3.2 函数极限的性质函数极限的性质一一.极限的性质极限的性质二二 . 利用函数极限的性质计算某利用函数极限的性质计算某些函数的极限些函数的极限1青苗辅导v定理3.2 如果当如果当xx0时时f(x)的极限存的极限存 那么这极限是唯一的那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限时的极限 当当 都是都是 设设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ A x f x x 时有时有 当当 则则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - - - $ $ B x f x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时时 则当则当 取取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d d d d d - - . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e - - + + - - - - - - - - - - B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一即其极限唯一 的任意性得的任意性得 由由 B A e e (1)(2)一一 函数极限的性质函数极限的性质1.唯一性唯一性2青苗辅导2.局部有界性局部有界性若极限若极限 存在， 则函数在的某一空 心邻域上有界。 证明证明 有有 使得使得 则则 取取 设设 ) ; ( , 0 , 1 , ) ( lim 0 0 d d d d e e x U x A x f x x oo $ $ . 1 ) ( 1 ) ( + + - - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界内有界 在在 即即 d d x U x f oo 3青苗辅导3. 局部局部保号性保号性定理定理3.4证明证明 设设A0,对任何对任何0,使得对一切使得对一切这就证得结论这就证得结论.对于对于A 0的情形可的情形可类似地证明类似地证明.推论推论4青苗辅导v定理3.4(函数极限的局部保号性) 如果如果f(x)A(xx0) 而且而且A 0(或或A 0) 那么对那么对任何正数任何正数rA (或或 r 0 (或或f(x) -r 0) 证明) ; ( , 0 , ), 1 , 0 ( , 0 0 d d d d e e x U x r A r A $ $ - - 使得使得 则则 取取 设设 . ) ( r A x f - - e e 有有 . 0 的情形类似可证的情形类似可证 对于对于 r 推论 如如果果在在x0的的某某一一去去心心邻邻域域内内f(x) 0(或或f(x) 0) 而而且且 f(x)A(xx0) 那么那么A 0(或或A 0) 3. 局部局部保号性保号性5青苗辅导v定理3.5(函数极限的保不等式性) 证明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则则 内有内有 极限都存在且在极限都存在且在 时时 如果如果 d d oo , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x 设设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - - - $ $ e e d d d d e e 时有时有 当当 则则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ B x g x x 时有时有 当当 于是有于是有 同时成立同时成立 与与 不等式不等式 时时 则当则当 令令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - d d d d d d d d d d , ) ( ) ( e e e e + + - - B x g x f A . , 2 B A B A + + 的任意性知的任意性知 由由 从而从而 e e e e 4 保不等式保不等式6青苗辅导推论推论7青苗辅导v定理3.6 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x)满足下列条件满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x) (2)lim g(x) A lim h(x) A 那么那么lim f(x)存在存在 且且lim f(x) A 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - - - $ $ e e d d d d e e 时有时有 当当 按假设按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ A x h x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时上两不等式与时上两不等式与 则当则当 令令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - - d d d d d d d d , ) ( ) ( ) ( e e e e + + - - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x - - 即即 由此得由此得 e e 5 迫敛性迫敛性8青苗辅导定理定理3.7设设 , 则 1）2）3）6 四则运算法则四则运算法则9青苗辅导(3)的证明的证明 只要证， 令，由 ，使得当 时，有 ， 即 , 仍然由 ，.，使得当 时，有 . 取 ，则当 时，有 即 10青苗辅导推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2定理的条件：定理的条件：存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果11青苗辅导二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限.已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 4P3738. 我们将陆续证明这些公式.12青苗辅导 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例求例求.例求例求.例求例求.( 利用极限和 ) 13青苗辅导例例4 证明证明证证（不妨设（不妨设1）14青苗辅导例例6求求例例5求求註註: 关于关于的有理分式当时的极限. 参阅4P37 利用公式 求A和B. 补充题补充题: 已知 15青苗辅导求极限方法举例求极限方法举例例例7 7解解16青苗辅导小结小结: :17青苗辅导例例8 8解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得18青苗辅导例例9 9解解(消去零因子法消去零因子法)19青苗辅导例例1010解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)20青苗辅导小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.21青苗辅导例例1111解解先变形再求极限先变形再求极限.22青苗辅导 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。三、复合函数极限三、复合函数极限定理定理 （复合函数极限运算法则（复合函数极限运算法则变量代换法则）变量代换法则）23青苗辅导证证由极限定义得由极限定义得24青苗辅导此定理表明：此定理表明：则可作代换则可作代换极限过程的转化极限过程的转化注注1可得类似的定理可得类似的定理注注2定理中的限制条件定理中的限制条件不能少不能少,例如例如,令令25青苗辅导 例12 解 26青苗辅导6）.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法：极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.四、小结四、小结1 函数极限的性质函数极限的性质1）.唯一性；唯一性；2）. 局部有界性；局部有界性； 3. 局部局部保号性；保号性；4 ） 保不等式；保不等式；5） 迫敛性；迫敛性；7).复合函数的四则运算法则复合函数的四则运算法则 . 27青苗辅导