1.2.2 测量角度问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题1复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)2坡角是指斜坡所在平面与_的夹角坡度(坡比)是指_练习：沿坡角为 45的斜坡直线向上行走 80 m，实际升高了_m.水平面坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比40解析：h80sin4540 .1仰角、俯角、坡角都是锐角吗？答案：是2方位角与方向角的范围一样吗？答案：不一样，方位角的取值范围为0360，方向角一般指锐角题型1船的航向问题例1：如图 1211，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离(角度精确到 0.1，距离精确到 0.01 n mile)?图 1211思维突破：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角CAB.解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可【变式与拓展】1当甲船位于 A 处时获悉在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1)?CAB120.图 D5解：如图 D5，要求乙船的航向，即求ACB 的度数易知 C90，AB20，AC10，故乙船应朝北偏东 70方向直线前往 B 处题型2解三角形与函数的综合例2：在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台) 方向风中心位于城市O(如图1 2 12)的东偏南(cos300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？ 图 1212答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有 12 小时【变式与拓展】2如图 1213，甲船在 A 处发现乙船在北偏东 45与 A的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/小时的速度向南偏东75的方向航行，已知甲船的速度是20海里/小时问：甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？图 1213解：设 t 小时后相遇，则 BC，AB 的长分别为 20t 海里、20 t 海里由图可知：ACB120.由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，BAC30.甲船应沿北偏东 75方向航行答：甲船应沿北偏东 75方向航行半小时后才能与乙船相遇例3：某观测站 C 在 A 城的南偏西 20的方向，由 A 城出发的一条公路，走向是南偏东 40，由 C 处测得距 C 为 31 km的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后到达 D 处，此时 CD 的间距为 21 km，问：这个人还走多少千米到达 A 城？试解：在ACD 中，已知 CD21 km，CAD60，只需再求出一个量即可如图 D4，设ACD，CDB.在CBD 中，由余弦定理，得图 D4易错点评：本题在解ACD 时，利用余弦定理求AD，会得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若应用正弦定理来求解可避免这种情况这个人再走 15 km 就可到达 A 城1测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解在解决与测量问题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解