11.使学生正确理解组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的组合;3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;通过本讲的学习,对组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握组合的联系和区别,并掌握一些组合技巧,如排除法、插板法等一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地,从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数记作mnC一般地,求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数mnP可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组,共有mnC种方法;第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列,共有mmP种排法根据乘法原理,得到mmmnnmPCP因此,组合数12)11232 1mmnnmmPnnnnmCmmmP （）（）（）（）这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地,组合数有下面的重要性质：mn mnnCC(mn)这个公式的直观意义是：mnC表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法n mnC表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法显然,从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法例如,从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的,即3255CC规定1nnC ,01nC 知识要点知识要点教学目标教学目标7-5-4.7-5-4.组合之插板法组合之插板法2插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一般有三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到 1 个物体,不能有没分到物体的组出现在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法使用插板法一般有如下三种类型： m个人分n个东西,要求每个人至少有一个这个时候我们只需要把所有的东西排成一排,在其中的(1)n 个空隙中放上(1)m 个插板,所以分法的数目为11mnC m个人分n个东西,要求每个人至少有a个这个时候,我们先发给每个人(1)a 个,还剩下(1)nm a个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了所以分法的数目为1(1) 1mn m aC m个人分n个东西,允许有人没有分到这个时候,我们不妨先借来m个东西,每个人多发 1 个,这样就和类型一样了,不过这时候物品总数变成了()nm个,因此分法的数目为11mn mC【例例 1 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,要求三盆红花互不相邻,共有 种不同的放法.【考点】计数之插板法 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第 18 题【解析】四盆黄花摆好后,剩下 5 个位子可插进红花,选三个位置将三盆红花插入,35543=1032 1C ,所以有10 种选择.【答案】10种【例例 2 2】 在 1,2,3,7,8 的任意排列中,使得相邻两数互质的排列方式共有_ 种 【考点】复杂乘法原理 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】西城实验【解析解析】这 8 个数之间如果有公因子,那么无非是 2 或 38 个数中的 4 个偶数一定不能相邻,对于这类多个元素不相邻的排列问题,考虑使用“插入法”即首先忽略偶数的存在,对奇数进行排列,然后将偶数插入但在偶数插入时,还要考虑 3 和 6 相邻的情况奇数的排列一共有4!24种对任意一种排列 4 个数形成 5 个空位,将 6 插入,可以有符合条件的 3 个位置可以插再在剩下的四个位置中插入 2、4、8,一共有43224 种所以一共有243241728 种【答案】1728【例例 3 3】 有 10 粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法?【考点】计数之插板法 【难度】2 星 【题型】解答【解析解析】如图：|,将 10 粒糖如下图所示排成一排,这样每两颗之间共有 9 个空,从头开始吃,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的,九个空中画两条竖线,一共有9 8236 种方法【答案】36【巩固】小红有 10 块糖,每天至少吃 1 块,7 天吃完,她共有多少种不同的吃法?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析】分三种情况来考虑： 当小红最多一天吃4块时,其余各每天吃1块,吃4块的这天可以是这七天里的任何一天,有7种吃法; 当小红最多一天吃3块时,必有一天吃2块,其余五天每天吃1块,先选吃3块的那天,有7种选择,例题精讲例题精讲3再选吃2块的那天,有6种选择,由乘法原理,有7642种吃法; 当小红最多一天吃2块时,必有三天每天吃2块,其四天每天吃1块,从7天中选3天,有377653532 1C (种)吃法根据加法原理,小红一共有7423584(种)不同的吃法另外还可以用挡板法来解这道题,10块糖有9个空,选6个空放挡板,有639984CC(种)不同的吃法【答案】84【巩固】有 12 块糖,小光要 6 天吃完,每天至少要吃一块,问共有 种吃法【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】西城实验【解析解析解析】将 12 块糖排成一排,中间共有 11 个空,从 11 个空中挑出 5 个空插挡板,把 12 块糖分成 6 堆,则这样的每一种分法即对应一种吃法,所以共有51111 109 874621 2345C 种【答案】462【巩固】把 5 件相同的礼物全部分给 3 个小朋友,要使每个小朋友都分到礼物,则分礼物的不同方法一共有 种【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】十三分,小升初,入学测试【解析解析解析】把 5 件相同的礼物排成一列,中间有 4 个间隔,现在用两个板去隔,每个间隔最多放一个板这 2 个板的每一种放法都把 5 件礼物分成 3 份,所以这两个板的每一种放法都对应一种分礼物的方法而板的放法有246C 种,所以分礼物的不同方法有 6 种【答案】6【巩固】把 7 支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙 3 个人,每人至少 1 支,问有多少种方法?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析解析】将铅笔排成一排,用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份,然后分与甲、乙、丙,挡板可插入的位置一共有716 个,6 个位置中安插两个不分次序的挡板一共有65215种方法处理分东西的问题用隔板(挡板)法可以顺利解决【答案】15【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学,每个班至少1名,共有多少种抽调方法?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析解析】插板法,8 名同学之间有 7 个空,插 5 块板,一共有527776212 1CC(种)方法【答案】21【例例 4 4】 10 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里,允许有的盘子空着请问一共有多少种不同的放法?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】把 10 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里,允许有的盘子空着,然后在每个盘子里再另加一个橘子,这就变成了把 13 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里,不允许任何一个盘子空着反过来也是一样,把 13 只橘子放到 3 个盘子里,不允许任何一个盘子空着,再从每一个盘子中取出一个橘子,这就变回题目中的放法所以把 10 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目,和把 13 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同我们现在来计算把 13 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目这时我们用隔板地方法,把这 13 只橘子排成一列,则这 13 只橘子之间有 12 个空隙我们只要选定这 12 个空隙中的 2 个空隙,再这两个空隙中分别放一块隔板,这样就分成了 3 组,就相当于把这13 只橘子分成了 3 堆,如下图所以只要求出从 12 个空隙中选出 2 个空隙有多少种方法就可以了412 11266212C,所以题目中所求的不同的放法有 66 种【答案】66【巩固巩固巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里,允许有盘子空着.一共有 种不同的放法.【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,第 8 题【解析】215105C种.【答案】105种【例例 5 5】 把 20 个苹果分给 3 个小朋友,每人最少分 3 个,可以有多少种不同的分法?【考点】计数之插板法 【难度】3 【题型】解答【解析解析解析】先给每人 2 个,还有 14 个苹果,每人至少分一个,13 个空插 2 个板,有21378C种分法【答案】78【巩固】三所学校组织一次联欢晚会,共演出 14 个节目,如果每校至少演出 3 个节目,那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析解析】由于每校至少演出 3 个节目,所以可以由每所学校先分别出 2 个节目,剩下的 8 个节目再由 3 所学校分,也就是在 8 个物体间插入 2 个挡板,8 个物体一共有 7 个间隔,这样的话一共有762 121（）种方法【答案】21【例例 6 6】 (1)小明有 10 块糖,每天至少吃 1 块,8 天吃完,共有多少种不同吃法?(2)小明有 10 块糖,每天至少吃 1 块,8 天或 8 天之内吃完,共有多少种吃法? 【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析】将 10 拆成 8 个自然数的和,有两种拆法,10=1+1+1+1+1+1+1+3=1+1+1+1+1+1+2+2若 8 天中有 7 天每天吃一块,另外一天吃三块,有 8 种吃法若 8 天中有 6 天每天吃一块,另外 2 天每天吃两块,有 872=28 种吃法8+28=36,所以共有 36 种吃法（2）考虑有 n 块糖,每天至少吃 1 块,n 天之内吃完的情况将 n 块糖排成一行,这样在 n 块糖之间就产生了 n-1 个空隙可以在这些空隙中插入竖线,如果一条竖线都没有插,就代表着 1 天把所有的糖吃完如果每个空隙都插入竖线,就代表着每天吃一块糖,n 天吃完每个空隙都可以选择插或者不插,这样每一种插法都代表着一种吃法由于每个空隙都有插或者不插两个选择,所以 n-1 个空隙就有 2n-1种插法,即 n 块糖每天至少吃 1 块,一共有 2n-1种不同的吃法当有 10 块糖时,10 天之内吃完共有 29=512 种吃法10 块糖 9 天吃完时,其中 1 天要吃 2 块,其余 8 天每天吃 1 块,共有 9 种吃法10 块糖 10 天吃完时,每天吃 1 块,有 1 种吃法512-9-1=502,所以 10 块糖 8 天或 8 天之内吃完,共有 502 种吃法【答案】502【巩固】有 10 粒糖,每天至少吃一粒,吃完为止,共有多少种不同的吃法?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析】初看本题似乎觉得很好入手,比如可以按天数进行分类枚举：1 天吃完的有 1 种方法,这天吃 10 块;2 天吃完的有 9 种方法,10=1+9=2+8=9+1;当枚举到 3 天吃完的时,情况就有点错综复杂了,叫人无所适从所以我们必须换一种角度来思考不妨从具体的例子入手来分析,比如这 10 块糖分 4 天吃完： 第 1 天吃 2 块;第 2 天吃 3 块;第 3 天吃 1 块;第 4 天吃 4 块我们可以将 10 个“”代表 10 粒糖,把 10 个“”排成一排,“”之间共有 9 个空位,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线(如下图)| 比如上图就表示“第 1 天吃 2 块;第 2 天吃 3 块;第 3 天吃 1 块;第 4 天吃 4 块 ”5 这样一来,每一种吃糖的方法就对应着一种“在 9 个空位中插入若干个|的方法”,要求有多少个不同的吃法,就是要求在这 9 个空位中插入若干个“|”的方法数由于每个空位都有画|与“不画|两种可能：根据乘法原理,在这 9 个空位中画若干个“|”的方法数有：9922222512 ,这也就说明吃完 10 颗糖共有 512 种不同的吃法【答案】512【例例 7 7】 马路上有编号为1,2,3,10的十只路灯,为节约用电又能看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但又不能同时关掉相邻的两只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法有多少种?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】10只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空档中放入3只熄灭的灯,有3620C 种方法【答案】20【巩固】 学校新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中2盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的2盏灯,那么熄灯的方法共有多少种? 【考点】组合之基本运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯,但不相邻可以看成有10盏灯,共有9个空位,在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数,那么熄灯的方法数有299 8362 1C(种)【答案】2936C 【例例 8 8】 在四位数中,各位数字之和是 4 的四位数有多少?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】设原四位数为ABCD,按照题意,我们有4ABCD,但是对A、B、C、D要求不同,因为这是一个四位数,所以应当有0A ,而其他三个字母都可以等于 0,这样就不能使用我们之前的插板法了,因此我们考虑将B、C、D都加上 1,这样B、C、D都至少是 1,而且这个时候它们的和为437,即问题变成如下表达：一个各位数字不为 0 的四位数,它的各位数字之和为 7,这样的四位数有多少个?采用插板法,共有 6 个间隔,要插入 3 个板,可知这样的四位数有3620C 个,对应着原四位数也应该有20 个【答案】20【巩固】大于 2000 小于 3000 的四位数中数字和等于 9 的数共有多少个?【考点】计数之插板法 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】大于 2000 小于 3000 的四位数,首位数字只能为 2,所以后三位数字之和为 7,后三位数字都有可能为0,为使用隔板法,先将它们变成至少为 1 的数,可以将每个数都加上 1,这样它们的和为 10,且每个数都至少为 1,那么采用隔板法,相当于在 9 个间隔中选择 2 个插入隔板,有2936C 种方法,所以满足题意的四位数有 36 个【答案】36【例例 9 9】 兔妈妈摘了 15 个相同的磨菇,分装在 3 个相同的筐子里,如果不允许有空筐,共有多少种不同的装法?如果分装在 3 个不同的筐子里,不允许有空筐,又有多少种不同的装法?【考点】计数之插板法 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】分装在 3 个相同的筐子里,两种不同的装法意味着这两种装法中 3 个筐子里的蘑菇数量不完全相同可以进行分类讨论：每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能6如果每个筐至少有5个,有1种情况; 如果每个筐至少有4个,则相当于把15433个蘑菇分装在 3 个筐子里,且至少有 1 个筐子是空的(否则没有筐子是空的,将与中的情况相同),有(0,0,3)和(0,1,2)2种情况; 如果每个筐至少有3个,则相当于把 6 个蘑菇分装在 3 个筐子里,且至少有 1 个筐子是空的,有(0,0,6),(0,1,5),(0,2,4)和(0,3,3)4种情况; 如果每个筐至少有2个,类似分析可知有5种情况; 如果每个筐至少有1个,类似分析可知有7种情况所以共有1245719种不同的装法 如果分装在 3 个不同的筐子里,不允许有空筐,可以把这 15 个蘑菇排成一列,中间有 14 个间隔,现在用两个板去隔,每个间隔最多放一个板这 2 个板的每一种放法都把 15 个蘑菇分成 3 份,所以这两个板的每一种放法都对应一种装蘑菇的方法而板的放法有21491C种,所以装蘑菇的不同方法有91 种【答案】91