精 品 数 学 课 件北 师 大 版 “五点法五点法”画函数的图像画函数的图像(1)(1)应用范围：画形如应用范围：画形如y=asin x+b (y=asin x+b (或或y=acos y=acos x+b),xx+b),x0,20,2的函数的图像的函数的图像. .“五点法五点法”画函数的图像画函数的图像(2)(2)基本步骤基本步骤列表，取列表，取x=0x=0， ， ，2.2.求出相应的求出相应的y y值，确定点的坐标值，确定点的坐标. .描点描点. .用光滑的曲线连线成图用光滑的曲线连线成图. . 要注意用五点法画正、余弦函数图像的区别与要注意用五点法画正、余弦函数图像的区别与联系联系. .【例例1 1】画出画出y=2cos x-1y=2cos x-1在在0,20,2上的图像上的图像. .【审题指导审题指导】解答本题关键是画出解答本题关键是画出x=0x=0， ， ，22时时图像上的点的位置图像上的点的位置. .【规范解答规范解答】按五个关键点列表，描点画出图像按五个关键点列表，描点画出图像( (如下如下) )1.1.有关函数奇偶性的结论有关函数奇偶性的结论: :(1)(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形；奇函数的图像关于原点成中心对称图形；偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴成轴对称图形轴成轴对称图形. .(2)(2)对于奇函数，当对于奇函数，当x=0x=0属于定义域时必有属于定义域时必有f(0)=0.f(0)=0.对于偶函数，任意对于偶函数，任意x x属于定义域都有属于定义域都有f(|x|)=f(x).f(|x|)=f(x).函数奇偶性的判断及应用函数奇偶性的判断及应用2.2.函数奇偶性的应用：函数奇偶性的应用： (1)(1)画关于原点对称的区间上的图像画关于原点对称的区间上的图像. . (2)(2)判断函数的单调性判断函数的单调性( (或比较函数值的大小或比较函数值的大小).).(3)(3)求函数的解析式求函数的解析式. .【例例2 2】已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x x0 0时，时，f(x)=sin 2x+cos xf(x)=sin 2x+cos x， 求求f(x).f(x).【审题指导审题指导】由已知得由已知得f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，f(0)=0,f(0)=0,可由此求出可由此求出x=0x=0，x x0 0时时f(x)f(x)的解析式的解析式. .【规范解答规范解答】函数函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),f(0)=-f(0)f(0)=-f(0)，f(0)=0f(0)=0当当x x0 0时，时，-x-x0,0,f(x)=-f(-x)=-f(x)=-f(-x)=-sin 2(-x)+cos (-x)sin 2(-x)+cos (-x)=sin 2x-cos x=sin 2x-cos x， 求函数的最大值、最小值的方法求函数的最大值、最小值的方法(1)(1)直接法直接法. .根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围出函数值的取值范围. .(2)(2)利用函数的单调性利用函数的单调性. .(3)(3)利用函数的图像，转化为求函数图像上最高点和最低点利用函数的图像，转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题的纵坐标的问题. .(4)(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题对数函数等基本初等函数问题. .求函数的最大值、最小值求函数的最大值、最小值【例例3 3】(2011(2011上饶高一检测上饶高一检测) )已知已知x ,x ,(1)(1)求函数求函数y=cos xy=cos x的值域的值域. .(2)(2)求函数求函数y=-3(1-cosy=-3(1-cos2 2x)-4cos x+4x)-4cos x+4的最大值、最小值的最大值、最小值. .【审题指导审题指导】(1)(1)函数函数y=cos xy=cos x在区间在区间 上是先增后上是先增后减的函数，求其值域可利用函数图像减的函数，求其值域可利用函数图像. . (2)(2)可用换元法，转化为求二次函数的最大值、最小值可用换元法，转化为求二次函数的最大值、最小值. .【规范解答规范解答】(1)(1)画出函数画出函数y=cos xy=cos x，x x 的图像，的图像，如图所示如图所示由图像可知：当由图像可知：当x=0x=0时，函数取最大值时，函数取最大值1.1.当当 时，函数取最小值时，函数取最小值函数函数y=cos xy=cos x，x x 的值域为的值域为 . .(2)(2)原函数可化为原函数可化为y=3cos y=3cos 2 2x-4cos x+1x-4cos x+1令令t=cos x,t=cos x,则由则由(1)(1)知知tt当当 时，函数取最大值时，函数取最大值 . .当当 时，函数取最小值时，函数取最小值 . .函数函数y=-3(1-cos y=-3(1-cos 2 2x)-4cos x+4,xx)-4cos x+4,x 的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为 . . 【例例】已知函数已知函数y y1 1=a-bcosx,xR=a-bcosx,xR的最大值为的最大值为 ，最小值，最小值为为 ，试求函数，试求函数y y2 2=b-acosx=b-acosx的最大值，并写出取得最大值的最大值，并写出取得最大值时自变量时自变量x x的集合的集合. .【审题指导审题指导】解答本题可先利用待定系数法求出解答本题可先利用待定系数法求出a,ba,b的值，的值，然后求函数然后求函数y y2 2=b-acos x=b-acos x的最大值的最大值. .【规范解答规范解答】函数函数y y1 1的最大值是的最大值是 , ,最小值是最小值是 . .当当b b0 0时，时， 解得解得当当cosx=-1cosx=-1时，时， 取最大值取最大值 ，此时自变量，此时自变量x x的集的集合为合为x|x=(2k+1),kZx|x=(2k+1),kZ当当b b0 0时，时， 解得解得当当cosx=-1cosx=-1时，时， 取最大值取最大值 ，此时自变量，此时自变量x x的的集合为集合为x|x=(2k+1),kZx|x=(2k+1),kZ【典例典例】(12(12分分)(1)(1)已知已知、是锐角三角形的两个内角，是锐角三角形的两个内角，试证明：试证明：cos cos sin .sin .(2)(2)已知已知ABCABC中，中，A A、B B ，cos Acos Asin Bsin B，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. .【审题指导审题指导】(1)(1)由题意知由题意知、 且且 , ,可利用可利用余弦函数的单调性证明余弦函数的单调性证明. .(2)(2)由由cos Acos Asin Bsin B得得 ，据此判断自变量，据此判断自变量A A与与 的关系的关系. .【规范解答规范解答】(1)(1)、是锐角三角形的两个内角，是锐角三角形的两个内角，、 且且 ， ，2 2分分又又y=cos xy=cos x在区间在区间0,0,上是减少的，上是减少的， . .4 4分分(2)cos A(2)cos Asin B,sin B, . .6 6分分A A、B B ， , , 8 8分分又又y=cos xy=cos x在区间在区间0,0,上是减少的，上是减少的， , ., .1010分分又又A+B+C=A+B+C=， ,ABC,ABC是锐角三角形是锐角三角形. .1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.下列关于下列关于y=cos xy=cos x，xRxR的图像描述错误的是的图像描述错误的是( )( )(A)(A)在在0,20,2和和4,64,6上的图像形状相同，只是位上的图像形状相同，只是位置不同置不同(B)(B)介于直线介于直线y=1y=1与直线与直线y=-1y=-1之间之间(C)(C)关于关于x x轴对称轴对称(D)(D)与与y y轴仅有一个交点轴仅有一个交点. . 【解析解析】选选C. y=cos xC. y=cos x，xRxR的图像关于的图像关于y y轴对称轴对称, ,故故C C错误错误. .2.2.函数函数y=cos x,x y=cos x,x 的值域是的值域是( )( )(A)(A)0 0，1 1 (B)(B)1 1，1 1(C) (D) (C) (D) 【解析解析】选选A. A. 画出函数画出函数y=cos x,y=cos x,x x 的图像如图由图像可的图像如图由图像可知知,x=0,x=0时，时，y=cos xy=cos x取最大值取最大值1,1, 时，时，y=cos xy=cos x取最小值取最小值0 0，所以值域为所以值域为0 0，1 1. .3.3.设集合设集合P=x|sin x=1,xRP=x|sin x=1,xR，Q=x|cos x=-1,xRQ=x|cos x=-1,xR，则，则( )( )(A)PQ= (B)P Q (A)PQ= (B)P Q (C)PQ= (D)P=Q(C)PQ= (D)P=Q【解析解析】选选A.A.由由sin x=1sin x=1得得 ,kZ,kZ，P= . P= . 由由cos x=-1cos x=-1得得x=(2k+1),kZ,x=(2k+1),kZ,Q=x|x=(2k+1),kZ.Q=x|x=(2k+1),kZ.PQ= . PQ= . 4.4.函数函数y=-2cos x+10y=-2cos x+10取最小值时，自变量取最小值时，自变量x x的集合是的集合是_._.【解析解析】当当cos x=1cos x=1时，时，y=-2cos x+10y=-2cos x+10取最小值取最小值8 8，此时，此时, ,自自变量变量x x的集合为的集合为x|x=2k,kZx|x=2k,kZ答案答案: :x|x=2k,kZx|x=2k,kZ5.5.用用“”或或“”填空填空. .(1)cos 15(1)cos 15_ cos 20_ cos 20(2) _(2) _【解析解析】y=cos xy=cos x在在0,0,上是减少的上是减少的, ,且且0 0151520209090， , ,cos 15cos 15cos 20cos 20， , , . .答案答案: :(1)(1) (2)(2)6.6.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性. .(1)f(x)=cos (2-x)-x(1)f(x)=cos (2-x)-x3 3sinx;sinx;(2)g(x)= ;(2)g(x)= ;(3)h(x)= .(3)h(x)= .【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)的定义域的定义域R R关于原点对称关于原点对称, ,又因为又因为f(x)=cos x-xf(x)=cos x-x3 3sin xsin x，所以，所以f(-x)=cos (-x)-(-x)f(-x)=cos (-x)-(-x)3 3sin(-x)=cos x-xsin(-x)=cos x-x3 3sin x=f(x),sin x=f(x),所以所以f(x)f(x)为偶函数为偶函数. .(2)(2)函数函数g(x)g(x)的定义域的定义域R R关于原点对称关于原点对称, ,又因为又因为 , ,所以所以g(x)g(x)是偶函数是偶函数. .(3)(3)要使函数有意义要使函数有意义, ,需使需使 ，即，即所以所以cos x=1,x=2k,kZ.cos x=1,x=2k,kZ.函数函数h(x)h(x)的定义域的定义域x|x=2k,kZ.x|x=2k,kZ.关于原点对称关于原点对称. .又因为又因为 . .所以函数所以函数h(x)h(x)既是奇函数既是奇函数, ,又是偶函数又是偶函数. .