材料加工过程的数值模拟微观组织数值模拟(V)任课教师: 王锦程Office：公字楼216Tel ：029-88460650(O)Email ： jchwangnwpu.edu.cn The Cahn-Hilliard Equation(for conserved quantities)The Ginzbug-Landau (Allen-Cahn) Equation(for non-conserved quantities)描述同构相变过程中，只涉及到成分场 的变化，成分场 变化采用Cahn-Hilliard方程描述：M为化学迁移率，一般为系统成分和温度的函数。这类模型可描述同构相变过程系统化学自由能密度梯度能系数弹性能Ni-Al合金系统析出过程(1,2, 3): (1,1,1)0, (-1,-1,1)0, (-1,1,-1)0, (1,-1,-1)0Landau多项式自由能形式三个序参量场一个序参量场11111112214433CALPHAD自由能形式高斯散度定理平衡方程（物质或能量守恒）微分方程随时间的变化率通量的散度内部的源或汇化学势变分是求泛函的极值广义菲克定律化学势梯度，扩散的驱动力守恒序参量非守恒序参量场量变化速率与驱动力成正比序参量可看成广义坐标，能量对坐标的变分导数，类似于能量对广义坐标的微分导数，可看成广义力，即驱动力。粘性弛豫：运动速度（广义坐标的变化率）与驱动力成正比（最简单的情形）。相场模型建立步骤：1.分析问题的物理背景，确定描述该体系组织演变的序参量2.根据所确定的序参量，建立描述体系各状态的统一自由能形式3.根据序参量特性，确定相应的动力学方程4.确定模型中的各种参数5.确定是否考虑系统中可能存在的各向异性6.确定是否需要考虑系统的随机涨落7.选择合适的数值算法求解偏微分方程组相场法应用实例（II） 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 1.序参量确定序参量确定2.自由能密度函数确定自由能密度函数确定3.相场动力学方程相场动力学方程4.温度场方程温度场方程5.相场参数确定相场参数确定（渐近分析法，平衡解法）（渐近分析法，平衡解法）6.各向异性各向异性7.噪声噪声对于一个封闭空间Rd，材料由界面(t)Rd-1分割为固/液两态。对于纯物质有枝晶生长：典型的Stefan 问题（自由边界问题） 远场条件尖锐尖锐界面界面模型模型需跟踪界面kinetic mobility传热方程界面守恒Gibbs-Thomson关系（曲率效应）Gibbs-Thompson 系数纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。 自由能密度写为序参量的级数展开形式：序参量平衡值的确定:自由能密度函数的构造(1)在凝固点Tm进行泰勒展开：其中：其中：当T=Tm时：在 T=TM时，固相与液相的自由能相等选取：选取：This term tilts the free energy wells up/down, allowing for discontinuous change in as T goes through 1st order transition at TM。最终得到：最终得到：极小值在：极小值在：由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态，令由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态，令其取值为其取值为0， 可将可将 f(,T) 重新写为如下形式：重新写为如下形式：The “Double-Well” Free Energy Density是一个双阱曲线，其在 处，取最小值，对应着固相和液相。 选择如此形式要满足：当 时，其导数 ，从而保证曲线独立于温度，在 处（即固相和液相）取极小值，而使体系处于稳态；同时 满足 时 ， 时Need a thermodynamic state function in terms of and so that solidliquiddegree oforderingand a penalty for isothermally transforming from solid to liquid 自由能函数的构造(2)Assembling the Free Energy Function“classic” Gibbs free energy of transformation can be set to zero,if liqid component A is taken as the reference statemelting temperature当时故Trends in the Free Energyliquidsolid系统自由能liquidInterfacepenaltywithout solidwith 相场动力学方程Solid s=1 liquid L=0propagation of interface根据标准热传导方程:考虑固/液界面熵的变化：温度场方程This (phenomenological) term accounts for the release of latent heat as the interface advancesThis is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heatWFourier定律 纯物质凝固相场模型Karma纯物质凝固相场模型A. Karma and W.J. Rappel PRE 1998, 57:4323固相：液相：The phase-field (order parameter) and temperature field approach sharp-interface profiles when w0p渐近性分析的目的是将相场模型与尖锐界面模型联系起来，从而证明相场法在解决自由边界问题的适用性。分析的原理是选取界面厚度远小于某一物理尺度，尺度上的巨大差异可以采用扰动展开法来解决。相场模型参数获取方法：渐近分析尖锐界面模型相场模型？渐近分析渐近分析Interface kinetic coefficientCapillary lengthNote the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996)相场模型的极限形式p一维稳态解在相场方程中引入的各个系数都不是一个可测量的物理参数。为了解这些设定参数与宏观可测量的物理参量间的关系，考虑一维相变系统，其在区域(-(- , ,0)0)是固相，在区域(0,(0, ) )是液相,在x=0附近存在一个平直扩散界面。假设T=TM=常数，该界面将保持不动。对这种情形，相场方程变为相场模型参数获取方法：平衡解液固共存系统的界面自由能p界面自由能或表面张力是扩散界面内的自由能的总和，可算出表面张力为：The EndThe End