一、数列的概念与简单的表示法：一、数列的概念与简单的表示法：1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列.3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。二、等差数列与等比数列二、等差数列与等比数列(其基本知识内容请看下表）：其基本知识内容请看下表）：注意：注意：（1）若）若an+1an恒成立，则恒成立，则an为递增数列（为递增数列（2）若）若an+10,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那那 么么a3+a5的值等于的值等于 （ ）A.5 B.1 C.15 D.10A例例1、在等差数列、在等差数列 a n 中，中，a 1 a 4 a 8 a 12 + a 15 = 2，求求 a 3 + a 13 的值。的值。解：由题解：由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8 a 8 = 2故故 a 3 + a 13 = 2a 8 = 4例例2、已知、已知 a n 是等比数列，且是等比数列，且 a 2a 4 + 2a 3a 5 + a 4a 6 = 25，a n 0，求，求 a 3 + a 5 的值。的值。解：由题解：由题 a 32 = a 2a 4， a 52 = a 4a 6， a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25即即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25故故 a 3 + a 5 = 5 a n 0典例分析：典例分析：一、等差数列与等比数列性质的灵活运用一、等差数列与等比数列性质的灵活运用例例2.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列前多少项的和最小?分析分析: :如果等差数列如果等差数列an由负数递增到正数，或者由由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前正数递减到负数，那么前n项和项和Sn有如下性质：有如下性质：当当a10,d0时时,当当a10,d0时时,思路思路1：寻求通项：寻求通项 n取取10或或11时时Sn取最小值取最小值即：即：易知由于二、等差数列的最值问题二、等差数列的最值问题例例2.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列前多少项的和最小?分析分析:等差数列等差数列an的通项的通项an是关于是关于n的的一次式一次式,前项和前项和Sn是关于是关于n的的二次式二次式(缺常数项缺常数项).求等差数列的前求等差数列的前n项和项和 Sn的最大最小值可用解决的最大最小值可用解决二次函数的最值二次函数的最值问题的方法问题的方法.思路思路2：从：从函数函数的角度来分析的角度来分析数列数列问题问题.设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,则由题意得则由题意得: a10, d0, Sn有最小值有最小值.又又nN*, n=10或或n=11时时,Sn取最小值取最小值即：即：例例2.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小该数列前多少项和最小?分析分析:数列的图象是一群孤立的点数列的图象是一群孤立的点,数列前数列前 n项和项和Sn 的图象也是一的图象也是一群孤立的点群孤立的点.此题等差数列前此题等差数列前n项和项和Sn的图象是在抛物线上一群孤的图象是在抛物线上一群孤立的点立的点.求求Sn的最大最小值即要求的最大最小值即要求距离距离对称轴对称轴最近最近的正整数的正整数n.因为因为S9=S12,又又S1=a10,所以所以Sn 的图象所在的抛物线的的图象所在的抛物线的对称轴为直线对称轴为直线n=(9+12) 2=10.5,所以所以Sn有最小值有最小值 数列数列an的前的前10项或前项或前11项和最小项和最小nSnon=10.5类比类比:二次函数二次函数f(x),若若 f(9)=f(12),则函数则函数f(x)图象图象的对称轴为的对称轴为直线x=(9+12) 2=10.5若若f(x+2)=f(2-x),则函数则函数f(x)图象的对称轴为图象的对称轴为 直线直线x=2思路思路3：函数图像、数形结合：函数图像、数形结合令令故开口向上故开口向上过原点抛物线过原点抛物线 设等差数列设等差数列 an 的公差为的公差为d,等比数列等比数列 bn 的公比为的公比为 ，则由题意得，则由题意得解析：解析：通项特征：通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：求和方法：错位相减法错位相减法错项法错项法例例3 已知数列已知数列an是等差数列，数列是等差数列，数列bn是等比数列，又是等比数列，又a1b1(1) 求数列求数列an及数列及数列bn的通项公式；的通项公式；(2) 设设cn=anbn求数列求数列cn的前的前n项和项和Sn1 ，a2b22，a3 b3 = 三、等差、等比数列的综合应用三、等差、等比数列的综合应用 解析：解析： 两式相减：两式相减：两式相减：两式相减： 错位相错位相减法减法例例4、一个等差数列的前、一个等差数列的前 12 项的和为项的和为 354，前，前 12 项中的偶项中的偶数项的和与奇数项的和之比为数项的和与奇数项的和之比为 32 ：27，求公差，求公差 d. 6d = S偶偶 S 奇奇故故 d = 5四、有关项与和的问题：四、有关项与和的问题：例例5. 已知已知 是两个等差数列，前是两个等差数列，前 项和项和分别是分别是 和和 且且 求求分析：分析：结论：结论：【思路一】解解：【思路二思路二】令：令：则则五、走进高考：五、走进高考：（2009年山东（文）20T）等比数列 的前n项和为S，已知对任意的点均在函数的图像上（）求的值；（）当记，求数列的前项和