前情提要v四则运算v共轭, 模v三角形式, 指数形式v乘积(商, 乘幂)的模和辐角, 方根v邻域v区域v简单(闭)曲线v单连通域, 多连通域v复变函数 (一元? 二元?)第一章.掌握v概念v基本运算v复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换. z与(x,y): f(z) - F(x,y)vxoy平面映射到uov平面. (x,y)z -w=f(z)- wuov作业讲解vp.32. 12(3)1解析函数的概念解析函数的概念l一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1、导数的定义、导数的定义2、例题：、例题： 例例1；例例2 3、连续、导数、微分、连续、导数、微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念 1、定义、定义 2、例题：、例题： 例例3；例例43、定理、定理返回存在，存在，则称称在在z0处可可导。记为在在D上有定上有定义，。若。若设设返回1、导数的定义、导数的定义：注注: f为复值函数为复值函数, F为实值函数为实值函数解：解：返回例例1 设设例例2 证明证明 在任意点处不可导。在任意点处不可导。 所以所以导数不存在。数不存在。Proof: 返回3. 连续、可导、可微连续、可导、可微在点在点0的微分的微分与一元函数一样与一元函数一样，因此，因此可导与可微是等价的可导与可微是等价的。可可导必定必定连续，连续不一定可不一定可导。可可导与与连续（1）可微与可导可微与可导（2）（3）求求导法法则与一元函数一与一元函数一样。返回定义定义1、定、定义1：若：若在在的的邻域内域内处处可可导，则称称及及处解析解析。在在解析函数解析函数（全（全纯函数、正函数、正则函数）。函数）。2、定、定义2：若：若在在D内内处处解析，解析，则称称是是D内的内的在在处处解析解析可导可导可导可导解析解析在在解析解析可导可导内内3、定、定义3：若：若在在处不解析，不解析，则称称为的的奇点奇点。无意无意义的点，是奇点。的点，是奇点。注：使注：使返回例例3讨论下列函数的解析性，可导性。讨论下列函数的解析性，可导性。 定理定理*： 解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。2、在复平面上处处可导，处处解析。在复平面上处处可导，处处解析。 解：解：1、解：解：在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导,处处不解析处处不解析3、解：解：外处处可导，处处解析。外处处可导，处处解析。，除，除4、解：解：外处处可导，处处解析。外处处可导，处处解析。，除，除返回所以除所以除外外处处不可不可导，故，故处处不解析。不解析。解解（1）所以在所以在处可可导；（2）设）设例例4 证明证明 在在 处可导，但不解处可导，但不解析。析。返回2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件l一、预备定理一、预备定理1、定理、定理12、例题：、例题：例例1 l二、解析函数的充要条件二、解析函数的充要条件1、定理、定理12、定理、定理23、例题：、例题：例例2，例例3，例例4返回1、定理、定理1 (必要条件必要条件)设设在区域在区域D内有定内有定义，or ，且且满足柯西足柯西-黎曼（黎曼（Cauchy-Riemann）条件：）条件：，。且在点且在点z处可导，则处可导，则返回下一页Proof:在在处可可导，则: 下一页上一页注注: 可导可导, 则沿任意方向的导数相同则沿任意方向的导数相同：沿沿y轴方向方向沿沿x轴方向轴方向所以：所以：且：且：返回上一页2、定理、定理1的逆不一定成立，即的逆不一定成立，即f(z)在在z处满足处满足C-R条件但不一条件但不一定可导。定可导。例例1 验证验证 在在 处满足处满足C-R条件，但不可导。条件，但不可导。Proof:令令所以所以同理同理即即满足足C-R条件；条件；所以不存在。所以不存在。,000lim)0,0()0,(lim00)0,0(=D-=D-D=DDxxuxuxuxx返回1、定理、定理2 在区域在区域内有定内有定义，则在在内一点内一点处可可导的充要条件是的充要条件是在在处可微，且可微，且满足足C-R条件。条件。设：设：返回在在内内解析的充要条件是解析的充要条件是在在内内可微，可微，且且满足足C-R条件。条件。注注: D内解析等同于内解析等同于D内可导内可导注注: 复变函数在某点复变函数在某点(区域内区域内)的可微性的可微性 等同于等同于 对应对应的两个二元实函数在的两个二元实函数在的可微性的可微性 外加外加CR例例2 用用C-R条件判断函数条件判断函数 的解析性。的解析性。由由C-R条件，条件，解：解：所以处处不解析。所以处处不解析。返回注注: 上节已有上节已有用定义判用定义判断的相同断的相同例子例子.例例3判断下列函数的可导性，解析性，并求判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。导数。解：解：（1）由：由：处可可导，故，故处处不解析。不解析。所以所以只在只在下一页（2）解：方法一、解：方法一、除（除（0,0）外）外处处可可导，所以除（，所以除（0,0）外）外处处解析。解析。上一页下一页方法二方法二除（除（0,0）外）外处处可可导，所以除（，所以除（0,0）外）外处解析。解析。 解：解：由由C-R条件有条件有返回上一页例例4若若在在D内处处为内处处为0，则在，则在D内为一个常数。内为一个常数。所以所以u,v关于关于x为为常数常数所以所以u,v关于关于y为为常数常数Proof:在在D内内为一个常数。一个常数。故故作 业作业作业nP66 2(1,3)3(1,3)4(1)810(1) 返回