2.32.3等差数列前等差数列前n n项和项和(1)(1)1优学课堂我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法建始创等差数列求和解法.他在他在张丘建算经张丘建算经中给中给出等差数列求和问题出等差数列求和问题.高高 斯斯(1777(1777年年-1855-1855年年) )德国著名数学家德国著名数学家观察归纳1+2+3+50+51+98+99+1001+2+3+50+51+98+99+100 1+100=1011+100=101 2+ 99=1012+ 99=101 3+ 98=1013+ 98=101 50+ 51=10150+ 51=101 (100+1) 100/2 =50502优学课堂探究发现探究发现问题问题：12310010099981获得算法：获得算法：图案中，第图案中，第1层到第层到第100层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？3优学课堂问题问题1 1：1+2+3+1+2+3+n+n= =? ? ( (倒倒 序序 相相 加加 法）法） 解：解：4优学课堂= a= a3 3+a+an-2n-2= = a a2 2+a+an-1n-1 设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,即：即： a a1 1+a+an n= = 似乎与似乎与似乎与似乎与n n n n的奇偶有关的奇偶有关的奇偶有关的奇偶有关问题是一共有多少个问题是一共有多少个问题是一共有多少个问题是一共有多少个 a a1 1+a+an n 1.公式推导a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+ a+ an-2n-2+ a+ an-1n-1+a+an n= =5优学课堂设等差数列设等差数列 an 前前n项和为项和为Sn , ,则则 6优学课堂设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,即：即： S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an nS Sn n= = a a1 1 + a+ a2 2 + a+ a3 3 + + + a + an-2 n-2 + a+ an-1 n-1 + + a an nS Sn n= = a an n + a+ an-1n-1+ a+ an-2 n-2 + + + a + a3 3 + a+ a2 2 + + a a1 1两式相加得两式相加得: : 2S2Sn n = (a = (a1 1+a+an n ) )n n算算法法：倒倒序序相相加加求求和和7优学课堂等差数列的前等差数列的前n项和公式的另一种推导项和公式的另一种推导8优学课堂例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2，2， 前多少项的和为前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是解：设题中的等差数列是解：设题中的等差数列是解：设题中的等差数列是a an n，前，前，前，前n n项和为项和为项和为项和为S Sn n则则则则a a1 11010，d d6 6（1010）44解得解得解得解得 n n1 19 9，n n2 23 3（舍去）（舍去）（舍去）（舍去）因此因此因此因此, ,等差数列的前等差数列的前等差数列的前等差数列的前9 9项和是项和是项和是项和是 5454 方程思想方程思想知三求二知三求二令令令令 5454，由等差数列前由等差数列前由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得：项和公式，得：项和公式，得：项和公式，得：(1)解解:由已知得：由已知得：整体思想认识公式整体思想认识公式整体思想认识公式整体思想认识公式9优学课堂例例题题解解析析例例2：等差数列：等差数列an中中,d=4,an=18,Sn=48,求求a1的值的值。解：解：由由an=a1+(n-1)d得：得：18=a1+(n-1)4解得：解得：n=4n=6a1=6a1=-2或或10优学课堂11优学课堂例例2、已知一个等差数列、已知一个等差数列an的前的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由这些条件能确定这等差数列的前，由这些条件能确定这等差数列的前n项和的项和的公式吗？公式吗？分析：方分析：方程思想和程思想和前前n项和项和公式相结公式相结合合分析：将已知条件代入等差数列前分析：将已知条件代入等差数列前n项和项和的公式后，可以得到两个关于首项和公差的公式后，可以得到两个关于首项和公差的关系式，他们是关于首项和公差的二元的关系式，他们是关于首项和公差的二元一次方程，由此可以求得首项和公差，从一次方程，由此可以求得首项和公差，从而得到所求的前而得到所求的前n项和的告诉项和的告诉.解：由题意知：解：由题意知：S10310，S201220，将它们代入公式，将它们代入公式得到得到12优学课堂当当n1时：时：当当n=1时：时：也满足也满足式式.13优学课堂【解析解析】由题意知，等差数列的公差为由题意知，等差数列的公差为 于是，当于是，当n n取与取与 最接近的整数即最接近的整数即7 7或或8 8时，时， 取最大值取最大值答案答案:27练习练习1、练习练习2、等差数列、等差数列10，6，2，2，的前的前_项的和为项的和为54？ 答案答案:n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）仍是仍是知三知三求一求一14优学课堂1.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式的推导公式的推导2.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式的记忆与应用；公式的记忆与应用；说明：求和公式的使用说明：求和公式的使用说明：求和公式的使用说明：求和公式的使用-知三求一知三求一知三求一知三求一. .15优学课堂