第二十四章第二十四章 圆圆欣赏动画：折扇的收拢和展开欣赏动画：折扇的收拢和展开. .圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗? ?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里? ?思考思考圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合，即圆有旋转不变性 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角. .OBA如图中所示，如图中所示， AOB就是一个圆心角。就是一个圆心角。定义定义判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。思考：思考：1.1.图中有几个圆心角，分别是什么？图中有几个圆心角，分别是什么？ 2.2.图中的圆心角所对的弧、弦分别是什图中的圆心角所对的弧、弦分别是什么？么？ 如图，如果如图，如果AOB=AOB=A AOBOB将圆心角将圆心角AOBAOB绕圆心绕圆心O O旋转到旋转到A AOBOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置时，显然的位置时，显然AOBAOB，射线，射线OA与与OA重合，重合，OB与与OB重合而同圆的半径相等，重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点，从而点A与与A重合，重合，B与与B重合重合OABOABABAB探究探究因此，弧因此，弧AB与弧与弧A B 重合，重合，AB与与AB重合重合即即ABA B =AB=AB同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角圆心角_， 所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角圆心角_，所对的弧，所对的弧_这样，我们就得到下面的定理：这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弦也相等相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两两个圆心角、两两个圆心角、两两个圆心角、两条弧、两条弦中条弧、两条弦中条弧、两条弦中条弧、两条弦中有一组量相等，有一组量相等，有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相余各组量也相余各组量也相余各组量也相等等等等定理定理证明：证明：AB=AC AB=ACAB=AC, , ABC ABC 等腰三角形等腰三角形又又ACB=60， ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO例题欣赏例题欣赏例例1 如图在如图在 O中，中，AB=AC ，ACB=60，求证求证: AOB=BOC=AOC. 1、如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，（2）如果）如果 ，那么，那么_，（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，（4）如果）如果AB=CD，OE AB于于E，OF CD于于F，OE与与OF相等吗相等吗？为什么？为什么？CABDEFO练习练习AB=CD 2.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径， , COD=35，求求AOE的度数的度数AOBCDEBCCD=DE1.1.圆是中心对称图形，圆有旋转不变性圆是中心对称图形，圆有旋转不变性. .2.2.圆心角概念：顶点在圆心的角圆心角概念：顶点在圆心的角. .3.3.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等的其余各组量也相等. .4.4.利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等的关系可以证明角、弦或弧相等. .检测反馈检测反馈1.在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果如果弧弧AB=弧弧CD，那，那么么AB与与CD的关系是（的关系是（ ）ABCD B. AB=CD C. ABCD D.无法确定无法确定解析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，解析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所以由所以由弧弧AB=弧弧CD得得ABAB= =CDCD，故选，故选B B. .BC2.2.如图，已知如图，已知ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C、D D是是弧弧BEBE上的三等分点，上的三等分点，AOEAOE=60=600 0，则，则COECOE= =（ ） A A. 40. 40O O B B.60.60O O C C.80.80O O D D.120.120O O解析：解析：AOEAOE=60=60，BOEBOE=180=180- -AOEAOE=120=120， 的度数是的度数是120120，C C、D D是是 上的三等分点，上的三等分点，弧弧CDCD与与弧弧EDED的度数都是的度数都是4040，COECOE=80=80故选故选C CABCDEO弧弧BEBE弧弧BEBE3.3.如图，在如图，在O O中，中，弧弧AB=AB=弧弧ACAC，A A=40=400 0，则则B B= = . .解析：解析： ，ABAB= =ACAC，A A=40=40，B B= =C C= =（180180- -A A）2=702=70故填故填7070. .70弧弧AB=AB=弧弧ACAC4.4.如图，在如图，在O O中，中，ABAB、CDCD是两条弦，是两条弦，OEOEABAB，OFOFCDCD，垂足分别为，垂足分别为EFEF（1 1）如果）如果AOBAOB= =CODCOD，那么，那么OEOE与与OFOF的大小的大小有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？（2 2）如果）如果OEOE= =OFOF，那么，那么弧弧ABAB与与弧弧CDCD的大小有的大小有什么关系？什么关系？ABAB与与CDCD的大小有什么关系？为什的大小有什么关系？为什么？么？AOBAOB与与CODCOD呢？呢？解：（1）OE=OF，理由是：OEAB， OFCD， OA=OB， OC=ODOEB=OFD=90，EOB= AOB，FOD= COD,AOB=COD,EOB=FOD,又OB=OD,EOBFOD(AAS),OE=OF.（2）弧AB=弧CD，AB=CD ，AOB=COD，理由是：OEAB，OFCD，OEB=OFD=90RtBEORtDFO（HL），BE=DF，OB=OD,OE=OF,由垂径定理得AB=2BE,CD=2DF,AB=CD, 弧AB=弧CD ,AOB=COD.5.如图所示如图所示,AB、CD是是O的两条直径的两条直径,CEAB,求证：求证：BC=AE.