第六节第六节 独立性独立性&事件的相互独立性事件的相互独立性&几个重要定理几个重要定理&例题讲解例题讲解&小结小结一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性( (一一) ) 两个事件的独立性两个事件的独立性由由条件概率，知条件概率，知一般地，一般地，这这意味着：事件意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率发生的概率有影响有影响.然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：则有则有1.1.引例引例定义定义1:说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.事件独立性的性质事件独立性的性质( (结论结论) )12 2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥证证若若A与与B 独立独立, 则则 即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).反例：反例：两事件两事件相互独立相互独立.所以所以两事件两事件互斥互斥33必然事件必然事件S 及不可能事件及不可能事件与任何事与任何事件件A相互独立相互独立.证证 S A=A, P(S)=1 P(S A) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A)即即 S与与A独立独立.4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件 也相互独立也相互独立.注注: :称此为二事件的独立性关于逆运算封闭称此为二事件的独立性关于逆运算封闭. .4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件 也相互独立也相互独立.证证(1)又又 A与与B相互独立相互独立(3)4 4 若事件若事件A与与B 相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立.1. 1. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念( (二二) ) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义22. 2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义3 3注意：注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立3.3. n个事件的独立性个事件的独立性定义定义4 4若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有个式子个式子. 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件，个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 定义定义5 5注注. . 两个结论两个结论（用数学归纳法证明略。）（用数学归纳法证明略。）设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则也相互独立也相互独立即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用结论的应用n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:例例1：常言道：常言道：“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮三个臭皮匠，顶一个诸葛亮.”这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉你可曾想到，它可以从概率的计算得到证实你可曾想到，它可以从概率的计算得到证实.解解： 不妨用不妨用Ai表示表示“第第i个臭皮匠独立解决某问题个臭皮匠独立解决某问题”(il，2，3)，B表示表示“问题被解决问题被解决”，并没每个臭，并没每个臭皮匠单独解决某问题的概率分别为皮匠单独解决某问题的概率分别为 看！三个并不聪明的看！三个并不聪明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出百分居然能解出百分之九十以上的问题之九十以上的问题,聪明的诸葛亮也不过如此！聪明的诸葛亮也不过如此！事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性：一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性：一个系统的可靠性：由由元件组成的系统正常工作的概率元件组成的系统正常工作的概率.系统由元件组成系统由元件组成, ,常见的元件连接方式常见的元件连接方式：串联串联并联并联1221例例2：设两系统都是由设两系统都是由 4 个元件组成个元件组成,每个元件正每个元件正常工作的概率为常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互每个元件是否正常工作相互独立独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性统的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:注注 利用导数可证利用导数可证, 当当 时时, 恒恒有有例例3例例3“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;解解而这三种结局互不相容，而这三种结局互不相容，例例3解解“甲甲乙乙甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲甲甲”, “甲甲甲甲乙乙甲甲”如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；比赛比赛4局，局，而这三种结局互不相容而这三种结局互不相容; “甲甲乙乙甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲甲甲”, “甲甲甲甲乙乙甲甲”如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；比赛比赛4局，局，而这三种结局互不相容而这三种结局互不相容; 小结小结1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性性质；）两个事件的独立性及多个事件的独立性性质；3）在独立性条件下，求在独立性条件下，求n个事件至少发生一个个事件至少发生一个 的概率公式：的概率公式：注意：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；独立事件与互不相容事件的区别与关系； 两两独立与相互独立的区别。两两独立与相互独立的区别。一、主要内容：一、主要内容：1、随机事件的定义、关系及其运算、随机事件的定义、关系及其运算2、随机事件概率的定义、随机事件概率的定义(统计定义、古典概型定义统计定义、古典概型定义)3、随机事件概率的计算、随机事件概率的计算 注意利用注意利用：(1)、概率的加法公式、概率的加法公式 (2)、概率的性质、概率的性质(3)、条件概率公式、条件概率公式 (4)、乘法概率公式、乘法概率公式(5)、全概率公式、全概率公式 (6)、贝叶斯公式、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式 本章小结本章小结y二二. . 应记忆的公式应记忆的公式1.德莫根律德莫根律 2.加法公式加法公式3.当当A与与B互斥时互斥时4.条件概率公式条件概率公式5.乘法概率公式乘法概率公式6.全概率公式全概率公式7.贝叶斯公式贝叶斯公式 8.相互独立事件的概率计算公式相互独立事件的概率计算公式y三、重点与难点三、重点与难点y1.重点重点随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算古典概型的概率计算全概率公式的应用全概率公式的应用事件的独立性事件的独立性四、典型例题四、典型例题y例例1 1：(2000(2000年，数学一年，数学一) )设两个相互独立的事件设两个相互独立的事件A和和B不发生的概率为不发生的概率为1/9， A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不发生不发生的概率相等，则的概率相等，则P(A)=_.解解：由题意得：由题意得y解析：解析：故答案为故答案为C.y思路思路 引进事件引进事件 例例3 3y例例3 3解解由题意知由题意知y例例3 3y思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论故此题要用全概率公式来讨论.例例4 4y例例4 4解：解：y例例4 4y例例4 4又因为又因为同理可得同理可得y例例4 4y第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量随机变量 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第一节第一节 随机变量随机变量1问题的引入问题的引入2随机变量的定义随机变量的定义3小结小结一、问题的引入一、问题的引入随机事件和实数之间存在着某种客观的联系随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可有的问题看起来与数无关，只要稍加处理也可用数来描述用数来描述. .例例1 1：E：从一批产品中任取一件是否是合格品？从一批产品中任取一件是否是合格品？我们我们约定约定：若试验的结果是合格品，：若试验的结果是合格品， 令令X=1 若试验的结果是不合格品若试验的结果是不合格品, 令令X=0样本空间样本空间S=e=合格品合格品,不合格品不合格品引入变量引入变量X：X(e): 1 0对于每一个样本点对于每一个样本点e ， X都有一个值与之对应，都有一个值与之对应，则称则称X为为随机变量随机变量，其定义域为样本空间。，其定义域为样本空间。其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义在样本空间在样本空间S上的函数。上的函数。试验的结果的出现是随机的试验的结果的出现是随机的X(e)的取值也是随机的的取值也是随机的例例2 2：E：将一枚硬币抛掷三次，问：三次投掷中，将一枚硬币抛掷三次，问：三次投掷中， 出现出现H的总次数的总次数?.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH= =S=e样本空间：样本空间：X(e): 3 2 2 2 1 1 1 0即对于即对于S中每一个样本点中每一个样本点e , X都有一个值与之对应都有一个值与之对应.则称则称X为随机变量，其定义域为样本空间。为随机变量，其定义域为样本空间。其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义其值域依赖于样本空间，则随机变量是定义在样本空间在样本空间S上的函数。上的函数。试验的结果的出现是随机的试验的结果的出现是随机的X(e)的取值也是随机的的取值也是随机的二、随机变量的二、随机变量的定义定义1 1、定义、定义 设设S=e 是随机试验是随机试验E的样本空间，如果的样本空间，如果(1)对每个对每个e S，存在一个实数存在一个实数X( (e) )与之对应，即与之对应，即变量变量X是定义在样本空间是定义在样本空间S上的一个实单值函数；上的一个实单值函数；(2)对每个对每个x R，事件事件 e| |X( (e) ) x 有确定的概率，有确定的概率，则称则称X= =X(e)为为S上的上的随机变量随机变量。简记为简记为r.v. X (random variable) 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母或希腊字母, , ,.等表示等表示.而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般一般采用小写字母采用小写字母x,y,z等等.随机变量的特点随机变量的特点: :1、 X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的; 2 、X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件. 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此因此随机变量的取值也有一定的概率规律随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义普通函数是定义在实数轴上在实数轴上的的,而而随机变量是定义在随机变量是定义在样本空间样本空间上的集合函数上的集合函数 (样本样本空间的元素不一定是实数空间的元素不一定是实数).2.2.说明说明(1)(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同