第第3节函数的基本性质节函数的基本性质考纲展示1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性2理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值3会运用函数图象理解和讨论函数的性质1单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数2单调区间若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间提示：函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域内的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能说该函数在其定义域上是增函数(或减函数)，也不能将各个单调区间用“”连接，而应写成(，0)和(0，)3函数的最值(1)函数的最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)函数的最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的xI，都有f(x)N；存在x0I，使得f(x0)N.那么，我们称N是函数yf(x)的最小值 函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质，它与值域有着密切的关系函数的值域一定存在，但最值不一定存在，对于在一个闭区间上的连续函数f(x)来说，它一定有最小值m，也一定有最大值M，这时函数的值域是m，M4函数的奇偶性(1)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图象关于y轴对称(2)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是(B)(A)(2，) (B)(，2)(C)(2，) (D)(，2)解析：由f(x)在R上递减知a0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.思路点拨：根据已知条件分析函数f(x)在8,8的单调性，对称性，画出图象进行求解解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数，f(x)0,2上是增函数，f(x)在2,2上是增函数，在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的示意图象，其图象也关于x6对称，(1)奇函数在原点两侧具有相同单调性，而偶函数在原点两侧具有相反的单调性(2)有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质时，可考虑结合函数的图象特征，运用数形结合的思想方法求解变式探究31：(2010年浙江省五校模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()(A)(，1)(2，) (B)(1,2)(C)(2,1) (D)(，2)(1，)解析：当x0时，f(x)x22x为增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在R上为增函数f(2a2)f(a)，2a2a，a2a20，2a0)上的奇函数，若g(x)f(x)2，则g(x)的最大值与最小值之和为()(A)0 (B)2 (C)4 (D)不能确定解析：设M是f(x)的最大值，则M是f(x)的最小值，g(x)maxg(x)minf(x)max2f(x)min24，故选C.错源：不注意分段函数的特点【选题明细表】知识点、方法题号单调性及应用1奇偶性及应用2、4、7最值6函数性质综合运用3、5、8、9、10解析：由函数单调性定义知选C.2(2011年安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值(A)(A)恒为正数 (B)恒为负数(C)恒为0 (D)可正可负解析：f(0)0，f(x)在R上递增，f(1)f(0)0，故选A.解析：由题意知f(x)为偶函数，所以f(2)f(2)，又x0，)时，f(x)为减函数，且321，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)，故选A.4(2010年高考安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于(A)(A)1 (B)1 (C)2 (D)2解析：由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选A.6(2010年安徽四市联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在区间3,5上单调递增，则函数f(x)在区间1,3上的(A)(A)最大值是f(1)，最小值是f(3)(B)最大值是f(3)，最小值是f(1)(C)最大值是f(1)，最小值是f(2)(D)最大值是f(2)，最小值是f(3)解析：依题意知，f(x)的图象关于x1对称，且f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的函数由此可知，f(x)在3，1和1,3上是减函数，f(x)在1,3上的最大值为f(1)，最小值是f(3)，故选A.二、填空题三、解答题9已知函数f(x)x2(x0)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性10设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为 (A)(A)(，3)(0,3) (B)(3,0)(0,3)(C)(，3)(3，) (D)(3,0)(3，)解析：(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)在x0上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)g(x)在R上是奇函数，且在x0上单调递增，又f(3)g(3)f(3)g(3)0，f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)故选A.