浅谈数学思想浅谈数学思想浅谈数学思想1袁骁 2010 1 21开始的问题1. 数学的目的是什么？ 2. 为什么1+1=2 ？3. 我们做数学题的准则是什么？4. 怎样学好数学？ 1. 什么是数学 ？1、 数学就是解题 数学家科利亚说过，什么是数学？数学就是解题，就是把不熟悉的题型向熟悉的题型转化。2、数学是一种语言 是将生活中的是在的事物抽象化，系统化。 有什么问题？2. 怎么将现实事物抽象化1. 为什么要这样做？2. 最简单的现实抽象化的例子是什么？Answer：1. 我们的目的是解决实际问题，因此建立符合人思考方式的体系来解决它便是数学的目的。2. 当然是最基本的数的抽象化了，下面就来好好的分析一下数的诞生和发展3. 数的产生1.由经验到理论。 现实生活中数数的例子很多，我们会不自觉地感觉出桌子上的3个苹果和另一张桌子上的2个苹果是不一样的。或者说是多些。但是仅仅知道谁多谁少是不够的，当我们需要精确地知道数目的个数时候就需要更多的数学了。而我们给数一个标记的时候，数数的能力就诞生了。这时候我们就知道桌子上是2个苹果，而不是其它数目，当大家有一个统一的标准的时候，数数就变成一件简单而方便的事情。2. 因此，最简单的自然数模型就出现了4. 一般的数学理论内容1. 最基本的概念的定义。2. 由基本概念所推出的简单结论。3. 由简单结论和基本概念解决复杂问题。4. 而在1的立面还有一些内容可以讨论：A. 基本概念的本质是什么？B. 基本概念的关系是什么？C. 基本概念之间推导出更加复杂的关系和概念。因此，数学的研究往往在于基本概念的性质和概念之间的关系5. 自然数及其运算自然数及其运算1.自然数的定义是什么？a. 是简单的数的抽象，仅仅是为了标记数目的个数或者说是多少。b. 因此它的作用就是表示现实生活中事物的数目。c. 也就是说现实生活中的数目的概念可以由自然数来表达。时时刻刻记住一点：数学从某种角度来说就是为了表达现实生活中的概念，为了方便思考和计算 ，因此，将数学概念和现实对应是理解概念的很好的方法，而当只有深刻地理解了数学概念才能够理解由这些概念推导出的更复杂的内容。自然数是一个如此简单的模型，因此讨论它的本质并不是一个简单的问题，但我的意思并不是说1+1=2的道理是多么深奥，为什么？而显然，当我们的祖先得到了自然数的定义马上就想到了自然数的运算。为什么？记住数学的目的！1.运算其实就是一种操作，可以理解为关系的体现。2. 加法运算一种自然的数量关系。人类最早摸索出来的数学公式。因此加法表其实就是一些数学公式。而公式是需要记忆和理解的。？3. 乘法运算一种简便化的加法运算（一个换元的数学思想）谁能说出其中的道理？5. 自然数及其运算自然数及其运算 1+ 1+ 1+ 1+ a + 1+ 1+ 1+ 1+ a + 1+ 1+ 1+ 1+ a + 1+ 1+ 1+ 1+ a +- a+ a+ a+ a 4个a = 12因此乘法可以理解为a个b，即a*b（a、b是数），或者说是a个相同的b相加。而加法呢，则是相当于把几个数放在一起，得到一个新数。而而这些理解就是需要大家平些理解就是需要大家平时多思考，多多思考，多总结，想的多了，理解就更深了。，想的多了，理解就更深了。1. 而至于减法和除法，他们仅仅是加法和乘法的逆运算，理解上和前面的内容也很相似，这里就不说明了。2. 而需要注意的是逆运算这个概念。为什么有逆运算？逆运算应当理解作什么？是一种新的概念还是和前面的加减乘除类似的运算呢？逆运算反映了什么样的现实现象？逆运算有什么性质？怎么样更好的理解和运用逆运算？用上面的结论思考减法和除法运算。5. 自然数及其运算自然数及其运算6. 字母表示数1. 用字母表示数是数学的一大重要进步例子1. 1、2、3.方程。而其实用字母表示数并不是多么复杂的技巧，很平常，但是很有用。假设数已经是我们掌握得很好的概念了，那么用字母来表示它就相当于是一中换元法，而这个字母还代表着任何的数字。7. 式当掌握了用字母表示数和数的运算之后，我们就可以建立更加复杂的式子了。例如，以前有5+5=10，那么就可以用a+ b= c来表示这样一个现象。而这样做的好处是什么呢？它的好处太大了。想一想我们最初建立自然数的目的是什么？就是为了表达现实生活现象。我们用5+5=10表示了5个苹果加上5个苹果等于10个苹果；而假设a、b、c表示任意的自然数，那么a+ b= c就表示的a个苹果加上b个苹果等于c个苹果。前者表现的是特殊的5个苹果相加的情况，是一种情况；而后者则表述了任何个数苹果的相加问题，是一类问题。也就是说，用字母表示数得到了式，而这种式它表示的却是一种普遍的情况，因此用这种表述方法我们解决问题就会方便很多。为什么？8. 式的更深的讨论当我们解决a个苹果加上b个苹果等于c个苹果这类的问题的时候得到了a+ b= c这个式子，那么这个式子有什么意义呢？下面来分析一下。A. 式子中a、b、c的地位怎么样？B.当知道a、b、c中的几个数我们可以确定这三个数呢？C. 为什么会这样？D. 拿到这样的问题，我们会怎样考虑。结论：当知道a、b基本是对等的，和c不对等，而a、b、c中只要知道了2个数就可以确定剩下的一个数，因为这个全字母的式子反映的是一种关系，而一般来说一个关系可以消去方程的一个变量。8. 式的更深的讨论（实例）对于a+ b= c假如我们已经知道了c=5，那么这个式子就变成了a+ b=5，这个时候a和b的关系和前面讨论的是不是一样？在自然数范围内的解是什么？设b=10，式子变成什么样？在自然数范围内的解有多少个？独立独立变量的概念量的概念在前面在前面a+ b= c我们说a、b、c只要知道其中两个就确定了第三个，那么对于这种现象我们就说a、b、c的独立变量只有两个，因为只要知道其中两个就确定了第三个。而而对于于a+ b=5或者说是a+ 10=c这种式子，他们的独立变量都是1个，为什么？正如前面所说的那样，几个未知数就是几个独立变量，而几个关系就消去了几个独立变量（一般来说是这样的）。8. 式的更深的讨论（实例）那么由前面所说的，假如说知道a+ b=5和a+ 3=b，我们会得到什么样的结论呢？对，可以确定a和b。这种方法是不是很不错？因为前面说明了包含字母的式子表示的是一类关系，那么我们将所有的量都设成字母，再将这些关系全部表示出来，分析这些式子，我们相信是可以得到答案的。例如：甲和乙共有5个苹果，而知道乙比甲多3个，求甲乙的苹果数。步骤：1. 设甲苹果数为a，设乙的苹果数为； 2. 可以得到关系：a+ b=5和a+ 3=b； 3. 解出a和b得到问题的解。9. 由题目到式这个过程并不是很简单轻松的，这一点往往在于一个人的语言理解能力，但是这些都是可以培养的，那就是语文课上认真听讲。但我们还是可以说一说。（考试题目）10. 考题选讲1. 游泳馆向一个长50米、宽24米、深1.6米的空游泳池注水。如果单开甲管，12小时水深可以达到1.5米；如果单开乙管，15小时水深可达1.5米。如果两管同时开，多少小时水深可达1.5米？2. 某家电公司去年9、10月销售额的比试7：5，这两个月销售总额为300万元，问9月比10月多销售多少？10. 考题选讲3.目前，全球荒漠化土地面积达到3600万平方千米，占陆地总面积的1/4，而且每年仍以5万至7万（平均6万平方千米）的速度扩展。土地荒漠化已成为全球生态的“头号杀手”。全世界受荒漠化危害的国家多大110多个，11亿人口受到严重威胁。如果不加制止，多少年后地球上连一根草都看不见？10. 考题选讲小明、小芳被同学推选为组长且得票个数相同，谁担任组长呢？班长决定做4个纸团，其中只有一个写有“正”字。首先由小芳从中任取一个，如果小芳取到了写有“正”字的纸团就由小芳担任组长，不然就有小明担任组长。问这种办法公平么？10. 考题选讲变形1：小明、小芳被同学推选为组长且得票个数相同，谁担任组长呢？班长决定做几个纸团，其中只有一个写有“正”字。首先由小芳从中任取一个，如果小芳取到了写有“正”字的纸团就由小芳担任组长，不然就有小明担任组长。问做几个纸团才使得这种办法是公平的？10. 考题选讲变形2：小明、小芳被同学推选为组长且得票个数相同，谁担任组长呢？班长决定做几个纸团，其中只有一个写有“正”字。首先由小芳从中任取一个，如果小芳取到了写有“正”字的纸团就由小芳担任组长，不然就由小明取，若小明得到了“正”字纸团就有小明担任组长；不然又由小芳取，这样循环下去直到一个人取到写有“正”字纸团，就由那个人担任组长。问做几个纸团才使得这种办法是公平的？解决问题的过程1. 将现实模型抽象化2. 解决抽象模型3. 验证结果是否有意义