1第五章第五章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法 (一一) Poisson方程方程（二）差分格式的性质（二）差分格式的性质（三）边界条件的处理（三）边界条件的处理（四）变系数方程（四）变系数方程（五）双调和方程（五）双调和方程（六）特征值问题（六）特征值问题2(一一) Poisson方程方程区域以及边界离散区域以及边界离散4内点内点边界点边界点 返回返回5 返回返回1.五点差分格式五点差分格式利用Taylor级数展开有则则8 由于上差分方程中由于上差分方程中只出现只出现u在在(i,j)及其四个及其四个临点上的值临点上的值, 故称为五故称为五点差分格式点差分格式Possion方程第一边值问题的差分逼近为方程第一边值问题的差分逼近为改写为代数方程改写为代数方程, 仅考虑仅考虑解：解：11 先仅下标先仅下标 j 小的未知量放前面小的未知量放前面, 相同的相同的 j 的再按的再按 i 从小到大顺利排列从小到大顺利排列11按自然顺序排列网点按自然顺序排列网点(i,j)按自然顺序排列网点按自然顺序排列网点(i,j)定义向量定义向量于是差分方程为于是差分方程为:12分析系数矩阵分析系数矩阵H对于第一个结点对于第一个结点(1,1), 未知节点未知节点分析系数矩阵分析系数矩阵H对于第二个结点对于第二个结点(2,1), 分析系数矩阵分析系数矩阵H对于前对于前I个结点个结点, 系数矩阵系数矩阵H为为 五点差分格式五点差分格式等价于等价于B,I为为I维方阵维方阵, H为为I*J维方阵维方阵对于第一个结点对于第一个结点, 即即例：例：17同理同理, 对于另外三个结点对于另外三个结点, 分别有分别有联立联立, 有线性代数方程组有线性代数方程组18计算机实现计算机实现五点差分格式的系数矩阵五点差分格式的系数矩阵算法算法程序程序返回返回19五点差分格式的系数矩阵五点差分格式的系数矩阵对对possion方程第一边值问题建立五点差分格式方程第一边值问题建立五点差分格式将双下标数列将双下标数列ui,j按自然顺序排成单下标按自然顺序排成单下标uk,那么那么20这样有代数方程组这样有代数方程组Hu=g, 其中其中21这样有代数方程组这样有代数方程组Hu=g, 其中其中H是稀疏矩阵是稀疏矩阵, 每一每一行最多行最多5个数不为个数不为0H是对角占优矩阵是对角占优矩阵H是对称正定是对称正定课堂练习课堂练习23 微分方程微分方程差分格式差分格式真解真解u=u(x,y)真解真解u=un实用性分析实用性分析实用性分析实用性分析 相相容容性性收收敛敛性性 稳定性稳定性椭圆型方程收敛性分析区别于双曲与抛物方程椭圆型方程收敛性分析区别于双曲与抛物方程椭圆型方程收敛性分析区别于双曲与抛物方程椭圆型方程收敛性分析区别于双曲与抛物方程对于双曲与抛物方程：对于双曲与抛物方程：24 相容性相容性所以五点差分格式是相容的所以五点差分格式是相容的.2.九点差分格式九点差分格式27四阶精度四阶精度3 3 极坐标形式的差分格式极坐标形式的差分格式若求解域是圆环、环形域或扇形域，若求解域是圆环、环形域或扇形域，则采用极坐标是方便的，此时则采用极坐标是方便的，此时Poisson方程形如方程形如任意点任意点用中心差商公式用中心差商公式分别取等步长分别取等步长下面用有限体积法获得在点下面用有限体积法获得在点 的的差分方程差分方程用用r乘方程乘方程上积分上积分并对得到的方程在并对得到的方程在用中心差商代替上面的微商，并用用中心差商代替上面的微商，并用 除得除得利用中矩形公式积分得利用中矩形公式积分得P1411. 用五点差分格式求解用五点差分格式求解Poisson方程方程 的边值问题的边值问题其中其中作业作业