平面向量的线性运算习题课（重要）平面向量的线性运算习题课（重要）本节训练要点：本节训练要点：1.向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一向量用已知向量表示的问题。向量用已知向量表示的问题。2.共线向量定理的理解及应用，用向量共线定共线向量定理的理解及应用，用向量共线定理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几何问题，初见向量在几何证明中的功用。何问题，初见向量在几何证明中的功用。特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :特点特点: :首尾相接，连首尾首尾相接，连首尾特点特点:同一起点同一起点,对角对角线线BAO2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: :（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。特别的，当特别的，当 时，时，4.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：重要技能训练：重要技能训练：用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量例例1重要技能训练：重要技能训练：用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量重要技能训练：重要技能训练：用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量重要技能训练：重要技能训练：用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量用已知两个不共线向量表示平面内的任一向量巩固点二：共线向量定理及其应用巩固点二：共线向量定理及其应用成立成立思考：思考：三：向量共线定理三：向量共线定理思考思考思考思考:1) :1) :1) :1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量? ? ? ?2) 2) 2) 2) 可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗? ? ? ?课本课本P90,ex.4P90,ex.4练一练练一练: :例例1.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCO解解:, ,且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点证明证明证明证明三点共线三点共线三点共线三点共线的方法的方法的方法的方法: :AB=BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 如图：已知如图：已知 ， ，试判断，试判断 与与 是否共线是否共线 ABDEC 与与 共线共线 解解：例例2解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向量表示，以达到化繁为简的目标。量表示，以达到化繁为简的目标。例例3.解后反思：上题中改为判断两个向量是否共线，如何处理呢？ 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD课堂小结：课堂小结：一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线