2.线段垂直平分线线段垂直平分线做一做做一做 作已知线段作已知线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN，垂足为点垂足为点C.在在MN上任取一点上任取一点P，连结连结PA、PB，量出，量出PA、PB的长的长.你有什么发现你有什么发现？线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.你能证明它吗？你能证明它吗？能用文字语言表述吗？能用文字语言表述吗？CABM PNMNCABQ 如图，如图，MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=CB，点点P是直线是直线MN上的任意一点上的任意一点.已知：已知：PA=PB求证：求证：ABCNMP证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。离相等。证明证明: MN AB（已知）已知） PCA= PCB(垂直的定义垂直的定义) 在在 PCA和和 PCB中中,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已证已证) )PC=PC(PC=PC(公共边公共边) ) PCA PCB(SAS)PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ACMNP当点当点P与点与点C重合时重合时,上述证上述证明有什么缺陷明有什么缺陷? PCAPCA与与 PCBPCB将不存在将不存在. .PA与与PB还相等吗还相等吗?相等相等! !此时此时,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PBB线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点到线段到线段两端两端的的距离相等距离相等.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理:几何语言表达：几何语言表达：MN AB于于C，且，且AC=BC,点点P在在MN上上PA=PBABMPC探索：该定理的逆命题探索：该定理的逆命题是否是一个真命题？是否是一个真命题？ 条件条件结论结论性质定理性质定理逆命题逆命题一个点在一条一个点在一条线段的垂直平线段的垂直平分线上分线上这个点到这条这个点到这条线段的两端的线段的两端的距离相等距离相等一个点到一条一个点到一条线段的两端的线段的两端的距离相等距离相等这个点在这条这个点在这条线段的垂直平线段的垂直平分线上分线上线段垂直平分线的性质定理的线段垂直平分线的性质定理的逆命题：逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。上。线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点到线段到线段两端两端的的距离相等距离相等.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理:已知已知:如图如图,PA=PB求证求证:点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上. 过点过点P作作PC AB，垂足为点，垂足为点C. 在在Rt PCA和和Rt PCB中中 PA=PB， PC=PC Rt PCA Rt PCB(H.L.) PC PC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. . 即即点点P在线段在线段AB的垂直的垂直 平分线上平分线上.证明：证明： 到线段两端距离相等的点在线段到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的垂直平分线上。CBPA证明证明：故故PCA=PCB=90.到线段两端距离相等的点在线段的垂直到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上平分线上.线段垂直平分线的性质定理的线段垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理:几何语言表达：几何语言表达：PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上BPCAABC MN C ABMN线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是和线段两端距离相等的所有点的和线段两端距离相等的所有点的集合集合. 已知已知:如图如图 ABC中中,边边AB、BC的垂的垂直平分线相交于点直平分线相交于点P. 求证求证:点点P在边在边AC的垂直平分线上的垂直平分线上.证明证明: 点点P在线段在线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上(已知已知) PA=PB(线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等条线段两个端点距离相等)同理同理 PB=PC PA=PB=PC.ACBMNPM/N/ 证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。点点P在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上即三角形三边的垂直平分线交于一点即三角形三边的垂直平分线交于一点问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. ABCP 点点P为校址为校址1.如图如图,已知点已知点A、B和直线和直线l,在直线在直线 l 上上求作一点求作一点P,使使PA=PB. l BAP点点P为所求作的点为所求作的点练习练习2.如图，如图，BD AC，垂足为点，垂足为点E，AE=CE.求证：求证：AB+CD=AD+BC.DACBE证明：证明： BD AC，垂足为点，垂足为点E，AE=CEAB=CB，AD=CD.（线段垂直平分线的性质定理）（线段垂直平分线的性质定理） AB+CD=AD+BC3.如图，在如图，在ABC中，已知点中，已知点D在在BC上，上，且且BD+AD=BC.求证：点求证：点D在在AC的垂直的垂直平分线上。平分线上。ABDC 证明：证明： BD+AD=BC=BD+DC AD=DC 点点D在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定定理）（线段垂直平分线的判定定理）习题习题13.52.如图，如图，AB=AC, A=50，DE垂直平垂直平分分AB.求求DBC的大小。的大小。ABCDE解：解： AB=AC ABC= C（等边对等角）（等边对等角） 又又 A=50 ABC= C=65 （三角形的内（三角形的内角和等于角和等于180 ） 再再 DE垂直平分垂直平分AB DA=DB（线段垂直平分线上的点（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）到线段两端的距离相等） ABD= A=50 DBC= ABC ABD=15 3.已知已知: ABC中中, C=90 , A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求证求证:D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD证明证明:30o C=90o, A=30o(已知已知) ABC=60o(三角形内角和定理三角形内角和定理) A= ABD (等量代换等量代换) D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.(和一和一条线段两个端点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.)BD平分平分 A BC(已知已知) ABD=30o(角平分线的定义角平分线的定义)30o AD=BD(等角对等边等角对等边)填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.ABCED1题图题图等腰等腰填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD为为BC边上的高边上的高,E为为AD上一点上一点,则则BE EC.(填填、或或=号号)ABCEDABCED1题图题图2题图题图等腰等腰=3.已知已知:如图如图,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 1= , 2= .ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：填空：4.已知已知:如图如图,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm, ABD的周长为的周长为13cm,则则 ABC 的周长的周长为为 cmABDCE3cm3cm1913cm5.如图如图,CD、EF分别是分别是AB、BC的垂直平的垂直平分线分线.请你指出图中相等的线段有哪些请你指出图中相等的线段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即即:BF=CF=DFACEBFD 1.已知已知:如图如图,线段线段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求证求证:ADBC.ABCDO123证明证明: 线段线段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知) CA=CB(线段垂直平分线的线段垂直平分线的性质定理性质定理) 1= 3(等边对等角等边对等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知) 1= 2(角平分线的定义角平分线的定义) 2= 3(等量代换等量代换) AD BC(内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行)ABCDEF1234 1+ 2= 4(等边对等角等边对等角)又又 4= B+ 3(三角形的一个外角三角形的一个外角等于与它等于与它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) 1+ 2= B+ 3 AD平分平分 BAC(已知已知) 2= 3(角平分线的定义角平分线的定义) 1= B 即即 CAF= B.证明证明: EF垂直平分垂直平分AD(已知已知) AF=DF(线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理) 2.已知已知:如图如图,AD平分平分 BAC,EF垂垂直平分直平分AD交交BC的延长线于的延长线于F,连结连结AF.求证求证: CAF= B.v线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段 两端的距离相等两端的距离相等.到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.k线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合.