建筑力学建筑力学第六章第六章 选用教材：建筑力学（第二版）选用教材：建筑力学（第二版）出出 版版 社：武汉理工大学出版社社：武汉理工大学出版社主讲教师：高主讲教师：高 斌斌办公室：南区办公室：南区2号楼号楼353电电 话：话： 62506031 E - mail: kaopinzzti.edu.cn第六章第六章 内力及内力图内力及内力图6.1 6.1 轴轴心抗压杆件的内力及内力图心抗压杆件的内力及内力图6.2 6.2 扭转轴扭转轴的内力及内力图的内力及内力图6.3 6.3 平面弯曲梁平面弯曲梁的内力及内力图的内力及内力图6.4 6.4 多跨静定梁、斜梁多跨静定梁、斜梁的内力及内力图的内力及内力图6.5 6.5 静定平面刚架静定平面刚架的内力及内力图的内力及内力图6.6 6.6 静定平面桁架静定平面桁架的内力及内力图的内力及内力图内力与截面法内力与截面法内力与截面法内力与截面法q内内力力是是指指在在外外力力作作用用下下构构件件内内部部各各部部分分之之间间的的相相互互作作用用力力。弹弹性性体体受受力力后后，由由于于变变形形，其其内内部部各各点点均均会会发发生生相相对对位位移移，因而产生相互作用力。因而产生相互作用力。-“附加内力附加内力”。q内内力力的的特特征征：（1）连连续续分分布布力力系系；（2）与与外外力力组组成成平平衡衡力力系系(特殊情形下内力本身形成自相平衡力系特殊情形下内力本身形成自相平衡力系) 。q为为了了显显示示出出构构件件在在外外力力作作用用下下某某截截面面上上的的内内力力，可可假假想想地地用用一一截截面面将将构构件件在在该该处处切切开开，分分成成左左右右两两部部分分，一一部部分分对对另另一一部分的作用力以截开面上的内力来代替部分的作用力以截开面上的内力来代替。q由由于于构构件件处处于于平平衡衡状状态态，因因而而构构件件上上的的已已知知外外力力和和内内力力之之合也应保持平衡。合也应保持平衡。q通过平衡方程（通过平衡方程（FF0; M0; M0)0)可以求出未知内力。可以求出未知内力。轴力轴力FN、剪力剪力FQ、扭矩扭矩Mx、弯矩弯矩MB都会产生对应的变形效应都会产生对应的变形效应 载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正FN=P6.1 6.1 6.1 6.1 轴轴轴轴心抗压杆件的内力及内力图心抗压杆件的内力及内力图心抗压杆件的内力及内力图心抗压杆件的内力及内力图由由 Fx = 0：得到得到1- 截开取半截开取半2- 附加内力附加内力3- 平衡求解平衡求解轴力轴力 作用线与杆的轴线重合的内力作用线与杆的轴线重合的内力轴力的符号规定：轴力的符号规定：背离截面为背离截面为 + + ，指向截面为，指向截面为 - - 。轴力图轴力图轴力沿轴线变化的图线轴力沿轴线变化的图线例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。解解：1- -1截面：截面：求得：求得：1. .求轴力求轴力由由 Fx= 0：例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。2- -2截面：截面：求得：求得：由由 Fx = 0：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。求得：求得：由由 Fx = 0：3- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。3- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力讨论：讨论： 1在求内力时，能否将外力进行平移在求内力时，能否将外力进行平移 ？注意：注意：注意：注意： 1在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；在用截面法求内力时不能随意进行力的平移； 2用截面法一次只能求出一个截面上的内力。用截面法一次只能求出一个截面上的内力。 2能否一次求出两个截面上的内力能否一次求出两个截面上的内力 ？例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。 轴力图不仅能显示出各段的轴力大小轴力图不仅能显示出各段的轴力大小2. .作轴力图作轴力图 而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩3- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力例例例例 1 1 画出图画出图画出图画出图示直杆的示直杆的示直杆的示直杆的轴力图。轴力图。轴力图。轴力图。 轴力图不仅能显示出各段的轴力大小轴力图不仅能显示出各段的轴力大小2. .作轴力图作轴力图 而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩3- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力基本变形-剪切载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力剪力FQ剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动6.2 6.2 6.2 6.2 扭转轴扭转轴扭转轴扭转轴的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图外扭矩外扭矩外扭矩外扭矩（MMe e）使得杆产生扭转变形的使得杆产生扭转变形的使得杆产生扭转变形的使得杆产生扭转变形的外力偶矩外力偶矩外力偶矩外力偶矩扭转角扭转角扭转角扭转角（ ）任意两个横截面的相对转角任意两个横截面的相对转角任意两个横截面的相对转角任意两个横截面的相对转角一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算q设电机输入功率为 N (kW)，轴的转速为n (r/min)，则 N=m，将=2n/60带入整理可得外力偶矩计算公式：mm或功率，kW;功率，马力PS;n转速,r/min； m或Te 外力偶矩，kNmTeTe二、二、二、二、扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩矢量扭矩矢量背离背离截面为截面为 + + ，指向指向截面为截面为 - -符号规定：符号规定：采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则绕轴线旋转绕轴线旋转的内力偶矩的内力偶矩由截面法由截面法扭矩扭矩（T）扭矩图扭矩图扭矩图扭矩图扭矩沿轴线的变化图线扭矩沿轴线的变化图线扭矩沿轴线的变化图线扭矩沿轴线的变化图线 2. .正正值画在值画在上上方，方，负负值画在值画在下下方。方。扭矩图的做法：扭矩图的做法： 1. . 横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；例例例例 1 1 某某某某传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示，已知：已知：已知：已知：MMe eA A=350Nm=350Nm， MeB=1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。1. .求求扭矩扭矩解解： 对对AB段：段： 对对BC段：段：例例例例 1 1 某某某某传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示传动轴受力如图所示，已知：已知：已知：已知：MMe eA A=350Nm=350Nm， MeB=1000Nm， MeC=650Nm。作此轴的扭矩图。作此轴的扭矩图。1. .求求扭矩扭矩解解： 对对AB段：段： 对对BC段：段：2. .作作扭矩图扭矩图3 3. . . .讨论讨论讨论讨论 将轮将轮B与轮与轮C的位置对调的位置对调结论：结论： 为了减小传动轴内的扭矩，为了减小传动轴内的扭矩，应合理的安排主动轮与从动轮的应合理的安排主动轮与从动轮的位置。位置。求扭矩的法则：求扭矩的法则：求扭矩的法则：求扭矩的法则： 任意横截面上的扭矩任意横截面上的扭矩= =截面截面一侧所有外扭矩的代数和一侧所有外扭矩的代数和实用法则：实用法则： 取左取左( (右右) )段时，向左段时，向左( (右右) )的外扭矩矢量，在截面上产生正的外扭矩矢量，在截面上产生正扭矩，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩为正，代数和扭矩，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩为正，代数和为负，则扭矩为负。为负，则扭矩为负。1. 1. 1. 1. 平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念弯曲变形弯曲变形外力垂直于杆的轴线，使得杆的轴线由外力垂直于杆的轴线，使得杆的轴线由 直线直线变成曲线的变形形式，简称弯曲。变成曲线的变形形式，简称弯曲。梁梁以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件6.3 6.3 平面弯曲梁平面弯曲梁的内力及内力图的内力及内力图平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的对称平面内，作用在梁的对称平面内，使梁的轴使梁的轴线弯曲线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形后仍在此对称平面内的弯曲变形固固 定定 端端滑动铰支座滑动铰支座固定铰支座固定铰支座任何方向移动任何方向移动阻止阻止 竖向移动竖向移动任何移动和转动任何移动和转动2. 2. 2. 2. 梁的简化梁的简化梁的简化梁的简化载荷载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶梁梁 ：用轴线表示：用轴线表示支座支座：3.3.3.3.梁的分类梁的分类梁的分类梁的分类按按支座情况支座情况分为：分为：按按支座数目支座数目分为：分为：简支梁简支梁静定梁静定梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁超静定梁超静定梁按按跨数跨数分为：分为：（跨（跨梁在两支座间的部分）梁在两支座间的部分）单跨梁单跨梁多跨梁多跨梁用截面法求平面弯曲梁的内力剪力剪力( (FQ ) ) 与横截面的法向垂直的内力与横截面的法向垂直的内力 任一横截面上的任一横截面上的剪力剪力等于等于该横截该横截面任一侧所有外力的代数和。面任一侧所有外力的代数和。4.4.剪力与弯矩剪力与弯矩 弯矩弯矩( (M ) )横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩有有弯断弯断梁的趋势梁的趋势 任一横截面上的任一横截面上的弯矩弯矩等于等于该横截面任一该横截面任一侧所有外力对横截面形心力矩的代数和。侧所有外力对横截面形心力矩的代数和。弯曲内力符号规定弯曲内力符号规定弯曲内力符号规定弯曲内力符号规定绕研究体顺时针转为绕研究体顺时针转为正正由下转向上为由下转向上为正正剪力剪力：弯矩弯矩：梁内力的正负规定q梁的内力v剪力FQv弯矩MCq梁内力的正负规定内力方向梁的变形例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。解：解：1. .求支反力求支反力解：解：2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。解：解：2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：A右邻截面：右邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。解：解：2. .求内力求内力D左邻截面：左邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。解：解：2. .求内力求内力D左邻截面：左邻截面：D右邻截面：右邻截面：例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻截面上的FQ和和M。作 业P106 61b,c, 4, 5, 7a,c, 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式5.5.用写方程法作梁的用写方程法作梁的内力图内力图剪力图剪力图弯矩图弯矩图 b. .正正值画在上方，值画在上方，负负值画在下方。值画在下方。做法：做法： a. .横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；剪力随横截面的变化曲线剪力随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线2. .列内力方程列内力方程例例 2 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。解：解：3. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力注意：建筑力学要求M图一律画在受拉一侧，与轴线变形后形状一致。M例例 3 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。内力图特点：内力图特点：解：解：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力FQ图突变，突变值等于集中力大小，图突变，突变值等于集中力大小， M图图转折。转折。集中力作用截面，集中力作用截面，例例4 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。内力图特点：内力图特点：集中力偶作用集中力偶作用截面，截面，M 图突变，突变值等图突变，突变值等于集中力偶大小，于集中力偶大小，FQ图图不变。不变。解：解：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图1. .求支反力求支反力6. 6. 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图可见：可见：剪力方程和弯矩方程都是载荷剪力方程和弯矩方程都是载荷F、q和Me的线性函数的线性函数叠加原理：叠加原理：由由几个几个外力外力同时同时作用时所引起的构件内的某一参数（内力、应力或位移等）作用时所引起的构件内的某一参数（内力、应力或位移等）由由各个各个外力外力单独单独作用时所引起的构件内的该一参数的作用时所引起的构件内的该一参数的矢量和矢量和或或代数和代数和适用条件：适用条件：小变形情况小变形情况例例 5 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出F单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图，得到叠加上述两图，得到F和和Me同时作用时的弯矩图同时作用时的弯矩图例例 6 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出q单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图叠加上述两图7. 7.剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系规定：规定： q为为 + +取微段取微段dx为研究对象为研究对象由由 Fy = 0：得到得到由由 MC = 0：忽略二阶微量，得到忽略二阶微量，得到FQ、M和和q之之间的微分关系间的微分关系即：即：弯矩弯矩二二分布载荷集度分布载荷集度弯矩弯矩一一力力剪剪 由此得到由此得到 x截面上的截面上的剪力剪力对对x的的一一阶导数阶导数 x截面上的截面上的分布载荷集度分布载荷集度FQ、M和和q之之间的微分关系间的微分关系 弯矩图弯矩图凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度弯矩图弯矩图切线斜率切线斜率力力剪剪 剪力图剪力图上上 x 截面处的截面处的切线斜率切线斜率 该截面处的该截面处的分布载荷集度分布载荷集度即：即：由此得到由此得到FQ、M和和q之之间的微分关系间的微分关系微分关系对应表微分关系对应表二、突变条件二、突变条件突变条件对应表突变条件对应表例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FQ和和M图。图。解：解：1. .求支反力求支反力2. .作作FQ图图3. .作作M图图解：解：4. .求求AD段的极值弯矩段的极值弯矩( (1) )求极值弯矩的位置求极值弯矩的位置解析法解析法：令令得到得到几何法几何法：由剪力图：由剪力图：得到得到例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FQ和和M图。图。解：解：( (2) )求极值弯矩的数值求极值弯矩的数值例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FQ和和M图。图。4. .求求AD段的极值弯矩段的极值弯矩解：解：5. .求梁的求梁的 和和例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FQ和和M图。图。9-2 试作图示各梁的试作图示各梁的FQ和和M图。图。2 kN/mABC2 kN6m2mM=PaCBPAa2aM=Pa4平面结构：外力作用线及杆件轴线都在同一平面内的结构。外力作用线及杆件轴线都在同一平面内的结构。受力特点：一般只受轴力一般只受轴力N、剪力、剪力Q、弯矩、弯矩M，没有扭矩，没有扭矩T。6.4 6.4 6.4 6.4 多跨静定梁、斜梁多跨静定梁、斜梁多跨静定梁、斜梁多跨静定梁、斜梁的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图6.4.1 多跨静定梁关键词：基梁 附梁 传力关系 层次图 对多跨静定梁结构，必须先从附属部分着手求解。例6.14 试作图示多跨静定梁的内力图。 解（1）分清层次ABAB为基梁，为基梁，DFDF是最高层是最高层次次附梁。因此先研究附梁。因此先研究DFDF, ,然后是然后是BDBD，最后是，最后是ABAB。（2）求支座反力 首先首先研究研究DFDF梁梁，画受力图。，画受力图。其次研究其次研究BDBD梁梁，画受力图，画受力图最后研究最后研究ABAB梁梁，画受力图，画受力图例6.14 试作图示多跨静定梁的内力图。808080404080（3）求各控制面内力 位置Q值M值A+80-80B-, B+-400C-, C+-40, 4080D-, D+40, 200G-, G+20, -40-40E-, E+-40, 4040F-00（4）按值绘Q图、M图 （5）求M图AB梁极值：x= 2.67 m时，m= 26.67 kNm。6.4.2 斜梁注意：沿斜梁分布荷载q 与沿水平方位分布荷载q的区别，q=q/cos。先求出支座反力再截面法求内力可见该梁的N图、Q图为直线，M图为曲线。 刚结点主要特点：刚架内力以弯矩为主，剪力与轴力影响较小。 内力分析与固定端约束类似。由刚结点相联的结构称为刚架。6.5 6.5 6.5 6.5 静定平面刚架静定平面刚架静定平面刚架静定平面刚架的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图的内力及内力图（1）求支座反力 研究整体研究整体例6.16 试作图示刚架的内力图。（2）求杆端内力 研究研究ED杆杆研究研究ADAD杆杆研究研究D D点点同理，研究同理，研究BCBC杆和杆和C C点可得点可得（3）作内力图例6.16 试作图示刚架的内力图。首先作弯矩图在无荷载段直接利在无荷载段直接利用端值作图，有荷用端值作图，有荷载段用叠加法作图载段用叠加法作图作剪力图轴力图直接利用端值作图直接利用端值作图例6.16 试作图示三 铰刚架的内力图。（1）求支座反力 共有共有4 4个未知力，需拆个未知力，需拆开研究，首先开研究，首先研究整体研究整体研究右半拱研究右半拱（2）求杆端内力 研究研究AD杆杆研究研究D D点点（3）作内力图 例6.16 试作图示刚架的内力图。首先作弯矩图在无荷载段直接利在无荷载段直接利用端值作图，有荷用端值作图，有荷载段用叠加法作图载段用叠加法作图作剪力图轴力图直接利用端值作图直接利用端值作图6.6 静定平面桁架的内力及内力图例例1616已知已知: :P P=10kN,=10kN,尺寸如图；尺寸如图；求求: :桁架各杆件受力。桁架各杆件受力。解解: : 取整体，画受力图。取整体，画受力图。取节点取节点A A，画受力图。画受力图。解得解得( (压压) )解得解得( (拉拉) )取节点取节点C C, ,画受力图画受力图. .解得解得( (压压) )解得解得( (拉拉) )取节点取节点D D, ,画受力图。画受力图。解得解得( (拉拉) )例例1717已知已知: :各杆长度均为各杆长度均为1 1m;m;求求: :1,2,31,2,3杆受力。杆受力。解解: : 取整体取整体, ,求支座约束力。求支座约束力。解得解得解得解得用截面法用截面法, ,取桁架左边部分。取桁架左边部分。解得解得( (压压) )解得解得( (拉拉) )解得解得( (拉拉) )作 业P108 6 10a,b, 11, 13a,c,e, 17a