数值。利用定积分几何意义或面积公式计算所求面积的数值。利用定积分几何意义或面积公式计算所求面积的数值。例例例例2 2 求由以下曲线所围的平面图形的面积：求由以下曲线所围的平面图形的面积：求由以下曲线所围的平面图形的面积：求由以下曲线所围的平面图形的面积：(1)(1)曲线曲线曲线曲线 及直线及直线及直线及直线x=1x=1。(2)(2)第一象限中第一象限中第一象限中第一象限中 及及及及y=1y=1。解解解解(1)(1)画出所围平面区域的草图画出所围平面区域的草图画出所围平面区域的草图画出所围平面区域的草图( (如右图如右图如右图如右图) )，可见，三个交点分别是，可见，三个交点分别是，可见，三个交点分别是，可见，三个交点分别是(0,1),(1,e)(0,1),(1,e)和和和和(1,e-1)(1,e-1)，y y上为上为上为上为y=exy=ex，y y下为下为下为下为y=e-xy=e-x，积分上下，积分上下，积分上下，积分上下限分别为限分别为限分别为限分别为0 0和和和和1 1，于是，于是，于是，于是保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/(2)(2)所围平面图形如右图中阴影部分。所围平面图形如右图中阴影部分。所围平面图形如右图中阴影部分。所围平面图形如右图中阴影部分。联立方程求出交点坐标联立方程求出交点坐标联立方程求出交点坐标联立方程求出交点坐标察看图形的特点，当察看图形的特点，当察看图形的特点，当察看图形的特点，当x x在在在在 中变化时，中变化时，中变化时，中变化时，y y上上上上=2x2,y=2x2,y下下下下=x2=x2；当；当；当；当x x在在在在 中变化时，中变化时，中变化时，中变化时，y y上上上上=1=1，y y下下下下=x2=x2，也就是说，在，也就是说，在，也就是说，在，也就是说，在00，11范围内，范围内，范围内，范围内，所围面积中的边境上曲线不是同一个函数，这种情况下必需采取所围面积中的边境上曲线不是同一个函数，这种情况下必需采取所围面积中的边境上曲线不是同一个函数，这种情况下必需采取所围面积中的边境上曲线不是同一个函数，这种情况下必需采取分段积分的方法，于是分段积分的方法，于是分段积分的方法，于是分段积分的方法，于是保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/二、二、二、二、经济经济运用运用运用运用知知知知边边沿函数求原沿函数求原沿函数求原沿函数求原经济经济函数或原函数或原函数或原函数或原经济经济函数在某个区函数在某个区函数在某个区函数在某个区间间上的上的上的上的改改改改动动量是量是量是量是积积分在分在分在分在经济问题经济问题中的运用。中的运用。中的运用。中的运用。假假假假设设知知知知边边沿沿沿沿经济经济函数，原函数，原函数，原函数，原经济经济函数可由其不定函数可由其不定函数可由其不定函数可由其不定积积分或分或分或分或变变上限定上限定上限定上限定积积分表示，即知分表示，即知分表示，即知分表示，即知F(X)F(X)那么那么那么那么 ，其中其中其中其中积积分常数分常数分常数分常数C C由由由由F(0)=F0F(0)=F0的的的的详细详细条件确定。条件确定。条件确定。条件确定。也可由也可由也可由也可由N-LN-L公式公式公式公式 ，移，移，移，移项项得得得得在区在区在区在区间间a,ba,b上的改上的改上的改上的改动动量量量量为为普通地，普通地，普通地，普通地，对对于本于本于本于本钱钱函数，函数，函数，函数，C C0 0=C0(=C0(固定本固定本固定本固定本钱钱) )；对对于于于于收函数收函数收函数收函数R(0)=0R(0)=0。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例3 3 知边沿本钱核算知边沿本钱核算知边沿本钱核算知边沿本钱核算 ，固定本钱为，固定本钱为，固定本钱为，固定本钱为5555，试求总本，试求总本，试求总本，试求总本钱钱钱钱C Cq q、平均本钱和变动本钱。、平均本钱和变动本钱。、平均本钱和变动本钱。、平均本钱和变动本钱。解解解解平均本钱为平均本钱为平均本钱为平均本钱为变动本钱为变动本钱为变动本钱为变动本钱为保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例 4 4设设某某某某产产量的量的量的量的总总收入函数的收入函数的收入函数的收入函数的变变化率化率化率化率为为R(q)=12-q(R(q)=12-q(万元万元万元万元/ /百台百台百台百台) )，求，求，求，求产产量从量从量从量从100100台添加到台添加到台添加到台添加到300300台台台台时总时总收入的改收入的改收入的改收入的改动动量。量。量。量。 解解解解三、微分方程三、微分方程三、微分方程三、微分方程1 1、微分方程的概念、微分方程的概念、微分方程的概念、微分方程的概念 了解微分方程中方程、方程的了解微分方程中方程、方程的了解微分方程中方程、方程的了解微分方程中方程、方程的阶阶、方程的解、方程的解、方程的解、方程的解( (通解、特解通解、特解通解、特解通解、特解) )、线线性微分方程、非性微分方程、非性微分方程、非性微分方程、非线线性微分方程等概念。性微分方程等概念。性微分方程等概念。性微分方程等概念。2 2、求解微分方程、求解微分方程、求解微分方程、求解微分方程 主要求解可分主要求解可分主要求解可分主要求解可分别变别变量和一量和一量和一量和一阶线阶线性两性两性两性两类类微分方程。微分方程。微分方程。微分方程。 对对于可分于可分于可分于可分别变别变量的微分方程，求解量的微分方程，求解量的微分方程，求解量的微分方程，求解时时采取分采取分采取分采取分别变别变量后直接量后直接量后直接量后直接积积分求解，分求解，分求解，分求解，对对于一于一于一于一阶线阶线性微分方程性微分方程性微分方程性微分方程须须在方程两端乘以适当的的在方程两端乘以适当的的在方程两端乘以适当的的在方程两端乘以适当的的积积分分分分因子后因子后因子后因子后积积分求解，或用公式分求解，或用公式分求解，或用公式分求解，或用公式(5.3.3)(5.3.3)直接求解。直接求解。直接求解。直接求解。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例5 5 求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程 的通解。的通解。的通解。的通解。解解解解 这是一个可分别变量的微分方程，分别变量这是一个可分别变量的微分方程，分别变量这是一个可分别变量的微分方程，分别变量这是一个可分别变量的微分方程，分别变量可得可得可得可得两边分别对变量求积分，得两边分别对变量求积分，得两边分别对变量求积分，得两边分别对变量求积分，得经计算得经计算得经计算得经计算得保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例6 6 求微分方程：求微分方程：求微分方程：求微分方程： 当当当当x=1,y=0x=1,y=0时的特解。时的特解。时的特解。时的特解。解：将方程写为解：将方程写为解：将方程写为解：将方程写为 的方式，那么的方式，那么的方式，那么的方式，那么 由通解公式得由通解公式得由通解公式得由通解公式得当当当当x=1,y=0x=1,y=0时，解出时，解出时，解出时，解出C=-eC=-e，于是通解为，于是通解为，于是通解为，于是通解为 第六章第六章 数据处置数据处置本章的重点是均值、方差和加权平均数的概念及其计算本章的重点是均值、方差和加权平均数的概念及其计算本章的重点是均值、方差和加权平均数的概念及其计算本章的重点是均值、方差和加权平均数的概念及其计算方法。学习中记住其定义及相应的计算公式。方法。学习中记住其定义及相应的计算公式。方法。学习中记住其定义及相应的计算公式。方法。学习中记住其定义及相应的计算公式。例例例例1 1 有有有有6 6个数据个数据个数据个数据18,20,27,20,17,1818,20,27,20,17,18，求平均值、方差和，求平均值、方差和，求平均值、方差和，求平均值、方差和中位数。中位数。中位数。中位数。解解解解 例例例例2 2 某商品的一张调查询卷表有某商品的一张调查询卷表有某商品的一张调查询卷表有某商品的一张调查询卷表有3 3个目的，各自的权重及个目的，各自的权重及个目的，各自的权重及个目的，各自的权重及得分如下表：得分如下表：得分如下表：得分如下表：问调查表中该种商品的最后得分是问调查表中该种商品的最后得分是问调查表中该种商品的最后得分是问调查表中该种商品的最后得分是 。目的目的目的目的A AB BC C权重权重权重权重(%)(%)505030302020得分得分得分得分9 98 81010保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/解：一组数据为解：一组数据为解：一组数据为解：一组数据为9 9，8 8，1010相应的权重为相应的权重为相应的权重为相应的权重为那么加权平均数为那么加权平均数为那么加权平均数为那么加权平均数为即最后得分为即最后得分为即最后得分为即最后得分为8.98.9分。分。分。分。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/第七章第七章 随机事件与概率随机事件与概率一、概率的概念一、概率的概念一、概率的概念一、概率的概念客观世界中存在着许多随机景象，能够产生各种结果，客观世界中存在着许多随机景象，能够产生各种结果，客观世界中存在着许多随机景象，能够产生各种结果，客观世界中存在着许多随机景象，能够产生各种结果，能够产生各种结果，能够结果能够产生各种结果，能够结果能够产生各种结果，能够结果能够产生各种结果，能够结果( (随机事件随机事件随机事件随机事件) )发生的能够发生的能够发生的能够发生的能够性大小的数量就是概率。概率是随机事件发生能够性性大小的数量就是概率。概率是随机事件发生能够性性大小的数量就是概率。概率是随机事件发生能够性性大小的数量就是概率。概率是随机事件发生能够性大小的度量。大小的度量。大小的度量。大小的度量。二、随机事件概率的计算二、随机事件概率的计算二、随机事件概率的计算二、随机事件概率的计算1 1、用频率近似概率、用频率近似概率、用频率近似概率、用频率近似概率设某人投篮命中率为设某人投篮命中率为设某人投篮命中率为设某人投篮命中率为0.470.47，是多次统计他投篮命中的频，是多次统计他投篮命中的频，是多次统计他投篮命中的频，是多次统计他投篮命中的频率是率是率是率是47%47%，使我们置信更多地统计，这个频率会稳定，使我们置信更多地统计，这个频率会稳定，使我们置信更多地统计，这个频率会稳定，使我们置信更多地统计，这个频率会稳定在在在在0.470.47附近。附近。附近。附近。由频率来认识概率，是初级的，也是重要的。由频率来认识概率，是初级的，也是重要的。由频率来认识概率，是初级的，也是重要的。由频率来认识概率，是初级的，也是重要的。2 2、古典概型的计算方法、古典概型的计算方法、古典概型的计算方法、古典概型的计算方法一个随机实验，具有一个随机实验，具有一个随机实验，具有一个随机实验，具有(1)(1)一切能够结果只需有限个，如一切能够结果只需有限个，如一切能够结果只需有限个，如一切能够结果只需有限个，如n n个个个个(2)(2)每个能够结果出现的能够性相等每个能够结果出现的能够性相等每个能够结果出现的能够性相等每个能够结果出现的能够性相等( (等概等概等概等概) )。(3)(3)每次实验，仅有一个能够结果出现。每次实验，仅有一个能够结果出现。每次实验，仅有一个能够结果出现。每次实验，仅有一个能够结果出现。假设事件假设事件假设事件假设事件A A包含包含包含包含k k个能够结果，那么个能够结果，那么个能够结果，那么个能够结果，那么保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/例例例例1 1 掷掷两两两两颗颗均匀的骰子，出均匀的骰子，出均匀的骰子，出均匀的骰子，出现现点数和点数和点数和点数和为为4 4的概率是的概率是的概率是的概率是( )( )A B C D A B C D 答案：答案：答案：答案：B B 分析分析分析分析 掷掷两两两两颗颗骰子，其能骰子，其能骰子，其能骰子，其能够够出出出出现现3636种情况，点数和种情况，点数和种情况，点数和种情况，点数和为为4 4的能的能的能的能够够有有有有(1,3),(2,2),(3,1),(1,3),(2,2),(3,1),即即即即k=3,k=3,故故故故3 3、利用加法公式和乘法公式、利用加法公式和乘法公式、利用加法公式和乘法公式、利用加法公式和乘法公式计计算概率算概率算概率算概率概率的加法公式：概率的加法公式：概率的加法公式：概率的加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特特特特别别地，当地，当地，当地，当AB=AB=时时P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)当当当当A A与与与与B B相互独立相互独立相互独立相互独立时时P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)概率的乘法公式：概率的乘法公式：概率的乘法公式：概率的乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A|B)P(B) 当当当当P(B) 0P(B) 0 =P(B|A)P(A) =P(B|A)P(A) 当当当当P(A) 0P(A) 0特特特特别别地，当地，当地，当地，当A A与与与与B B相互独立相互独立相互独立相互独立时时，P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)4 4、利用概率性、利用概率性、利用概率性、利用概率性质计质计算概率算概率算概率算概率假假假假设设A B,A B,那么那么那么那么 5 5、利用、利用、利用、利用对对立事件的概率立事件的概率立事件的概率立事件的概率计计算概率算概率算概率算概率例例例例2 2 假设假设假设假设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.32,P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.32,求求求求解解解解例例例例3 3 盒中有三个红球，两个白球，每次从中任取一求，盒中有三个红球，两个白球，每次从中任取一求，盒中有三个红球，两个白球，每次从中任取一求，盒中有三个红球，两个白球，每次从中任取一求，求以下事件的概率：求以下事件的概率：求以下事件的概率：求以下事件的概率：(1)(1)无放回地取两次，两次都取到红球的概率。无放回地取两次，两次都取到红球的概率。无放回地取两次，两次都取到红球的概率。无放回地取两次，两次都取到红球的概率。(2)(2)有放回地取两次，两次都取到红球的概率。有放回地取两次，两次都取到红球的概率。有放回地取两次，两次都取到红球的概率。有放回地取两次，两次都取到红球的概率。(3)(3)无放回地取两次，第一次取到是白球，第二次取到是无放回地取两次，第一次取到是白球，第二次取到是无放回地取两次，第一次取到是白球，第二次取到是无放回地取两次，第一次取到是白球，第二次取到是红球的概率。红球的概率。红球的概率。红球的概率。解解解解 设设设设AiAi表示第表示第表示第表示第i i次取到的是红球次取到的是红球次取到的是红球次取到的是红球(1)(1)显示显示显示显示 ，所求为，所求为，所求为，所求为P(A1,A2)P(A1,A2)由乘法公式得由乘法公式得由乘法公式得由乘法公式得(2)(2)所求为所求为所求为所求为P(A1A2)P(A1A2)与与与与(1)(1)的区别是有放回。由乘法公式的区别是有放回。由乘法公式的区别是有放回。由乘法公式的区别是有放回。由乘法公式得得得得(A1(A1与与与与A2A2相互独立相互独立相互独立相互独立) )(3)(3)所求为所求为所求为所求为 。由乘法公式得。由乘法公式得。由乘法公式得。由乘法公式得例例例例4 4 甲、乙二人向同一目的射甲、乙二人向同一目的射甲、乙二人向同一目的射甲、乙二人向同一目的射击击，甲，甲，甲，甲击击中的概率是中的概率是中的概率是中的概率是0.60.6，乙乙乙乙击击中的概率是中的概率是中的概率是中的概率是0.70.7，二人独立，二人独立，二人独立，二人独立进进展射展射展射展射击击，求：，求：，求：，求：(1)(1)目的被目的被目的被目的被击击中的概率。中的概率。中的概率。中的概率。(2)(2)目的恰好被一人目的恰好被一人目的恰好被一人目的恰好被一人击击中的概率。中的概率。中的概率。中的概率。(3)(3)目的没有被目的没有被目的没有被目的没有被击击的概率。的概率。的概率。的概率。解解解解 设设A1A1、A2A2分分分分别别表示甲、乙二人表示甲、乙二人表示甲、乙二人表示甲、乙二人击击中目的的事件，中目的的事件，中目的的事件，中目的的事件，C C表表表表示目的被示目的被示目的被示目的被击击中的事件，那么中的事件，那么中的事件，那么中的事件，那么P(A1)=0.6,P(A2)=0.7P(A1)=0.6,P(A2)=0.7。(1)(1)显显示，只需有一个人示，只需有一个人示，只需有一个人示，只需有一个人击击中目的，那么目的就被中目的，那么目的就被中目的，那么目的就被中目的，那么目的就被击击中，中，中，中，即即即即C C发发生，生，生，生，这这就意味着就意味着就意味着就意味着A1A1，A2A2中至少一个中至少一个中至少一个中至少一个发发生，故所生，故所生，故所生，故所求求求求为为P(C)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)P(C)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2) =P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2) =0.6+0.7-0.60.7 =0.6+0.7-0.60.7 =1.3-0.42=0.88 =1.3-0.42=0.88(2)(2)恰有一人击中目的，即为恰有一人击中目的，即为恰有一人击中目的，即为恰有一人击中目的，即为 发生，故发生，故发生，故发生，故(3)(3)目的没被击中，即二人都不中，亦即目的没被击中，即二人都不中，亦即目的没被击中，即二人都不中，亦即目的没被击中，即二人都不中，亦即 发生，故发生，故发生，故发生，故例例例例5 5 知事件知事件知事件知事件A A与与与与B B相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，证证明明明明 与与与与B B也相互独立。也相互独立。也相互独立。也相互独立。证证明明明明 A A与与与与B B相互独立相互独立相互独立相互独立 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) 又又又又而而而而对对恣意的事件恣意的事件恣意的事件恣意的事件A A，B B，都有，都有，都有，都有 , ,故故故故由此由此由此由此证证明明明明 与与与与B B也相互独立。也相互独立。也相互独立。也相互独立。保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/保会通保会通保会通保会通财务软财务软件件件件 bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/ bhtsoft/