2.2.2等差数列的通项公式目标导航预习引导目标导航预习引导1.等差数列(1)等差数列的通项公式若等差数列an的首项为a1,公差为d,则an的通项公式为an=a1+(n-1)d.(2)从函数角度研究等差数列等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(d0)是关于n的一次式,从图象上看,这个数列的各点(n,an)在直线y=dx+(a1-d)上.预习预习交流交流1等差数列an的通项公式一定是关于n的一次函数吗?提示:不一定,当数列an为常数列时,如1,1,1,其通项公式an=1,是常函数而非一次函数.目标导航预习引导2.等差数列的性质(1)an=am+(n-m)d(m,nN*),特别地,am+n-an=md.(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).(3)若,则am+an=2ak(m,n,kN*).(4)an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ak+an-k+1=.(5)数列am,am+k,am+2k,am+3k,(m,kN*)成公差为kd的等差数列,其中d为an的公差.(6)若an,bn是公差分别为d1,d2的等差数列,则c+an(c为任一常数)是公差为d1的等差数列;can(c为任一常数)是公差为cd1的等差数列;an+an+k(k为常数,kN*)是公差为2d1的等差数列;pan+qbn(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.目标导航预习引导预习预习交流交流2若等差数列中,am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),则一定有m+n=p+q吗?提示:不一定,若数列an是常数列,不一定有m+n=p+q.预习预习交流交流3(1)在等差数列an中,若a1+a8+a15=15,能否用等差数列的性质求a7+a9?提示:能.由a1+a8+a15=15,得3a8=15,a8=5,则a7+a9=2a8=10.(2)数列an,bn都是等差数列,且a1=15,b1=35,a2+b2=70,则a3+b3=.提示:数列an,bn都是等差数列,an+bn也构成了等差数列.(a2+b2)-(a1+b1)=(a3+b3)-(a2+b2).a3+b3=90.一二三一、求等差数列的通项公式或特定项活动与探究例1(1)在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d;思路分析:设首项与公差,根据条件列出方程组求解.一二三迁移与应用1.已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15=.答案:90一二三一二三名师点津名师点津1.求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题,利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法,应牢记等差数列的通项公式.2.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.一二三二、等差数列的性质及应用活动与探究例2(1)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8的值.(2)等差数列an中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45.求数列an的通项公式.思路分析:(1)只给出一个条件无法用基本量法求a1,d,但可用设而不求的方法,整体代换可使问题得解,也可用等差数列的性质求解.(2)注意题中数列的项的下标构成等差数列,考虑用等差数列的性质解决.一二三解:(1)方法一:设首项为a1,公差为d,由已知有5a1+20d=450,a1+4d=90.a2+a8=2a1+8d=2(a1+4d)=290=180.方法二:由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450.a5=90.a2+a8=2a5=290=180.(2)a1+a7=a2+a6=2a4,a1+a4+a7=3a4=15.a4=5.a2+a6=10且a2a6=9.a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.若a2=1且a6=9,则公差d=2,an=2n-3,若a2=9且a6=1,则公差d=-2,an=13-2n.故an=2n-3或an=13-2n.一二三迁移与应用1.等差数列an单调递增,且a3+a6+a9=12,a3a6a9=28,则此数列的通项公式an=.答案:n-2解析:a3+a9=2a6,a6=4,a3+a9=8,a3a9=7.a3,a9是一元二次方程x2-8x+7=0的两个根.又an单调递增,a3=1,a9=7,d=1.从而an=a3+(n-3)d=1+(n-3)=n-2.一二三2.在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.答案:4解析:a2+a8=a3+a7=a4+a6=37,a2+a4+a6+a8=237=74.3.在等差数列中,(1)已知a1+a6=12,a4=7,求a9;(2)已知a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15.解:(1)a1+a6=a3+a4=12,又a4=7,a3=5,d=a4-a3=2.a9=a4+(9-4)d=7+52=17.(2)a1+a17=a5+a13=2a9,a9=117,a3+a15=2a9=2117=234.一二三名师点津名师点津1.已知数列中某些项与项之间的关系,求通项,一般可利用等差数列的通项公式或等差数列的性质解题.2.要记忆等差数列的常见性质,以便在解题中灵活应用.注意解题过程中整体代换与方程思想的运用.一二三三、等差数列的实际应用活动与探究例3梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.思路分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12,因此,该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.一二三解:设梯子的第n级的宽为ancm,其中最高一级宽为a1cm,则数列an是等差数列.由题意,得a1=33,a12=110,n=12,则a12=a1+11d.所以110=33+11d,解得:d=7.所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,a11=96+7=103,即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.一二三迁移与应用1.某地夏季山上的温度从山底起,每升高100m降低0.7,已知山顶处温度是14.8,山底处温度是26,则该山相对于山底处的高度为.答案:1600m解析:建立等差数列的模型,山底处温度记为a1=26,山顶处温度an=14.8,公差d=-0.7,an=a1+(n-1)d,14.8=26+(n-1)(-0.7),解得:n=17.山高为16100=1600(m).一二三2.有一正四棱台形楼顶,其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块,总共需要铺瓦15行,并且下一行比其上一行多铺3块瓦,求该侧面最下面一行铺瓦多少块?分析:转化为求等差数列的第15项.解:设从上面开始第n行铺瓦an块,则数列an是首项为30,公差为3的等差数列.则a15=a1+14d=30+143=72(块),即该侧面最下面一行铺瓦72块.一二三名师点津名师点津一个实际问题能够抽象成等差数列的数学模型,首先必须是一个与正整数有联系的问题;其次,还要讨论是不是等差数列.解题的一般步骤是:建立等差数列模型,根据等差数列知识解决问题,还原成实际问题,得出解决方案.2345161.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案:A解析:an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,数列an是公差为2的等差数列.2345162.已知数列an,bn为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列2an-3bn的公差为()A.7B.5C.3D.1答案:D解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.2345163.在等差数列an中,已知am+n=A,am-n=B,则am=.2345164.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为.答案:2解析:a1+a5=10=2a3,a3=5,故d=a4-a3=7-5=2.2345165.在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列an的通项公式.解:由a3+a4+a5=84,a9=73得3a4=84,a4=28.an=a4+(n-4)d=28+(n-4)9=9n-8.an=9n-8.2341656.(1)已知等差数列an中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值;(2)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.234165(2)设公差为d,a1+a3=2a2,a1+a2+a3=15=3a2,a2=5.又a1a2a3=80,an是公差为正数的等差数列,a1a3=(5-d)(5+d)=16d=3或d=-3(舍去),a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.