LOGO 全国计算机二级公共基础知识全国计算机二级公共基础知识- -算法与数据结构部分算法与数据结构部分湖南工学院湖南工学院1. 基本数据结构与算法1.1 算法1.1.1算法(algorithm)基本概念对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。它是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。算法具有有穷性有穷性、确定性确定性、可行性可行性、拥拥有足够的情报有足够的情报(输入输入和输出输出)等个重要特性。1.1.2算法的基本要素1、对数据对象的运算和操作算术运算逻辑运算关系运算数据传输2、算法的控制结构算法中各操作之间的执行顺序描述算法的工具通常有传统流程图、N-S结构化流程图、算法描述语言等一个算法一般可以用顺序、选择、循环顺序、选择、循环三种基本机构组合而成。1.2 算法复杂度1.2.1时间复杂度依据算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。通常有事后统计法和事前分析估算法。一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环）和原操作构成的，算法时间取决于两者的综合效果。算法中基本操作重复执行次数n和算法执行时间同步增长，称作算法的时间复杂度。1.2.2算法的空间复杂度一般是指执行这个算法所需要的内存空间一个算法所占用的存储空间包括算法程序所占的空间、输入的初始数据所占的存储空间以及某种数据结构所需要的附加存储空间一个上机执行的程序除了需要存储空间来寄存本身所用指令、常数、变量和输入数据外，也需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。例题讲解v算法的时间复杂度是指A)执行算法程序所需要的时间B)算法程序的长度C)算法执行过程中所需要的基本运算次数D)算法程序中的指令条数v算法的基本特征是可行性、确定性、【1】和拥有足够的情报。v算法的空间复杂度是指A)算法程序的长度B)算法程序中的指令条数C)算法程序所占的存储空间D)执行过程中所需要的存储空间v在计算机中，算法是指A)加工方法B)解题方案的准确而完整的描述C)排序方法D)查询方法v算法分析的目的是A)找出数据结构的合理性B)找出算法中输入和输出之间的关系C)分析算法的易懂性和可靠性 D)分析算法的效率以求改进v算法的工作量大小和实现算法所需的存储单元多少分别称为算法的【1】。1.2 数据结构v数据结构的定义v数据的逻辑结构和存储结构v数据结构的图形表示v线性结构与非线性结构v特点：l每个学生的信息占据一行，所有学生的信息按学号顺序依次排列构成一张表格； l表中每个学生的信息依据学号的大小存在着一种前后关系，这就是我们所说的线性结构； l对它的操作通常是插入某个学生的信息，删除某个学生的信息，更新某个学生的信息，按条件检索某个学生的信息等等。应用举例2输出n个对象的全排列输出n个对象的全排列可以使用下图1-1所示的形式描述。图图图图 1-131-13个对象的全排列过程个对象的全排列过程个对象的全排列过程个对象的全排列过程v特点： l在求解过程中，所处理的数据之间具有层次关系，这是我们所说的树形结构； l对它的操作有：建立树形结构，输出最低层结点内容等等。应用举例3制定教学计划在制定教学计划时，需要考虑各门课程的开设顺序。有些课程需要先导课程，有些课程则不需要，而有些课程又是其他课程的先导课程。比如，计算机专业课程的开设情况如下表1-2所示：v课程先后关系的图形描形式：c1c9c4c2c12c10c11c5c3c6c7c8图图图图 1-21-2计算机专业必修课程开设先后关系计算机专业必修课程开设先后关系计算机专业必修课程开设先后关系计算机专业必修课程开设先后关系v特点 l 课程之间的先后关系用图结构描述； l 通过实施创建图结构，按要求将图结构中的顶点进行线性排序。v结论：结论：数据结构主要研究以下三个方面的问题：数据结构主要研究以下三个方面的问题：数据的逻辑结构数据的存储结构对各种数据结构进行的运算数据结构是一门研究数据结构是一门研究数据数据组织组织、存储存储和和运算运算的一般方法的学科。的一般方法的学科。1.2.2 基本概念和术语数据元素数据元素(Data Element)(Data Element) 数据元素是数据的基本单位，即数据数据元素是数据的基本单位，即数据集合中的个体。集合中的个体。 有时一个数据元素可由若干有时一个数据元素可由若干数据项数据项(Data Item)(Data Item)组成。数据项是数据的最小组成。数据项是数据的最小单位。单位。数据元素亦称数据元素亦称节点节点或或记录记录。数据结构可描述为数据结构可描述为Group=（D，R）有限个数据元素的集合有限个数据元素的集合有限个节点间关系的集合有限个节点间关系的集合 1数据的逻辑结构 2、数据的存储结构 3、数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等。 A线性结构 B非线性结构A 顺序存储 B 链式存储 线性表栈队树形结构图形结构数据结构的三个方面 数据结构可描述为数据结构可描述为Group=（D，R）线性结构线性结构A , B , C , ，X ,Y , Z学 生 成 绩 表86胡孝臣986110395刘忠赏9861107100张卓9861109成绩姓名学号线性表线性表结点间是以线性关系联结结点间是以线性关系联结元素n.元素i.元素2元素1LoLo+mLo+(i-1)*mLo+（n-1)*m存储地址存储内容Loc(a)=Lo+（i-1)*m顺序存储每个元素所占用每个元素所占用的存储单元个数的存储单元个数元素n.元素i.元素2元素1存储内容顺序存储结构常用于线性顺序存储结构常用于线性数据结构，将逻辑上相邻数据结构，将逻辑上相邻的数据元素存储在物理上的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里。相邻的存储单元里。顺序存储结构的三个弱点：顺序存储结构的三个弱点：1.作插入或删除操作时，需移动大量元数。作插入或删除操作时，需移动大量元数。2.长度变化较大时，需按最大空间分配。长度变化较大时，需按最大空间分配。3.表的容量难以扩充。表的容量难以扩充。1536元素21400元素11346元素3元素41345h 链式存储 每个节点都由两部分组成：每个节点都由两部分组成：数据域数据域和和指针域指针域。数据域数据域存放元素本身的数据，存放元素本身的数据，指针域指针域存放指针。存放指针。数据元素之间逻辑上的联系由指针来体现数据元素之间逻辑上的联系由指针来体现。1536元素21400元素11346元素3元素4head 1346 元素3 1536 . . . 1536 元素2 1400 . . . 元素4 1346 1400 元素1 1345 指针 存储内容存储地址 链式存储 13451536元素21400元素11346元素3元素41345h 链式存储 1.比顺序存储结构的存储密度小比顺序存储结构的存储密度小(每个节点都由数据域和指针愈组成每个节点都由数据域和指针愈组成)。2.逻辑上相邻的节点物理上不必相邻。逻辑上相邻的节点物理上不必相邻。3.插入、删除灵活插入、删除灵活(不必移动节点，只要改变节点中的指针不必移动节点，只要改变节点中的指针)。链接存储结构特点：链接存储结构特点： 线性结构和非线性结构v如果一个非空的数据结构满足下列两个条件：有且只有一个根结点；每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件则称该数据结构为线性结构（线性表）。v如果一个数据结构不是线性结构，则称之为非线性结构。例题讲解v链表不具有的特点是A)不必事先估计存储空间B)可随机访问任一元素C)插入删除不需要移动元素D)所需空间与线性表长度成正比v数据结构分为逻辑结构与存储结构，线性链表属于【1】。v数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的A)存储结构B)物理结构C)逻辑结构D)物理和存储结构v数据的逻辑结构有线性结构和【1】两大类。v顺序存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置【2】的存储单元中。v数据处理的最小单位是A)数据B)数据元素C)数据项D)数据结构v数据结构作为计算机的一门学科，主要研究数据的逻辑结构、对各种数据结构进行的运算，以及A)数据的存储结构B)计算方法C)数据映象D)逻辑存储v线性表的顺序存储结构和线性表的链式存储结构分别是A)顺序存取的存储结构、顺序存取的存储结构B)随机存取的存储结构、顺序存取的存储结构C)随机存取的存储结构、随机存取的存储结构D)任意存取的存储结构、任意存取的存储结构v根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分成A)动态结构和静态结构B)紧凑结构和非紧凑结构C)线性结构和非线性结构D)内部结构和外部结构v数据结构包括数据的逻辑结构、数据的【2】以及对数据的操作运算。v数据的基本单位是【5】。v下列叙述中，错误的是A)数据的存储结构与数据处理的效率密切相关B)数据的存储结构与数据处理的效率无关C)数据的存储结构在计算机中所占的空间不一定是连续的D)一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构v数据的存储结构是指A）数据所占的存储空间B）数据的逻辑结构在计算机中的表示C）数据在计算机中的顺序存储方式D）存储在外存中的数据2.3 线性表2.3.1线性表的定义线性表是线性表是n个元素的有限序列，它们之间的关个元素的有限序列，它们之间的关系可以排成一个线性序列：系可以排成一个线性序列：a1，a2，ai，an其中其中n称作表的长度，当称作表的长度，当n=0时，称作空表。时，称作空表。线性表的特点：线性表的特点：1.线性表中所有元素的性质相同。线性表中所有元素的性质相同。2.除第一个和最后一个数据元素之外，其它数据元除第一个和最后一个数据元素之外，其它数据元素有且仅有一个前驱和一个后继。第一个数据元素有且仅有一个前驱和一个后继。第一个数据元素无前驱，最后一个数据元素无后继。素无前驱，最后一个数据元素无后继。3.数据元素在表中的位置只取决于它自身的序号。数据元素在表中的位置只取决于它自身的序号。v在线性表上常用的运算有：在线性表上常用的运算有：初始化、求长度、取元素、修改、初始化、求长度、取元素、修改、前插、删除、检索、排序。前插、删除、检索、排序。2.3.2 线性表的顺序存储结构及其插入与删除操作v特点：特点：1、线性表中数据元素类型一致，只有数据、线性表中数据元素类型一致，只有数据域，存储空间利用率高。域，存储空间利用率高。2、所有元素所占的存储空间是连续的、所有元素所占的存储空间是连续的3、各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序、各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的依次存放的4.做插入、删除时需移动大量元素。做插入、删除时需移动大量元素。5.空间估计不明时，按最大空间分配。空间估计不明时，按最大空间分配。元素元素a an n.元素元素a ai i.元素元素a a2 2元素元素a a1 1bb+mb+(i-1)*mb+(maxlen-1)*m存储地址存储地址内存状态内存状态Loc(元素元素i)=b+（i-1)*m顺序存储结构示意图顺序存储结构示意图(顺序表顺序表)：首地址首地址起始地址起始地址基地址基地址每个元素所占用每个元素所占用的存储单元个数的存储单元个数元素元素a a1 1元素元素a a2 2.元素元素a ai+1i+1.01i线性表的顺序存储结构线性表的顺序存储结构可用可用VB语言中的一维数组来描述语言中的一维数组来描述.DimVMAsinteger;/*V是是数数组组的的名名字字，M是是数数组组大大小小，假假设数组中的元素是整型类型设数组中的元素是整型类型*/第第i个元素的个元素的ai存储地址：存储地址：Loc(ai)=Loc(a1)+(i-1)*mVVViViVm-1Vm-1.a2a1an.ai+1ai01i-1in-11-1插入运算插入运算ai-1.a2a1alengthai+1aixai-1.a2a1aiai+1alengthalength ai+1aix插入算法的分析假设线性表中含有n个数据元素，在进行插入操作时，若假定在n+1个位置上插入元素的可能性均等，则平均移动元素的个数为：删除算法的分析在进行删除操作时，若假定删除每个元素的可能性均等，则平均移动元素的个数为：分析结论顺序存储结构表示的线性表，在做插入或删除操作时，平均需要移动大约一半的数据元素。当线性表的数据元素量较大，并且经常要对其做插入或删除操作时，这一点需要值得考虑。例题讲解v顺序存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置【2】的存储单元中。v长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为【1】。v线性表L=(a1,a2,a3,ai，an)，下列说法正确的是A)每个元素都有一个直接前件和直接后件B)线性表中至少要有一个元素C)表中诸元素的排列顺序必须是由小到大或由大到小D)除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一个且只有一个直接前件和直接后件v线性表的顺序存储结构和线性表的链式存储结构分别是A)顺序存取的存储结构、顺序存取的存储结构B)随机存取的存储结构、顺序存取的存储结构C)随机存取的存储结构、随机存取的存储结构D)任意存取的存储结构、任意存取的存储结构v根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分成A)动态结构和静态结构B)紧凑结构和非紧凑结构C)线性结构和非线性结构D)内部结构和外部结构v当线性表采用顺序存储结构实现存储时，其主要特点是【1】。v线性表若采用链式存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址A)必须是连续的 B)部分地址必须是连续的C)一定是不连续的D)连续不连续都可以v下列叙述中，错误的是A)数据的存储结构与数据处理的效率密切相关B)数据的存储结构与数据处理的效率无关C)数据的存储结构在计算机中所占的空间不一定是连续的D)一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构v数据结构数据结构v定义：是指互相之间存在着一种或多种关系的数据元素的集合。v包含三个方面：v1逻辑结构v2存储结构v3各类操作v数据的逻辑结构数据的逻辑结构v（1）表示数据元素的信息v（2）表示数据元素之间的前后关系v它不关心计算机如何去实现，与具体计算机实现无关。v数据的存储结构数据的存储结构v数据结构在计算机中的标识（映像），称为数据的物理结构，或称存储结构。它所研究的是数据结构在计算机中的实现方法。v数据的存储结构数据的存储结构v包括数据结构中元素的表示及元素间关系的表示。数据结构的存储方式有：v顺序存储方法、v链式存储方法、v索引存储方法、v散列存储方法。2.4 栈和队列2.4.1栈和队列的定义栈和队列是两种特殊的线性表，它们是运算是两种特殊的线性表，它们是运算时要受到某些限制的线性表，故也称为时要受到某些限制的线性表，故也称为限定性的数据结构。2.4.1.12.4.1.1栈的定义栈的定义栈栈：限限定定只只能能在在表表的的一一端端进进行行插插入入和和删删除除的的特特殊殊的的线线性性表表, ,此种结构称为此种结构称为后进先出后进先出设栈设栈s=s=（a a1 1，a a2 2，. . . ,a. . . ,ai i，. . . . . . ，a an n），其中其中a a1 1是栈底元素，是栈底元素， a an n是栈顶元素。是栈顶元素。栈顶（栈顶（top)top)：允许插入和删除的一端；：允许插入和删除的一端； 约定约定toptop始终指向新数据元素将存放的位置。始终指向新数据元素将存放的位置。栈底（栈底（bottom):bottom):不允许插入和删除的一端。不允许插入和删除的一端。a1a2.an进栈进栈出栈出栈栈顶栈顶栈底栈底队列的主要运算队列的主要运算（1）设置一个空队列；）设置一个空队列；（2）插入一个新的队尾元素，称为进队；）插入一个新的队尾元素，称为进队；（3）删除队头元素，称为出队；）删除队头元素，称为出队；（4）读取队头元素；）读取队头元素；2.4.1.2队列的定义队列的定义定义：定义：一种特殊的线性结构，限定只能在表的一端进行插入，在表的另一端进行删除的线性表 。此种结构称为先进先出（先进先出（FIFO）表表。a1,a2,a3,a4,an-1,an 队 列 示 意 图队头队尾2.4.2栈的顺序存储结构及其基本运算栈的顺序存储结构及其基本运算a2a1a1a2top用顺序存储结构表示的栈用顺序存储结构表示的栈。顺顺序序栈栈用用一一组组连连续续的的存存储储单单元元存存放放自自栈栈底底到到栈栈顶顶的的数数据据元元素素，一一般般用用一一维维数数组组表表示示，设设置置一一个个简简单单变变量量top指指示示栈栈顶顶位位置置，称称为为栈栈顶顶指指针针，它它始始终终指向待插入元素的位置。指向待插入元素的位置。基本运算：压（进）栈：PUSH出栈：POP 3210 (a)rear=front=-1(队空）队空）e3e4 (c)(c)e1,e2出队，出队，e4入队入队 队队满满rear=4fronte1e2e3 (b)rearfront(b)e1,e2,e3入队入队队空时，队空时，令令rear=front=-1，当有当有新元素入队时，尾指针加新元素入队时，尾指针加1，当有元，当有元素出队时，头指针加素出队时，头指针加1。故在非空队。故在非空队列中，列中，头指针头指针始终指向始终指向队头元素前一队头元素前一个位置个位置，而，而尾指针尾指针始终指向始终指向队尾元素队尾元素的位置的位置2.4.3队列的顺序存储结构及其基本运算队列的顺序存储结构及其基本运算例题讲解v栈和队列的共同特点是A)都是先进先出B)都是先进后出C)只允许在端点处插入和删除元素D)没有共同点v如果进栈序列为e1,e2,e3,e4，则可能的出栈序列是A)e3,e1,e4,e2B)e2,e4,e3,e1C)e3,e4,e1,e2D)任意顺序v一些重要的程序语言(如C语言和Pascal语言)允许过程的递归调用。而实现递归调用中的存储分配通常用A)栈B)堆C)数组D)链表v栈底至栈顶依次存放元素A、B、C、D，在第五个元素E入栈前，栈中元素可以出栈，则出栈序列可能是A)ABCEDB)DCBEAC)DBCEA D)CDABEv栈通常采用的两种存储结构是A)线性存储结构和链表存储结构 B)散列方式和索引方式C)链表存储结构和数组D)线性存储结构和非线性存储结构v栈和队列通常采用的存储结构是【1】。v下列数据结构中，按先进后出原则组织数据的是A)线性链表B)栈C)循环链表D)顺序表v当循环队列非空且队尾指针等于队头指针时，说明循环队列已满，不能进行入队运算。这种情况称为【2】上溢。v由两个栈共享一个存储空间的好处是A)减少存取时间，降低下溢发生的机率B)节省存储空间，降低上溢发生的机率C)减少存取时间，降低上溢发生的机率D)节省存储空间，降低下溢发生的机率v下列关于栈的叙述中正确的是）在栈中只能插入数据B）在栈中只能删除数据C）栈是先进先出的线性表D）栈是后进先出的线性表v下列关于队列的叙述中正确的是）在队列中只能插入数据B）在队列中只能删除数据C）队列是先进先出的线性表D）队列是后进先出的线性表2.5 链表v线性单链表v双向链表v循环链表结构及其基本运算结构及其基本运算2.5.1线性表的链式存储结构线性表的链式存储结构将将线线性性表表的的元元素素放放到到一一个个具具有有头头指指针针的的链链表表中中，链链表表中每个结点包含数据域和指针域。中每个结点包含数据域和指针域。 数数据据域域存存放放数数据据，指指针针域域存存放放后后继继结结点点的的地地址址，最最后后一一个个结结点点的的指指针针域域为为空空。逻逻辑辑上上相相邻邻的的数数据据元元素素在在内内存存中中的物理存储空间不一定相邻。的物理存储空间不一定相邻。上图的线性表为上图的线性表为ZHAO，QIAN，SUN，LI，ZHOU，WU，ZHENG，WANG线性链表表示法线性链表表示法:链式存储结构的特点链式存储结构的特点 插插入入、删删除除灵灵活活方方便便，不不需需要要移移动动结结点点，只只要要改变结点中指针域的值即可。改变结点中指针域的值即可。 适适合合于于线线性性表表是是动动态态变变化化的的, ,不不进进行行频频繁繁查查找找操作、但经常进行插入删除时使用。操作、但经常进行插入删除时使用。 链表的查找只能从头指针开始顺序查找。链表的查找只能从头指针开始顺序查找。 a1a2ana3L.线性表的链式存储结构可用线性表的链式存储结构可用C语言中的语言中的“结构指针结构指针”来描述来描述带头结点的线性链表带头结点的线性链表datanexttypedefstructLNodeintdata;StructLNode*next;JD;babaxPP单链表的插入运算单链表的插入运算S在在P所指向的结点之后插入新的结点所指向的结点之后插入新的结点babaxanaia1a2PPai-1xL单链表的插入运算单链表的插入运算S2.5.2循环链表循环链表:首尾相接的链表。首尾相接的链表。将将最最后后一一个个结结点点的的空空指指针针改改为为指指向向头头结结点点，从从任任一一结结点点出发均可找到其它结点。出发均可找到其它结点。a1a2ana3L.带头结点的单链表带头结点的单链表a1a2ana3L.循环单链表循环单链表2.5.3双向链表双向链表在在每每个个结结点点中中设设置置两两个个指指针针，一一个个指指向向后后继继，一一个个指指向向前前驱驱。可可直直接接确确定定一一个个结结点点的的前前驱驱和和后后继继结结点。可提高效率。点。可提高效率。datanextbefore5.线性表的应用：应用最广的数据结构。线性表的应用：应用最广的数据结构。高级语言中的数组；高级语言中的数组；计算机的文件系统；计算机的文件系统；计算机的目录系统；计算机的目录系统；电话号码查询系统（可采用顺序表或单链表结构电话号码查询系统（可采用顺序表或单链表结构）；）；各各种种事事务务处处理理（各各种种表表格格均均采采用用顺顺序序表表和和线线性性链链表表结结构）构）例题讲解v链表不具有的特点是A)不必事先估计存储空间B)可随机访问任一元素C)插入删除不需要移动元素D)所需空间与线性表长度成正比v用链表表示线性表的优点是A)便于随机存取B)花费的存储空间较顺序存储少C)便于插入和删除操作D)数据元素的物理顺序与逻辑顺序相同v长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为【1】。v线性表L=(a1,a2,a3,ai，an)，下列说法正确的是A)每个元素都有一个直接前件和直接后件B)线性表中至少要有一个元素C)表中诸元素的排列顺序必须是由小到大或由大到小D)除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一个且只有一个直接前件和直接后件v在单链表中，增加头结点的目的是A)方便运算的实现B)使单链表至少有一个结点C)标识表结点中首结点的位置D)说明单链表是线性表的链式存储实现v非空的循环单链表head的尾结点(由p所指向)，满足A)p-next=NULLB)p=NULLC)p-next=headD)p=headv循环链表的主要优点是A)不再需要头指针了B)从表中任一结点出发都能访问到整个链表C)在进行插入、删除运算时，能更好的保证链表不断开D)已知某个结点的位置后，能够容易的找到它的直接前件v线性表的顺序存储结构和线性表的链式存储结构分别是A)顺序存取的存储结构、顺序存取的存储结构B)随机存取的存储结构、顺序存取的存储结构C)随机存取的存储结构、随机存取的存储结构D)任意存取的存储结构、任意存取的存储结构v当循环队列非空且队尾指针等于队头指针时，说明循环队列已满，不能进行入队运算。这种情况称为【2】。v用链表表示线性表的突出优点是【1】。2.6 树v树的基本概念v二叉树的定义及其存储结构v二叉树的前序、中序和后序遍历2.6.1树的定义树的定义由一个或多个结点组成的有限集合由一个或多个结点组成的有限集合。仅有一个根结点，结仅有一个根结点，结点间有明显的层次结构关系。点间有明显的层次结构关系。ACGT2DHIT3JMBELKT1F现实世界中，能用树的结构表示的例子：现实世界中，能用树的结构表示的例子：学学校校的的行行政政关关系系、书书的的层层次次结结构构、人人类类的的家家族族血血缘缘关关系等。系等。介绍几个概念：介绍几个概念：结结点点（Node）：树树中中的的元元素素，包包含含数数据据项项及及若若干干指指向向其其子树的分支。子树的分支。结点的度（结点的度（Degree）：结点拥有的子树数。）：结点拥有的子树数。结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。叶子（叶子（Leaf）：度为零的结点，也称端结点。）：度为零的结点，也称端结点。孩子（孩子（Child）：结点子树的根称为该结点的孩子结点。）：结点子树的根称为该结点的孩子结点。兄弟（兄弟（Sibling）：）：同一双亲的孩子。同一双亲的孩子。双双亲亲（Parent）：孩孩子子结结点点的的上上层层结结点点，称称为为这这些些结结点点的的双亲。双亲。深度（深度（Depth)：树中结点的最大层次数。树中结点的最大层次数。森林（森林（Forest）：）：M棵互不相交的树的集合。棵互不相交的树的集合。ACGT2DHIT3JMBELKT1F2.6.2 二叉树二叉树 （Binary Tree）1、二叉树的定义及其性质、二叉树的定义及其性质(1)二叉树的定义二叉树的定义二叉树的五种基本形态二叉树的五种基本形态二二叉叉树树一一种种特特殊殊的的树树型型结结构构，特特点点是是树树中中每每个个结结点点只只有有两两棵棵子树，且子树有左右之分，次序不能颠倒。子树，且子树有左右之分，次序不能颠倒。空二叉树空二叉树仅有仅有根结点根结点右子树右子树为空为空左子树左子树为空为空左右子树左右子树均非空均非空因因为为树树的的每每个个结结点点的的度度不不同同，存存储储困困难难，使使对对树树的的处处理理算算法法很复杂。所以引出二叉树的讨论。很复杂。所以引出二叉树的讨论。 二叉数是二叉数是n(nn(n 0)0)个结点的有限集合。它或为空个结点的有限集合。它或为空数数(n=0),(n=0),或由一个根结点和两棵分别称为根的左子或由一个根结点和两棵分别称为根的左子树和右子树的互不相交的二叉数组成。树和右子树的互不相交的二叉数组成。 特别要注意：特别要注意：二叉数不是二叉数不是树的特殊情况。树的特殊情况。a aa ab bb b两棵不同的二叉数两棵不同的二叉数A、 二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155第三层上第三层上(i=3)(i=3)，有，有2 23-13-1=4=4个节点。个节点。第四层上第四层上(i=4)(i=4)，有，有2 24-14-1=8=8个节点。个节点。A、 二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。 B、 深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155此树的深度此树的深度h=4h=4，共有，共有2 24 4-1=15-1=15个节点。个节点。A、 二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。B、 深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。C、 若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子结点， 有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1(2)二叉树的基本性质二叉树的基本性质423167891011121314155n n0 0=8=8n n2 2=7=7（3）满二叉树）满二叉树423167891011121314155特点：每一层上都含有最大结点数。特点：每一层上都含有最大结点数。4231678910 11125 非完全二叉树非完全二叉树（4）完全二叉树4231678910 11125 完全二叉树完全二叉树特点：除最后一层外，每一层都取最大结点数，特点：除最后一层外，每一层都取最大结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置。最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置。2、二叉树的存储结构、二叉树的存储结构 (2)链式存储结构链式存储结构T16若父结点在数组中若父结点在数组中i下标处，其左孩子在下标处，其左孩子在2*i处，右孩子在处，右孩子在2*i+1处。处。11ABcFED12 4 8 910563712131415(1)顺序存储结构顺序存储结构(1)顺序存储结构顺序存储结构2h-1= 24-1=15用用一一组组连连续续的的存存储储单单元元存存放放二二叉叉树树的的数数据据元元素素。结结点点在在数数组组中中的的相相对对位置蕴含着结点之间的关系。位置蕴含着结点之间的关系。0000FE000DC0BA15141312111098765432100一般二叉树必须按完全二叉树的形式存储，将造成存储的浪费。一般二叉树必须按完全二叉树的形式存储，将造成存储的浪费。2.6.3二叉树的遍历二叉树的遍历查查找找某某个个结结点点，或或对对二二叉叉树树中中全全部部结结点点进进行行某某种种处处理理，就就需需要要遍遍历。历。（1）遍历定义及遍历算法）遍历定义及遍历算法遍遍历历是是指指按按某某条条搜搜索索路路线线寻寻访访树树中中每每个个结结点点，且且每每个个结结点点只只被被访访问一次。问一次。按先左后右的原则，一般使用三种遍历：按先左后右的原则，一般使用三种遍历：先序遍历先序遍历(DLR):访问根结点，按先序遍历左子树，按先序遍历右子树。访问根结点，按先序遍历左子树，按先序遍历右子树。中序遍历中序遍历(LDR):按中序遍历左子树，访问根结点，按中序遍历右子树。按中序遍历左子树，访问根结点，按中序遍历右子树。后序遍历后序遍历(LRD):按后序遍历左子树，按后序遍历右子树，访问根结点。按后序遍历左子树，按后序遍历右子树，访问根结点。二叉树为空时，执行空操作，即空二叉树已遍历完。二叉树为空时，执行空操作，即空二叉树已遍历完。（2）遍历算法）遍历算法先序遍历：先序遍历：DLR中序遍历：中序遍历：LDR后序遍历：后序遍历：LRDADBCT1T2T3DLRADLRDLRBDCDLR以先序遍历以先序遍历D L RD L R为例演示遍历过程为例演示遍历过程 ABDCBDACDBCA例题讲解v已知二叉树后序遍历序列是dabec，中序遍历序列是debac，它的前序遍历序列是A)acbedB)decabC)deabcD)cedbav已知一棵二叉树前序遍历和中序遍历分别为ABDEGCFH和DBGEACHF，则该二叉树的后序遍历为A)GEDHFBCAB)DGEBHFCAC)ABCDEFGHD)ACBFEDHGv树是结点的集合，它的根结点数目是A)有且只有1B)1或多于1C)0或1D)至少2v在深度为5的满二叉树中，叶子结点的个数为A)32B)31C)16 D)15v若某二叉树的前序遍历访问顺序是abdgcefh，中序遍历访问顺序是dgbaechf，则其后序遍历的结点访问顺序是A)bdgcefhaB)gdbecfhaC)bdgaechfD)gdbehfcav在树结构中，树根结点没有【1】。v下列叙述中正确的是A)线性表是线性结构B)栈与队列是非线性结构C)线性链表是非线性结构D)二叉树是线性结构v具有3个结点的二叉树有A)2种形态B)4种形态C)7种形态D)5种形态v设有下列二叉树：对此二叉树前序遍历的结果为A)ZBTTCPXA B)ATBZXCTPC)ZBTACTXPD)ATBZXCPTv设一棵二叉树中有3个叶子结点，有8个度为1的结点，则该二叉树中总的结点数为A)12B)13C)14D)15v设有下列二叉树：对此二叉树的中序遍历的结果为A)ABCDEFB)DBEAFCC)ABDECFD)DEBFCAv设树T的深度为4,其中度为1、2、3、4的结点个数分别为4、2、1、1。则T中的叶子结点数为A）8B）7C）6D）5v设一棵完全二叉树共有700个结点，则该二叉树中有（）个叶子结点。v在一个容量为15的循环队列中，若头指针front=6，尾指针rear=9，则该循环队列中共有（）个元素。v设一棵二叉树的中序遍历结果为DBEAFC，前序遍历结果为ABDECF，则后序遍历结果为（）。2.7 查找和排序v顺序查找与二分查找算法v基本排序算法（交换类排序、选择类排序、插入类排序）2.7.1 查找v查找是在一个给定的数据结构中，根据给定根据给定的条件查找满足条件的结点的条件查找满足条件的结点。不同的数据结构采用不同的查找方法。查找的效率直接影响数据处理的效率。v查找的结果：查找成功：查找成功：找到满足条件的结点查找失败：查找失败：找不到满足条件的结点。2.7.1.1 顺序查找（线性查找）v查找过程：查找过程：对给定对给定的一关键字的一关键字K，从线性表的一端开始，逐个进行，从线性表的一端开始，逐个进行记录的关键字和记录的关键字和K的比较，直到找到关键字等于的比较，直到找到关键字等于K的记录或的记录或到达表的另一端。到达表的另一端。v可以采用从前向后查，也可采用从后向前查的方法。可以采用从前向后查，也可采用从后向前查的方法。在平均情况下，大约要与表中一半以上元素进行比较，效率在平均情况下，大约要与表中一半以上元素进行比较，效率较低。平均查找长度较大。较低。平均查找长度较大。在下面两种情况下只能采取顺序查找：在下面两种情况下只能采取顺序查找：a.线性表为无序表（元素排列是无序的）；线性表为无序表（元素排列是无序的）；b.即使是有序线性表，但采用的是链式存储结构。即使是有序线性表，但采用的是链式存储结构。2.7.1.2 折半查找（二分法查找）折半查找（二分法查找）v思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩小范围，直到找到或确认找不到该记录为止。小范围，直到找到或确认找不到该记录为止。v前提：必须在前提：必须在具有顺序存储结构的具有顺序存储结构的有序表中进行有序表中进行。v分三种情况：分三种情况：1）若中间项的值等于）若中间项的值等于x,则说明已查到。则说明已查到。2）若）若x小于中间项的值，则在线性表的前半部分查找；小于中间项的值，则在线性表的前半部分查找；3）若）若x大于中间项的值，则在线性表的后半部分查找。大于中间项的值，则在线性表的后半部分查找。v特点特点：比顺序查找方法效率高。最坏的情况下，需：比顺序查找方法效率高。最坏的情况下，需要比较要比较log2n次次。查找查找23和和79的过程如下图：的过程如下图：mid=(low+high)/2不进位取整不进位取整(08,14,23,37,46,55,68,79,91)(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhigh=mid-1mid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)low=mid+1highmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid(08,14,23,37,46,55,68,79,91)lowhighmid2.7.2 排序排序2.7.2.1概述概述1、排序的功能：、排序的功能：将一个数据元素（或记录）将一个数据元素（或记录）的的任意序列任意序列，重新排成一个按关键字，重新排成一个按关键字有序有序的序的序列。列。2、排序过程的组成步骤：、排序过程的组成步骤：首先首先比较比较两个关键字的大小；两个关键字的大小；然后将记录从一个位置然后将记录从一个位置移动移动到另一个位置。到另一个位置。排序方法排序方法插入排序插入排序选择排序选择排序交换排序交换排序归并排序归并排序直接插入排序直接插入排序折半插入排序折半插入排序简单选择排序简单选择排序堆排序堆排序起泡排序起泡排序快速排序快速排序2.7.2.2插入排序插入排序直接插入、折半插入直接插入、折半插入1、直接插入排序、直接插入排序:基本思想：基本思想：从数组的第从数组的第2号元素开始，号元素开始，顺序从数组中取出元素，并将该元素插顺序从数组中取出元素，并将该元素插入到其左端已排好序的数组的适当位置入到其左端已排好序的数组的适当位置上。上。需要需要n(n-1)/2次比较次比较该该算算法法适适合合于于n较较小小的的情情况况，时时间间复复杂度为杂度为O(n2).待排元素序列：待排元素序列：532736156942第一次排序：第一次排序：275336156942第二次排序：第二次排序：273653156942第三次排序：第三次排序：152736536942第四次排序：第四次排序：152736536942第五次排序：第五次排序：152736425369直接插入排序示例直接插入排序示例对于有对于有n个数个数据元素的待排据元素的待排序列，插入操序列，插入操作要进行作要进行n-1次次2、折半插入排序、折半插入排序折半插入排序在寻找插入位置时，不是逐折半插入排序在寻找插入位置时，不是逐个比较而是利用折半查找的原理寻找插入位置个比较而是利用折半查找的原理寻找插入位置。待排序元素越多，改进效果越明显。待排序元素越多，改进效果越明显。折半插入排序折半插入排序的条件：的条件：在有序序列中插入一个关键字。在有序序列中插入一个关键字。例：有例：有6个记录，前个记录，前5个已排序的基础上，对第个已排序的基础上，对第6个记录排序。个记录排序。152736536942 low mid high152736536942 low high mid152736536942 high low152736425369(high36)(4253)1、简单选择排序、简单选择排序思想：首先从思想：首先从1n个元素中选出关键字个元素中选出关键字最小最小的记的记录交换到录交换到第一个第一个位置上。然后再从第位置上。然后再从第2个到第个到第n个个元素中选出次小的记录交换到元素中选出次小的记录交换到第二个第二个位置上，依位置上，依次类推。次类推。时间复杂度为时间复杂度为O(n2)，最坏情况下需要比较，最坏情况下需要比较n(n-1)/2次次适用于适用于待排序元素较少待排序元素较少的情况。的情况。2.7.2.3选择排序选择排序简单选择排序、堆排序简单选择排序、堆排序初态初态83916839168391683916ijkijkijkijk13986互换互换ijk13986ikj13986ikj第第一一趟趟第第二二趟趟13986i kj第第三三趟趟2堆堆排排序序也也是是一一种种选选择择排排序序。是是具具有有特特定定条条件件的的顺顺序序存存储储的的完完全全二二叉叉树树，其其特特定定条条件件是是：任任何何一一个个非非叶叶子子结结点点的的关关键键字字大于等于（或小于等于）子女的关键字的值。大于等于（或小于等于）子女的关键字的值。(1)堆的示例堆的示例 897624331510112536497856(a):堆顶元素取最大值堆顶元素取最大值(b):堆顶元素取最小值堆顶元素取最小值(2)实现堆排序需解决两个问题：实现堆排序需解决两个问题：（1）如何由一个无序序列建成一个堆？如何由一个无序序列建成一个堆？（2）输出堆顶元素后，如何将剩余元素调整成一个新的堆？输出堆顶元素后，如何将剩余元素调整成一个新的堆？堆排序需要比较的堆排序需要比较的次数为次数为O(nlog2n)2.7.2.4交交换换排排序序交换排序的特点在于交换排序的特点在于交换交换。有冒泡和快速排序两种。有冒泡和快速排序两种。1、冒泡排序（起泡排序）、冒泡排序（起泡排序）思想：思想：小的浮起，大的沉底。小的浮起，大的沉底。从左端开始比较。从左端开始比较。第一趟：第第一趟：第1个与第个与第2个比较，大则交换；第个比较，大则交换；第2个与第个与第3个比较，个比较，大则交换，大则交换，关键字最大的记录交换到最后一个位置上；关键字最大的记录交换到最后一个位置上；第二趟：对前第二趟：对前n-1个记录进行同样的操作，关键字次大的记录交换个记录进行同样的操作，关键字次大的记录交换到第到第n-1个个位置上；位置上；依次类推，则完成排序。依次类推，则完成排序。正序：时间复杂度为正序：时间复杂度为O(n)逆序：时间复杂度为逆序：时间复杂度为O(n2)适合于数据较少的情况。适合于数据较少的情况。排序排序n个记录的文件最多需要个记录的文件最多需要n-1趟冒泡排序。趟冒泡排序。第第六六趟趟排排序序后后第第五五趟趟排排序序后后第第四四趟趟排排序序后后第第三三趟趟排排序序后后第第二二趟趟排排序序后后第第一一趟趟排排序序后后初初始始关关键键字字思思想想：小小的的浮浮起起，大大的的沉底。沉底。49364165117836653641563641654136415611783636414911564925252511494956111111252525252、快速排序、快速排序(对冒泡排序的改进）对冒泡排序的改进）思思想想：通通过过一一趟趟排排序序将将待待排排序序列列分分成成两两部部分分，使使其其中中一一部部分分记记录录的的关关键键字字均均比比另另一一部部分分小小，再再分分别别对对这这两两部部分分排序，以达到整个序列有序。排序，以达到整个序列有序。关键字通常取第一个记录的值为基准值。关键字通常取第一个记录的值为基准值。做做法法：附附设设两两个个指指针针low和和high，初初值值分分别别指指向向第第一一个个记记录录和和最最后后一一个个记记录录，设设关关键键字字为为key，首首先先从从high所所指指位位置置起起向向前前搜搜索索，找找到到第第一一个个小小于于基基准准值值的的记记录录与与基基准准记记录录交交换换，然然后后从从low所所指指位位置置起起向向后后搜搜索索，找找到到第第一一个个大大于于基基准准值值的的记记录录与与基基准准记记录录交交换换，重重复复这这两两步步直直至至low=high为止。为止。时间复杂度：时间复杂度：O(log2n)快速排序过程示意图：快速排序过程示意图：有序序列有序序列618235267key初始序列初始序列235266718lowhigh一次交换一次交换185266723lowhigh二次交换二次交换182366752high三次交换三次交换186236752/完成一趟排序后分别进行快速排序完成一趟排序后分别进行快速排序lowhigh2.7.2.5内部排序方法的选择内部排序方法的选择各种排序方法各有优缺点，故在不同情况下可作不同的选择。通常需考虑的因素有：待排序的记录个待排序的记录个数；记录本身的大小；记录的键值分布情况数；记录本身的大小；记录的键值分布情况等。若待排序的记录个数若待排序的记录个数n较小时，可采用简单排序方较小时，可采用简单排序方法。法。若若n较大时，应采用快速排序或堆排序。较大时，应采用快速排序或堆排序。若待排序的记录已基本有序，可采用起泡排序。若待排序的记录已基本有序，可采用起泡排序。例题讲解v在长度为n的有序线性表中进行二分查找。最坏的情况下，需要的比较次数为log2n次次。v长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为【1】(n+1)/2。v假设线性表的长度为n，则在最坏情况下，冒泡排序需要的比较次数为A)log2nB)n2C)O(n1.5)D)n(n-1)/2v已知数据表A中每个元素距其最终位置不远，为节省时间，应采用的算法是A)堆排序B)直接插入排序C)快速排序D)直接选择排序v冒泡排序算法在最好的情况下的元素交换次数为【1】。v在最坏情况下，堆排序需要比较的次数为【2】nlog2n。v最简单的交换排序方法是A)快速排序B)选择排序C)堆排序 D)冒泡排序v排序是计算机程序设计中的一种重要操作，常见的排序方法有插入排序、【1】和选择排序等。v在下列几种排序方法中，要求内存量最大的是A)插入排序B)选择排序C)快速排序D)归并排序v在待排序的元素序列基本有序的前提下，效率最高的排序方法是A)冒泡排序B)选择排序C)快速排序D)归并排序v希尔排序属于A)交换排序B)归并排序C)选择排序D)插入排序v对长度为n的线性表进行顺序查找，在最坏的情况下所需要的比较次数为)n+1B)nC)(n+1)/2D)n/2v第一章第一章数据结构与算法数据结构与算法一一.选择题选择题1.算法的时间复杂度是指()A.执行算法程序所需要的时间B.算法程序的长度C.算法执行过程中所需要的基本运算次数D.算法程序中的指令条数v2.算法的空间复杂度是指()A.算法程序的长度B.算法程序中的指令条数C.算法程序所占的存储空间D.算法执行过程中所需要的存储空间v3.下列叙述中正确的是()A.线性表是线性结构B.栈与队列是非线性结构C.线性链表是非线性结构D.二叉树是线性结构v4.数据的存储结构是指()A.数据所占的存储空间量B.数据的逻辑结构在计算机中的表示C.数据在计算机中的顺序存储方式D.存储在外存中的数据5.下列关于队列的叙述中正确的是()A.在队列中只能插入数据B.在队列中只能删除数据C.队列是先进先出的线性表D.队列是先进后出的线性表v6.下列关于栈的叙述中正确的是()A.在栈中只能插入数据B.在栈中只能删除数据C.栈是先进先出的线性表D.栈是先进后出的线性表8.在深度为5的满二叉树中,叶子结点的个数为()A.32B.31C.16D.15v9.对长度为N的线性表进行顺序查找,在最坏情况下所需要的比较次数为()A.N+1B.NC.(N+1)/2D.N/210.设树T的度为4,其中度为1,2,3,4的结点个数分别为4,2,1,1.则T的叶子结点数为A.8B.7C.6D.5v二二.填空题填空题1.对长度为n的有序线性表中进行二分查找,需要的比较次数为()2.设一棵完全二叉树共有700个结点,则在该二叉树中有()个叶子结点3.设一棵二叉树的中序遍历结果为DBEAFC,前序遍历结果为ABDECF,则后序遍历结果为()4.在最坏情况下,冒泡排序的时间复杂度为()v5.在一个容量为15的循环队列中,若头指针front=6,尾指针rear=9,则该循环队列中共有()个元素v第一章参考答案第一章参考答案一选择题1C2.D3.A4.B5.C6.D7.B8.C9.B10.A