数列数列复习与训练复习与训练新方案尝试新方案尝试黄冈中学黄冈中学 吴校红吴校红 第一部分第一部分 用类比法归纳用类比法归纳数列数列的基础知识的基础知识 回顾等差数列、等比数列的定义，可以看出，将等差回顾等差数列、等比数列的定义，可以看出，将等差数列的定义中的数列的定义中的“差差”改为改为“比（商）比（商）”、“公差公差”改为改为“公比公比”即得等比数列的定义也就是通过类比可以看出即得等比数列的定义也就是通过类比可以看出“等等差数列差数列”与与“等比数列等比数列”的联系的联系2004年北京高考试题就出年北京高考试题就出了一道了一道“等和数列等和数列”的题目，那么，什么是等和数列，就只的题目，那么，什么是等和数列，就只需将需将“等差数列等差数列”中定义中的中定义中的“差差”字改为字改为“和和”字即可字即可要有效地把握好这一章的知识可以放手让学生自己去梳理知要有效地把握好这一章的知识可以放手让学生自己去梳理知识、去完善知识体系老师可以指出，将等差数列的有关知识、去完善知识体系老师可以指出，将等差数列的有关知识通过类比就可以得出等比数列的相应知识，好比写对联，识通过类比就可以得出等比数列的相应知识，好比写对联，只要将只要将“差差”改为改为“商商”，将，将“和和”改为积，将改为积，将“算术平均算术平均值值”改为改为“几何平均值几何平均值”，等等，即可，等等，即可等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定定义义 一般地一般地, ,如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差数列这个常数叫公差 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项起，每一项与它的前项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比列这个常数叫公比 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 递递推推关关系系 （ ） （ p p、q q为常数，为常数， ） （ ） （p p、q q为常数，为常数， ）通通项项公公式式 求积公式求积公式 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 求求和和公公式式 若若p+qp+q= =s+rs+r, p, p、q q、s s、r N*,r N*,则则 . .对任意对任意c0,c 1, c0,c 1, 若若 恒大于恒大于0 0，则，则 为等差数列为等差数列. . 为等比数列为等比数列 若若p+qp+q= =s+rs+r, p, p、q q、s s、r N*,r N*,则则 . . 对任意对任意c0,c 1, c0,c 1, 为等比数列为等比数列. . 为等差数列为等差数列 主主要要性性质质 若若|q|1,|q|1,则则. . 若若p p、q q 且且 , ,则则 . . 若若 且且 则则 p p、q q重重要要结结论论 教师通过精选题目制成试卷，限时完成两套小教师通过精选题目制成试卷，限时完成两套小卷两套试卷分别限时卷两套试卷分别限时60分钟，满分都为分钟，满分都为100分分训练时，既要讲速度，又要讲质量，老师注意那些训练时，既要讲速度，又要讲质量，老师注意那些完成得快而好的学生，在讲试卷评讲课时，让这些完成得快而好的学生，在讲试卷评讲课时，让这些学生在班上交流他们的解法，是不是用了等差数列学生在班上交流他们的解法，是不是用了等差数列与等比数列的有关性质或重要结论使得解题更趋于与等比数列的有关性质或重要结论使得解题更趋于简捷，这样就可起到进一步项固本章的双基的作用：简捷，这样就可起到进一步项固本章的双基的作用：第二部分第二部分 用练习法巩固用练习法巩固数列数列的基础知识的基础知识第三部分第三部分 用用“模式化模式化”方法抓好两个专题的复习方法抓好两个专题的复习 无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规律来看，无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规律来看，数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前n项和项和的研究，所以我们把数列通项公式的求法与前的研究，所以我们把数列通项公式的求法与前n项和的研项和的研究列为本章的两个热点专题究列为本章的两个热点专题 “归纳归纳-猜想猜想-证明证明”是解决这两类问题的重要方法，除是解决这两类问题的重要方法，除此之外，还要使学生明确针对不同的数列类型此之外，还要使学生明确针对不同的数列类型,如何选择如何选择最快捷的方法来求这个数列的通项或前最快捷的方法来求这个数列的通项或前n项的和？由此要项的和？由此要求学生对这两类问题进行专题总结让学生领会到求学生对这两类问题进行专题总结让学生领会到“模式模式分析分析”、“层次解决层次解决”是解决数列问题的基本策略提倡是解决数列问题的基本策略提倡学生将学生将“模型模型”与与“方法方法”对应起来，以便在高考中能快对应起来，以便在高考中能快速而又准确地解决好数列问题速而又准确地解决好数列问题1 型型累加法：累加法：2 型型累乘法：累乘法： 3 型型方法方法：（：（1） 再根据等比数列的相关知识求再根据等比数列的相关知识求 。再用累加法求再用累加法求 。（2）（3）先用累加法求先用累加法求 ，再求，再求 。4 型（型（p为常数）为常数） 5 = p q 型（型（p、q为常数）为常数） 特征根法：特征根法：（1） 时，时， = + （2） 时，时， =（ + n）方法：变形得方法：变形得 = + ， 则则 可用累加法求出，由此求可用累加法求出，由此求 .6 = 型（型（A、B、C、D为常数）为常数）特征根法：特征根法：（1） 时，时， =C （2） 时，时， =7“已知已知 ，求，求 ”型型方法：方法： = （注意（注意 是否符合）是否符合）方法：构造与转化的方法方法：构造与转化的方法.8“已知已知 的关系，求的关系，求 ”型型求数列求数列an的前的前n项和的方法项和的方法（1）倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中此种方法主要针对类似等差数列中 ,具有这样特点的数列具有这样特点的数列 （2）公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式 （3）错位相减法 此种方法主要用于数列此种方法主要用于数列 的求和，其中的求和，其中 为为等差数列，等差数列， 是公比为是公比为q的等比数列，只需用的等比数列，只需用 便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和和q1两种情况两种情况 （4）分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列，可此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和别进行求和，再综合求出所有项的和 （5）奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项，要此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合偶来讨论，最后进行综合 （6）裂项相消法 此方法主要针对此方法主要针对这样的求和，其中这样的求和，其中an是等差数列是等差数列 (7)分类讨论 此方法是针对数列此方法是针对数列 的其中几项符的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求问题，主要是要分段求.（8）归纳猜想证明 此种方法是针对无法求出通项或无此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的不完全归纳法猜出的 表达式，然后用表达式，然后用数学归纳法证明之数学归纳法证明之. 第四部分第四部分 深化数列中的数学思想方法深化数列中的数学思想方法 一直以来，数列总是高考考查的必考与重点考查的内一直以来，数列总是高考考查的必考与重点考查的内容之一容之一.那么高考在这一部分有没有一定的命题规律呢那么高考在这一部分有没有一定的命题规律呢?有有!这体现在高考对数列的考查体现了以下的五个亮点这体现在高考对数列的考查体现了以下的五个亮点,这五个亮点体现了对课本中的数列部分所渗透的数学思这五个亮点体现了对课本中的数列部分所渗透的数学思想与方法的考查想与方法的考查: 数列部分的基础知识是等差数列与等比数列这两种特数列部分的基础知识是等差数列与等比数列这两种特殊的数列将等差数列的定义与等比数列的定义进行类比殊的数列将等差数列的定义与等比数列的定义进行类比分析，可得出其中的对偶关系：分析，可得出其中的对偶关系：“相加相加”对对“相乘相乘”、“相减相减”对对“相除相除”、“和和”对对“积积”、“差差”对对“商商”利用这些对偶关系，我们就像写对联一样，可以由等差数利用这些对偶关系，我们就像写对联一样，可以由等差数列中的有关结论轻松地得出等比数列中的相关结论例如列中的有关结论轻松地得出等比数列中的相关结论例如:在等差数列中在等差数列中,距首末两端等距离的两项的和相等距首末两端等距离的两项的和相等.对偶对偶地有地有:在等比数列中在等比数列中,距首末两端等距离的两项的积相等距首末两端等距离的两项的积相等.一、联想与类比一、联想与类比【例例】（2000年上海高考题）在等差数列年上海高考题）在等差数列an中，若中，若a10=0,则有等式则有等式a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a19-n(nana (nN*);an+12+a2-2an+1an-2an+1-2an+1=0(nN*)求数列求数列an的通项公式的通项公式四、顺思与逆思四、顺思与逆思 数列部分中的许多重要结论数列部分中的许多重要结论,把它们作为一个个的命题把它们作为一个个的命题,那那么在这些真命题中么在这些真命题中,有的逆命题是成立的有的逆命题是成立的,但有的逆命题是不成但有的逆命题是不成立的立的.平常平常,我们要自觉地多加以思考我们要自觉地多加以思考.高考对我们的要求是高考对我们的要求是,要要求我们能够进行主动性的学习求我们能够进行主动性的学习,所以平常我们要养成自觉地提出所以平常我们要养成自觉地提出问题问题,分析问题与解答问题的好习惯分析问题与解答问题的好习惯.【例例4】(2004年高考题年高考题湖北卷湖北卷)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=a2-( )n-1-b2-(n+1)( )n-1(n=1,2,3)，其中，其中a、b是是非零常数非零常数.则存在数列则存在数列xn、yn使得使得(A)an=xn+yn,其中其中xn是等差数列，是等差数列，yn是等比数列是等比数列(B)an=xn+yn,其中其中xn和和yn都是等差数列都是等差数列(C)an=xnyn,其中其中xn是等差数列，是等差数列，yn是等比数列是等比数列(D)an=xnyn,其中其中xn和和yn都是等比数列都是等比数列五、求和与放缩五、求和与放缩 由于高等数学学习对数列知识的要求，加之数列知识是一由于高等数学学习对数列知识的要求，加之数列知识是一块只有调整未作删减的内容，高考命题组的高校教师热衷于不块只有调整未作删减的内容，高考命题组的高校教师热衷于不等式与递归数列的综合应是十分正常的，这类命题能较好体现等式与递归数列的综合应是十分正常的，这类命题能较好体现课本知识内容与能力要求的关系，复习中应该是一个重点，同课本知识内容与能力要求的关系，复习中应该是一个重点，同学们必须明确对这类问题的三种处理方法（一是利用转化，化学们必须明确对这类问题的三种处理方法（一是利用转化，化归为等差或等比数列问题解决；二是可能借助数学归纳法解决；归为等差或等比数列问题解决；二是可能借助数学归纳法解决；三是可望求出通项公式后一般性解决）数列与不等式的综合三是可望求出通项公式后一般性解决）数列与不等式的综合通常涉及数列求和问题通常涉及数列求和问题,有的题中的和式不能事先求和有的题中的和式不能事先求和,但放缩但放缩以后的式子可能可以求和以后的式子可能可以求和,求和方法通常有两种求和方法通常有两种,一是直接利用一是直接利用等差或等比数列等求和公式等差或等比数列等求和公式,二是裂项求和、分组求和、错位相二是裂项求和、分组求和、错位相减求和等减求和等. 【例例5】(2005年高考年高考,湖北卷湖北卷) 已知不等式已知不等式 ，其中，其中n为大于为大于2的整数，的整数，log2n表示不超过表示不超过 log2n的最大整数设数列的最大整数设数列an的各项为正，且的各项为正，且 满足满足（II）猜想数列）猜想数列an是否有极限？如果有，写出极限是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；的值（不必证明）；（III）试确定一个正整数）试确定一个正整数N，使得，使得nN时，对任意时，对任意 b0,都有都有 .（I）证明）证明: