角的概念的推广株洲生物职教中心：单雪株洲生物职教中心：单雪1、角的概念、角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是范围是0, 360)， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭隘狭隘”.oABBB一、角的概念：1、角是由同一个端点引出两条射线所组成的图形。oAA A 始边A 终边2、角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的实例1：oAA A 始边 A 终边实例2： 生活中很多实例会不在该范围。生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体体操运动员转体720，跳水运动员向内、，跳水运动员向内、向外转体向外转体1080； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0, 360) ，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角， 想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？ 关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。 AA A A A A A A A A A 实例3： A A A A A A A A A 实例4：AOAA AOAOAOAA“正角正角”与与“负角负角”、“0角角” 我们把我们把按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=660， OAA 180O (平角)OAA OAA OAA 360O3“象限角象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合于，角的始边重合于x轴的正半轴轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等yxo= 30 o yxo90 o xyo= 210 o二、在坐标系中讨论任意角的大小xyoxyo4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与30 角的终边相同角的终边相同.探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0 到到360 的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 结论：结论： 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可以构在内可以构成一个成一个集合集合：| =+k360(kZ) 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和注意以下四点：注意以下四点： kZ； 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应看成看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍.例例1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？出它们是哪个象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边在（在（ ） A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C5 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C7、在直角坐标系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，终边互相垂直，那么那么与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD8、若、若90135，则，则的范围是的范围是_，+的范围是的范围是_;(0,45)(180,270)9、若、若的终边与的终边与60角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在0,360范围内，终边与角范围内，终边与角 的终边相同的的终边相同的角为角为_;解：解：=k360+60，kZ.所以所以 =k120+20， kZ.当当k=0时，得角为时，得角为20，当当k=1时，得角为时，得角为140，当当k=2时，得角为时，得角为260.AoB30 oAoB30 o+360 o360 oOB逆时针旋转一周后的角度：OB顺时针旋转一周后的角度：390 o330 o针对性练习（1）针对性练习针对性练习（2）oyxB1B260 o150 oAOA顺时针旋转一周再转到OB1处：OA顺时针旋转OB2处：OA逆时针旋转OB2处：210o660o150o针对性练习（3）：1、在0 o 360 o之间，找出与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限： -20 o 740 o 950 o 48 解： 20 o k360 o 当k=-1时, =340 o -20 o与340 o终边相同都在第四象限。 740 o k360 o当k=2时, =20 o -20 o与740 o 终边相同都在第四象限。 950 o 48 k360 o当k=3时, =129 o 52 950 o 48与129 o 52 终边相同都在第二象限针对性练习（4）：写出第三象限角的集合写出终边在y轴正半轴的角的集合 0 o 360 o内第三象限角范围180 o 270 o第三象限 180 o k*360 o 270 o k*360 o 0 o 360 o内终边在y轴正半轴的角为90 o =90o+k*360o 反馈练习：1、一角为30其终边按逆时针旋转三周后的角度2、集合m= k*90o k Z中各角的终边都在（）AX轴正半轴BY轴正半轴CX轴或Y轴上DX轴正半轴或Y轴正半轴上1110 oC小结：小结：1、正角、负角是用来表示具有相反意义的 旋转量的，其正负规定出于习惯.2、零角无正负，就象实数0无正负一样.