第五章第五章 二次型二次型5.1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示5.2 标准形标准形5.3 唯一性唯一性5.4 正定二次型正定二次型章小结与习题章小结与习题高等代数北大版(27)一、复数域上的二次型的规范形一、复数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形三、三、小结小结5.3 唯一性唯一性5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)问题的产生：问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关线性替换有关.如：二次型如：二次型作非退化线性替换作非退化线性替换得标准形得标准形得标准形得标准形5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 2 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关作的非退化线性替换无关. .而秩而秩(D) 等于等于D 的主对角线上不为零的元素的个数的主对角线上不为零的元素的个数.若若作非退化线性替换作非退化线性替换化为标准形化为标准形 ，则有，则有5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)3. 问题：问题：如何在一般数域如何在一般数域P上，进一步上，进一步“规范规范” ” 平方项非零平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 定义定义二次型二次型 的的秩秩等于矩阵等于矩阵A的秩，的秩，即秩即秩 f 秩秩（A）.5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)1 1、复数域上的二次型的规范、复数域上的二次型的规范形形1.1. 复二次型的规范形的定义复二次型的规范形的定义标准形准形再作非退化线性替换再作非退化线性替换设复二次型复二次型 经过经过非退化非退化线性替性替换可逆可逆, 得得这里里5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 则则 称之为复二次型称之为复二次型 的的规范形规范形. 5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 注意注意注意注意： 复二次型的规范形中平方项的系数只有复二次型的规范形中平方项的系数只有1和和0两种两种. 复二次型的规范形是唯一的，由秩复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定确定.2.（定理（定理3）任一复二次型经过适当的非退化任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一为规范形，且规范形唯一.推论推论推论推论1 1.任一复对称矩阵任一复对称矩阵A合同于对角矩阵合同于对角矩阵推论推论推论推论2 2.两个复对称矩阵两个复对称矩阵A、B合同合同5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)二、实数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换再作非退化线性替换1.1. 实二次型的规范形的定义实二次型的规范形的定义设实二次型二次型经过可逆，得可逆，得标准形准形 非退化线性替换非退化线性替换其中，其中，r = 秩秩 f 5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 则称之为实二次型称之为实二次型 的的规范形规范形.5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 实二次型的规范形中平方项的系数只有实二次型的规范形中平方项的系数只有1，1，0. 实二次型的二次型的规范形中平方范形中平方项的系数中的系数中 1 的个数与的个数与1的个数之和的个数之和 = 秩秩= 秩秩(A)是唯一确定的是唯一确定的. 规范形是唯一的规范形是唯一的.注意注意注意注意5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 定理定理4 任一实二次型可经过适当的非退化任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：证明：只证唯一性只证唯一性.2 2、惯性定理、惯性定理设实二次型设实二次型 经过非退化线性替换经过非退化线性替换 化成规范形化成规范形 （1） 5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)只需证只需证（2）用反证法，设用反证法，设由由(1)、(2)，有，有经过非退化线性替换经过非退化线性替换化成规范形化成规范形（3）5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)（4）则则G可逆，且有可逆，且有考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组（5）5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)方程方程组（5）中未知量的个数）中未知量的个数为n，方程的个数，方程的个数为所以（所以（5）有非零解）有非零解.令令为（5）的非零解）的非零解， 则有有而而不全不全为0. 将将代入（代入（3）的左端，）的左端，得其值为得其值为5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)同理可同理可证，故，故. 矛盾矛盾. 所以，所以，得得将其代入（将其代入（3）的右端，得其）的右端，得其值为由由及及5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)定义定义实二次型实二次型 的规范形的规范形中正平方项的个数中正平方项的个数 p 称为称为 的的正惯性指数正惯性指数；称为称为的的负惯性指数负惯性指数；负平方项的个数负平方项的个数称为称为的的符号差符号差.它们的差它们的差5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)推论推论推论推论1 1 1 1、任一实对称矩阵、任一实对称矩阵A合同于一个形式为合同于一个形式为其中其中的个数的个数，+1的个数的个数的正的正惯性指数；性指数；1的个数的个数的的负惯性性指数指数.的对角矩阵的对角矩阵 .5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)推论推论推论推论2 2、实二次型、实二次型具有相同的规范形具有相同的规范形，且的正惯性指数的正惯性指数=的正惯性指数的正惯性指数.推论推论推论推论3 3、实对称矩阵、实对称矩阵A、B合同合同 的正惯性的正惯性且二次型且二次型指数相等指数相等.5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27) 例例例例1 1、设设，证明：存在明：存在使使又又 D=D, 且且使使 即即则令令证：设则存在可逆矩存在可逆矩阵5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)例例2、如果两实如果两实 元二次型的矩阵是合同的，则认为元二次型的矩阵是合同的，则认为上的一切上的一切 元二次元二次类类.它们是属于同一类的，那么实数域它们是属于同一类的，那么实数域型可分为型可分为则则 r 的可能取的可能取值是是0，1，2，n，指数指数 p 的可能取的可能取值是是0，1，r，共，共种种.的正惯性的正惯性即有即有证：任取任取实n元二次型元二次型设而而对任意任意给定的定的5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)1种种2种种n1种种故共有故共有类类.5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)三、小结三、小结基本概念基本概念这里，这里，r 秩秩( f ).2、 n元实二次型元实二次型 的规范形的规范形这里，这里， 秩秩( f )，p 称为称为 f 的正惯性指数；的正惯性指数；称为称为 f 的负惯性指数；称为的负惯性指数；称为 符号差符号差.1、n元复二次型的规范形元复二次型的规范形5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)基本结论基本结论定理定理3 任意一个复系数二次型，经过一适当的任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵推论推论 两个复对称矩阵两个复对称矩阵A、B合同合同5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)定理定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵其中其中 的个数等于矩阵的个数等于矩阵的秩的秩. .5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)推论推论 两个实对称矩阵两个实对称矩阵A A、B B合同的充要条件是合同的充要条件是正惯性指数相等正惯性指数相等.且二次型且二次型 与与 的的5.3 5.3 唯一性唯一性唯一性唯一性高等代数北大版(27)