第五章 空间解析几何（数一）一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角一 平面及其方程一、平面的点法式方程1. 点法式方程（已知法向量）如果一非零向量垂直于一平面, 称此向量为该平面的法线向量(法向量).定义设法向量平面的点法式方程为 及平面上的定点2. 点法式方程由平面的点法式方程法向量二、平面的一般方程平面的一般方程定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 三、两平面的夹角（取锐角）两平面夹角余弦公式：二 空间直线及其方程一、空间直线的各种方程二、线面间的位置关系一、空间直线的方程形式1. 空间直线的一般形式定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般式方程.L(形式不唯一)(1)2.对称式点向式方程定义如果一非零向量平行于一条已知直线,称此向量为该直线的方向向量.设一直线过 ， 其方向向量为的此直线方程为二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(取锐角)特别有:一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面 曲面及其方程一、曲面方程的概念定义:若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:(1) S上任一点的坐标都满足方程F (x, y, z) =0;(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0的点都在S上;方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .F (x, y, z) = 0 Sxyzo o研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程曲面SF (x, y, z) =0(三元方程）1-1对应故所求方程为例1 求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为解 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹方程. 表示上(下)球面 . MM0 0 MM四、二次曲面三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )z zx xy yOO1 用坐标面z = 0 , x = 0和y = 0去截割,分别得椭圆1.椭球面椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面球面方程可写为内容小结:球面旋转曲面:曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面曲面表示母线平行 z 轴的柱面.平面 无穷级数(数一) 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 收敛的必要条件说明：1.逆命题不成立.级数发散.第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛一、正项级数及其审敛法若定理1 正项级数收敛则称为正项级数.部分和序列有界.注：定理2 (比较审敛法)(1)若级数则级数(2)若级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.设是两个正项级数,有 定理3 (比较审敛法的极限形式)两个级数同时收敛或发散;(2) 当 l = 0 (3) 当 l =+ 正项级数,则有满足(1) 当 0 l + 时,设 为正项级数, 且则(1) 当时, 级数收敛;(2) 当时, 级数发散.定理4 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)说明:当时,级数可能收敛也可能发散.定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项则级数,且时,级数可能收敛也可能发散.说明: 幂级数一、幂级数及其收敛性二、幂级数的运算一、幂级数及其收敛性下面着重讨论 的情形 , 即定义 形如的函数项级数称为幂级数, 其中数列称为幂级数的系数.收敛 发散定理1 (Abel定理) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当时该幂级数发散,的一切 x ,幂级数也发散. 则对满足不等式发 散发 散收 敛幂级数的收敛性幂级数在 (, +) 收敛;用 R 表示幂级数收敛与发散的分界点,收敛区间是以原点为中心的区间. 则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛;R = + 时,幂级数在 (R , R ) 收敛;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径， 在R , R 可能收敛也可能发散.外发散;在(R , R ) 称为收敛区间.由Abel 定理, 定理2 若的系数满足(1) 当 0 时,(2) 当 0 时,(3) 当 +时,则 常微分方程（数一） 可分离变量的微分方程的微分方程. 形如 的微分方程，称为可分离变量2.方程两边求积分：微分方程的通解. 1.分离变量：可分离变量方程 的解法:例1 求微分方程 的通解. 解 方程是可分离变量的微分方程，分离变量，得两边积分，得所求微分方程的通解为一阶线性微分方程若未知函数和未知函数的导数都是一次有理式，1.定义 形如则称其为一阶线性微分方程.2.一阶线性微分方程的分类 当 时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程. 当 时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程.分离变量两边积分，得所以通解为一阶齐次线性微分方程的解法由于y=0也是方程的解.一阶线性非齐次微分方程的通解为:线性非齐次方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式当 称为二阶常系数齐次线性方程.当 称为二阶常系数非齐次线性方程.是该方程的通解.二阶常系数齐次线性方程：是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 二、二阶常系数齐次线性方程解法故有猜想该方程具有 形式的解， 将其代入上方程, 得特征方程-特征方程法特征根特征方程实根 特征根通解表达式微分方程例1.的通解.解: 特征方程特征根:原方程的通解为 常系数非齐次线性微分方程 (3) 若 是特征方程的重根 , (2) 若 是特征方程的单根 , (1) 若 不是特征方程的根, 小结：当 是特征方程的 k 重根时,可设特解例2. 的通解. 解：特征方程为其根为设非齐次方程特解为比较系数, 得代入方程得对应齐次方程的通解为所求通解为因此特解为数一数一数一数二数二数二数一数二数一数一数二数二