4.2 常系数线性微分方程的解法一、一、复值函数与复值解复值函数与复值解二二、常系数、常系数齐线性微分方程的解法性微分方程的解法 三三、常系数非、常系数非齐线性微分方程的解法性微分方程的解法 一、常系数一、常系数齐线性微分方程的性微分方程的解法解法I: 特征根是特征根是单根的情形根的情形 II: 特征根有重根的情形特征根有重根的情形 I: 特征根是特征根是单根的情形根的情形II: 特征根有重根的情形特征根有重根的情形 解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为量代换可化为常系数微分方程常系数微分方程.一、欧拉方程一、欧拉方程的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以写为上述结果可以写为将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.一般地，一般地，特征方程的根为特征方程的根为所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为原方程的特征方程为原方程的特征方程为例例求欧拉方程求欧拉方程解解作变量变换作变量变换的通解的通解欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线性变系数的线性微分方程微分方程常系数的线性微常系数的线性微分方程分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式练练 习习 题题练习题答案练习题答案