第9课 不等式与不等式组 1 1定义：定义：(1)用用 连接起来的式子叫做不等式；连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做使不等式成立的未知数的值叫做 ；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做 ；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式程，叫做解不等式要点梳理要点梳理不等号不等号不等式的解不等式的解不等式的解集不等式的解集2不等式的基本性质：不等式的基本性质： (1)不等式两边都不等式两边都 同一个数或同一个整式，同一个数或同一个整式， 不等式仍然成立；若不等式仍然成立；若ab，则，则acbc. (2)不等式两边都不等式两边都 同一个正数，不等式仍然同一个正数，不等式仍然 成立；若成立；若ab，c0，则，则acbc， . (3)不等式两边都不等式两边都 同一个负数，改变不等号同一个负数，改变不等号 的方向，改变后不等式仍能成立；若的方向，改变后不等式仍能成立；若ab，c0，则，则 acbc， b，得，得acbc B由由ab，得，得2ab，得，得ab D由由ab，得，得a2b，又，又20，得，得2a1在数轴上表示正确的是在数轴上表示正确的是() 解析：解析：x1不包括不包括1，可排除，可排除B、D，而，而A表示表示x1，故选，故选C.C3(2011潜江潜江)某不等式组的解集在数轴上表示如图，则某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是这个不等式组可能是() A. B. C. D. 解析：观察解集在数轴上的表示，可知解析：观察解集在数轴上的表示，可知x2且且x3.B4(2011苏州苏州)不等式组不等式组 的所有整数解之和是的所有整数解之和是() A9 B12 C13 D15 解析：解析： 解之，得解之，得3x6， 整数整数x3或或4或或5，其和为，其和为34512.B5(2011日照日照)若不等式若不等式2x4的解都能使关于的解都能使关于x的一次不等式的一次不等式(a1)xa5成立，则成立，则a的取值范围是的取值范围是() A1a7 Ba7 Ca1或或a7 Da7 解析：由解析：由2x4得得x2； 由由(a1)xa5，得，得，x0，a1. 又又x2使使(a1)xa5成立，成立， 所以所以2 ，2(a1)a5，a7，故，故1a7.A题型一不等式的性质题型一不等式的性质【例例 1】 若若ab0，则下列式子：，则下列式子：a11；abab； 中，正确的有中，正确的有() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：解析：ab0，a1b11. 而而ab0， abab. 0. 正确的有正确的有、，应选，应选C.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析C探究提高探究提高 将一个不等式两边同时加上将一个不等式两边同时加上(或减去或减去)同一个数，不等号方向同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以或除以)同一个不确定同一个不确定的数，则需要进行分类讨论的数，则需要进行分类讨论知能迁移知能迁移1(1)若若ab，则下列各式中一定成立的是，则下列各式中一定成立的是() Aa1 Cab Dacbc 解析：解析：ab，a10 Bab0 Cab0 D|a|b|0 解析：解析：b0|a|，ab0正确，应选正确，应选C.C题型二一元一次不等式解法题型二一元一次不等式解法【例例 2】解不等式解不等式5x122(4x3)，并把它的解集在数轴上，并把它的解集在数轴上表示出表示出 解：解：5x122(4x3)， 5x128x6, 5x8x612， 3x6， x2. 在数轴表示如下：在数轴表示如下：探究提高探究提高 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数时，需要看清未知数的系数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变号方向改变知能迁移知能迁移2解不等式，并把解集在数轴上表示出来：解不等式，并把解集在数轴上表示出来： 1 2x5. 解：解： 1 2x5， 3(x1)2x14x10， 3x32x14x10， 3xx4x11032，2x10， x5.题型三一元一次不等式组的解法题型三一元一次不等式组的解法【例例3】解不等式组解不等式组 并写出该不等式并写出该不等式组的整数解组的整数解 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：由解：由得得x1， 22分分 由由得得x2， 44分分 2x1，整数，整数x1或或0或或1. 55分分 答：原不等式组的整数解是答：原不等式组的整数解是1,0,1. 66分分 探究提高探究提高 求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“两大取其两大取其大，两小取其小，大小取其中，无中不相容大，两小取其小，大小取其中，无中不相容”或利用数轴求或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解知能迁移知能迁移3 (1)解不等式组解不等式组 并把它的解表示在数轴集上并把它的解表示在数轴集上 解：解： 3x2.(2)解不等式：解不等式：1 6. 解：解：1 6， 32x118，22x19，1x9.5.(3)已知关于已知关于x的不等式组只有四个整数解，求实数的不等式组只有四个整数解，求实数a的取值范围的取值范围 解：原不等式组的解集是解：原不等式组的解集是ax2，四个整数解指，四个整数解指1,0,1,2, 30. 解：解：x29(x3)(x3)，(x3)(x3)0. 由有理数的乘法法则由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正两数相乘，同号得正”，得，得 (1) (2) 解不等式组解不等式组(1)，得，得x3， 解不等式组解不等式组(2)，得，得x0的解集为的解集为x3或或x0的解集为的解集为x3或或x3. 问题：求分式不等式问题：求分式不等式 0的解集的解集解：解： 0， 或或 解不等式组解不等式组，无解；解不等式组，无解；解不等式组得得 x . 即不等式即不等式 0的解集是的解集是 x .探究提高探究提高 本题应用有理数的乘除法法则本题应用有理数的乘除法法则“两数相乘除，同号得正，两数相乘除，同号得正，异号得负异号得负”分类讨论因式、分子、分母的正负，列出不等分类讨论因式、分子、分母的正负，列出不等式组，解出不等式组，即得原不等式的解集这里也体现了式组，解出不等式组，即得原不等式的解集这里也体现了转化的数学思想转化的数学思想知能迁移知能迁移4(1)已知方程组已知方程组 的解满足不等式的解满足不等式4x5y9，求，求a的取值范围的取值范围 解：解： 又又4x5y9， 4(5a)5(a5)9， 20a5a259, 25a34，a .(2)设关于设关于x的不等式组的不等式组 无解，求无解，求m的取值范围的取值范围 解：解： 不等式组无解，不等式组无解， ，3(m2)2(2m1)， 3m64m2, 3m4m26， m8，m8.5 5明确不等式组解集的意义明确不等式组解集的意义试题已知关于试题已知关于x的不等式组的不等式组 的整数解共有的整数解共有5个，个，求求a的取值范围的取值范围学生答案展示学生答案展示 解：由不等式组解：由不等式组 得得 又因为不等式组有又因为不等式组有5个整数解，个整数解， 所以所以ax2，这，这5个整数解应是个整数解应是3,2,1,0,1， 所以所以a3.易错警示易错警示剖析剖析 本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解，此例错在忽视了在的一元一次不等式组的特解，此例错在忽视了在ax2中有中有5个个整数解时，整数解时，a虽不唯一，但也有一定限制，虽不唯一，但也有一定限制，a的取值范围在的取值范围在3与与4之间的任一处，其中包括之间的任一处，其中包括3但不包括但不包括4，所以在确定，所以在确定a的的取值范围时扩大了解的范围取值范围时扩大了解的范围正解正解 由由 得得 又因不等式组有又因不等式组有5个整数解，个整数解， 所以所以ax2.则知这则知这5个整数解应是个整数解应是3,2,1,0,1， 所以所以a的取值范围是的取值范围是4a3.批阅笔记批阅笔记 本题主要考查逆向思维，一定要明确不等式组解集的意义，本题主要考查逆向思维，一定要明确不等式组解集的意义，可画数轴直观理解，如下图：可画数轴直观理解，如下图： 注意，包括注意，包括4则不等式组有则不等式组有6个整数解了个整数解了方法与技巧方法与技巧1. 可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式，比较它们之间可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式，比较它们之间的共同点和不同之处有助于准确掌握概念，有助于花较少的精的共同点和不同之处有助于准确掌握概念，有助于花较少的精力较好地掌握解题技能力较好地掌握解题技能2. 解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是最后一个步骤上有所变化所以，在熟练了解一元一次方程的最后一个步骤上有所变化所以，在熟练了解一元一次方程的基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力，细心完成好基础上，解好一元一次不等式的关键是集中精力，细心完成好最后一步最后一步用未知数的系数去除不等式的两边在这一步的用未知数的系数去除不等式的两边在这一步的思考上，应分三步：由思考上，应分三步：由(未知数未知数)系数的正负，确定原不等号的方系数的正负，确定原不等号的方向是否改变；由不等号两边的符号，确定商的符号；弄清谁除向是否改变；由不等号两边的符号，确定商的符号；弄清谁除谁，而不弄错商的绝对值谁，而不弄错商的绝对值思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3. 对于解得的一元一次不等式对于解得的一元一次不等式(组组)的解集是否正确，可以用以下的解集是否正确，可以用以下方法检验：第一步，把解集的端点值分别代入原不等式的左方法检验：第一步，把解集的端点值分别代入原不等式的左边和右边，两边计算出来的数值应当相等；第二步，在所得边和右边，两边计算出来的数值应当相等；第二步，在所得解集中选一个，在代入原不等式的左边或右边后，计算比较解集中选一个，在代入原不等式的左边或右边后，计算比较简便的数，代入原不等式，原不等式应当成立简便的数，代入原不等式，原不等式应当成立失误与防范失误与防范1. 解一元一次不等式的一般步骤是：解一元一次不等式的一般步骤是：(1)去分母；去分母；(2)去括号；去括号；(3)移移项；项；(4)合并同类项；合并同类项；(5)系数化为系数化为1.首先在去分母时，容易漏乘首先在去分母时，容易漏乘了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为1时，不等式的两边同时乘以时，不等式的两边同时乘以(或除以或除以)了相同的负数，不等号的了相同的负数，不等号的方向没有改变，这些都是常见的错误方向没有改变，这些都是常见的错误2. 解不等式组，需要先解出每一个不等式的解，最后找出它们的公解不等式组，需要先解出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分解不等式在作变形时，一定要使用同解变形，不然就会共部分解不等式在作变形时，一定要使用同解变形，不然就会出错出错3. “”、“”分别表示分别表示“大于或等于大于或等于”、“小于或等于小于或等于”的意思，的意思，二者只要其中一项成立，则由二者只要其中一项成立，则由“”、“”连接的不等式即成连接的不等式即成立，它们都包括后面连接的数立，它们都包括后面连接的数“非负整数非负整数”即即“不是负整数不是负整数”，包含了，包含了0和正整数，此时和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解易被忽略，从而造成漏解完成考点跟踪训练 9只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，