一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、例题讲解三、例题讲解1.6 独立性独立性四、小结四、小结一、事件的相互独立性(一一) 两个事件的独立性两个事件的独立性由由条件概率，知条件概率，知一般地，一般地，这这意味着：事件意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率发生的概率有影响有影响. 然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：则有则有引例2. 定义注注. 1说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.可以证明：可以证明： 特殊地，特殊地，A与与B 独立独立 A与与B 相容相容( 不互斥不互斥) 或或 A与与B 互斥互斥 A与与B 不独立不独立证证 若若A与与B 独立独立, 则则 即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).若若A与与B互斥，则互斥，则 AB = B发生时，发生时，A一定不发生一定不发生.这表明这表明: B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生), 即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零. 所以所以A与与B不独立不独立.理解理解: BA3.性质1.5(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事则以下三对事件件也也相互独立相互独立.证证 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.又又 A与与B相互独立相互独立 例例1 分别掷两枚均匀的硬币，令分别掷两枚均匀的硬币，令A=硬币甲出现正面硬币甲出现正面H，B=硬币乙出现反面硬币乙出现反面T，试验证，试验证A、B相互独立相互独立 解解 样本空间样本空间 =HH, HT, TH, TT共含有共含有4个基本事件，个基本事件，它们发生的概率均为它们发生的概率均为1/4而而A=HH, HT，B=HT, TT，AB=HT，故有，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ，所以所以A、B相互独立相互独立甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 依依题设题设, A与与B不互斥不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11P(A+B) )由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而= 0.81. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念(二) 多个事件的独立性定义定义2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性定义定义若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有定义定义 例例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令孩是等可能的，令A=一个家庭中有男孩，又有女孩一个家庭中有男孩，又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形讨论对下列两种情形讨论A与与B的独立性；的独立性；（1）家庭中有两个小孩；（）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。 A=(男，女），（女，男）男，女），（女，男）解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,其概率各为1/4,此时B=(男，男)(男，女)(女，男)AB=(男，女)(女，男)P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件A,B不独立，（2）类似可求，但有P(AB)=P(A)P(B)成立，则A与B相互独立。注注. 设设一个口袋里装有四张形状相同的卡片一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片上依次标有下列各组数字：在这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101，011，000 从袋中从袋中任取一张卡片，记任取一张卡片，记证明：证明：练证证 (1)110，101，011，000两个结论n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 也相互独立也相互独立即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用结论的应用则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“=1- - p1 pn 例例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合相互独立，混合100个人的血清，求此血清个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率中含有肝炎病毒的概率.解解则则依题设，依题设，事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由由元件组成的系统正常元件组成的系统正常工作的概率工作的概率. 例例5 设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是相且各元件能否正常工作是相互独立的互独立的.(1) 求求下列两个系统下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？系统系统.系统系统.解解设设 B1= 系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n B2= 系统系统正常工作正常工作考察系统考察系统：设设 C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每条通路正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率：考察系统考察系统：系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作 B2= 系统系统正常工作正常工作所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.推导如下：推导如下：三、内容小结作业：作业：P56 37;43(3,4)备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此又由题意知又由题意知例例2-1故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立.则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题1解解事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 2因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自该批乐器中随机地取自该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试件乐器的测试是相互独立的是相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被件中至少有一件在测试中被认为音色不纯认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为的概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是件是音色不纯的音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解3纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有